Rezonans w obwodach elektrycznych

POJĘCIA PODSTAWOWE DOTYCZĄCE

ZJAWISKA REZONANSU

Zjawisko rezonansu może wystąpić w obwodzie

elektrycznym wówczas, gdy reaktancja wypadkowa, lub

susceptancja wypadkowa jest równa zero. Obwód w którym

zjawisko rezonansu występuje nosi nazwę obwodu

rezonansowego. Podczas jego występowania napięcie i prąd

na zaciskach obwodu rezonansowego są w fazie, natomiast

moc bierna ulega kompensacji (moc bierna pojemnościowa

jest równa mocy biernej indukcyjnej) i układ jej nie

pobiera.

Częstotliwość przy której wypadkowa reaktancja lub

susceptancja wynosi zero jest nazywana częstotliwością

rezonansową f

r

. Możliwe jest uzyskanie w obwodzie

rezonansu, jeżeli doprowadzane do zacisków obwodu

napięcie sinusoidalne posiada częstotliwość równą

rezonansowej.

W układach elektrycznych RLC może występować

rezonans napięć lub prądów, przy czym który wystąpi jest

zależne od sposobu połączenia elementów.

Rezonans w obwodach elektrycznych

REZONANS NAPIĘĆ

Rezonans napięć to zjawisko rezonansu występujące w

szeregowym układzie RLC, z tej przyczyny jest nazywane
także rezonansem szeregowym. Charakteryzuje się ono
tym, że reaktancja indukcyjna jest równa reaktancji
pojemnościowej.

Do dwójnika szeregowego RLC przyłączone jest

napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U.
Układ dla rezonansu napięć ma postać:

Na poszczególnych elementach układu ustalą się

następujące napięcia:

U

R

= RI

U

L

= jX

L

I

U

C

=



jX

C

I

Całkowite napięcie na zaciskach dwójnika:

U = U

R

+ U

L

+ U

C

= [R + j(X

L



X

C

)]I = Z



I

Warunkiem wystąpienia rezonansu jest zerowa

wypadkowa reaktancja układu, co nastąpi gdy:

X

L

= X

C



L =

C

1



Rezonans w obwodach elektrycznych

Warunek ten spełniony jest dla częstotliwości

rezonansowej danej wzorem:

f

r

=

LC



2

1

Wykres wektorowy odpowiadający stanowi rezonansu

Gdy obwód znajduje się w rezonansie słuszne są

poniższe zależności:

Z = R; U = U

R

U

L

+ U

C

= 0; U

L

= U

C

Obwód

rezonansowy

można

scharakteryzować

kilkoma parametrami:



impedancją falową;



dobrocią obwodu rezonansowego;



rozstrojeniem względnym i bezwzględnym.

Impedancja falowa



to reaktancja indukcyjna lub

pojemnościowa obwodu przy częstotliwości rezonansowej.
Można ją wyznaczyć ze wzoru:



=



r

L =

C

L

C

r





1

Rezonans w obwodach elektrycznych

Dobroć szeregowego obwodu rezonansowego RLC

pracującego w warunkach rezonansu napięć dana jest
wzorem:

Q =

CR

R

L

RI

LI

U

U

U

U

r

r

r

R

C

R

L







1









Uwzględniając

wzór

na

impedancję

falową

otrzymujemy:

Q =

R



Rozstrojenie bezwzględne



obliczane jest jako

stosunek reaktancji obwodu do jego rezystancji:



=

R

C

L

R

X





1







= tg



Rozstrojenie bezwzględne zmienia się wraz ze zmianą

pulsacji



i jej zbliżaniem się do



r

. Rozstrojenie względne



to stosunek reaktancji obwodu do impedancji falowej:



=



X

Korzystając z definicji impedancji falowej, powyższą

zależność można przedstawić w funkcji impedancji falowej
i częstotliwości rezonansowej:

L =

r





C =





r

1

Rezonans w obwodach elektrycznych

Z kolei reaktancja obwodu szeregowego RLC:

X =

C

L





1



Po podstawieniu do niej wzorów określających

pojemność i indukcyjność:

X =

























r

r

Rozstrojenie względne



:

f

f

f

f

X

r

r

r

r























Przyjmując, stosunek częstotliwości źródła do

częstotliwości rezonansowej jako k można zapisać:

k

k

1







Pomiędzy rozstrojeniem bezwzględnym a względnym

istnieje zależność, którą można przedstawić w oparciu o
wyprowadzone wzory w następującej postaci:



= Q



W warunkach rezonansu zmienia się szereg parametrów

układu, czego ilustracją są krzywe rezonansowe,
przedstawiające zmieniające się parametry w funkcji
częstotliwości:

Rezonans w obwodach elektrycznych

Rezonans w obwodach elektrycznych

REZONANS PRĄDÓW

W układzie równoległym RLC występuje drugi rodzaj

rezonansu – rezonans prądów nazywany także rezonansem
równoległym.

Do zacisków układu równoległego RLC przyłożono

napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U i
pulsacji



=2



f. Schemat układu przedstawiono poniżej:

W poszczególnych gałęziach układu płyną pod jego

wpływem prądy:

I

R

= GU; I

L

= - jB

L

U; I

C

= jB

C

U

Prąd całkowity dopływający do dwójnika:

I = I

R

+ I

L

+ I

C

= [G + j(B

C

– B

L

)]U = Y



U

Zjawisko rezonansu wystąpi, gdy B=0, czyli:

B

C

= B

L



C =

L



1

Warunek ten zostaje spełniony, gdy częstotliwość

osiągnie wartość:

f

r

=

LC



2

1

Rezonans w obwodach elektrycznych

Wykres wektorowy dla rezonansu prądów

Słuszne są przy tym następujące zależności:

Y = G; I = I

R

I

L

+ I

C

= 0 I

L

= I

C

W przypadku równoległego układu rezonansowego

definiuje się impedancję falową



zgodnie ze wzorem,

który podany jest dla układu szeregowego:



=



r

L =

C

L

C

r





1

Dla równoległego obwodu rezonansowego podawana

jest też dobroć układu rezonansowego, z tym, że obliczana
jest ona z innej zależności:

Q =

LG

G

C

GU

CU

I

I

I

I

r

r

r

R

C

R

L







1









Uwzględniając w niej, że G=1/R uzyskuje się

ostatecznie:

Q =



R

Rezonans w obwodach elektrycznych

Pracę układu w warunkach zbliżonych do rezonansu

charakteryzują podobnie jak w przypadku układu
szeregowego

pojęcia

rozstrojenia.

Rozstrojenie

bezwzględne oblicza się według wzoru:



=

G

B

B

G

B

B

G

B

C

L

L

C













Natomiast rozstrojenie względne:



=

k

k

f

f

f

f

B

r

r

1

1











Zmianę parametrów układu przedstawiają krzywe

rezonansowe, które przedstawiono na poniższym rysunku: