Ćwiczenia z eliminacji macierzy
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
12 grudnia 2012
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
1 / 89
Ćwiczenie 1
Rozwiąż układ równań:
C =
−x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
3x
2
+ 2x
2
+ x
3
− 2x
4
= 3
x
1
+ 6x
2
− 2x
3
+ x
4
= 7
2x
1
+ 12x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
2 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania liniowych układów równań. My skupimy się
na jednym, mianowicie na metodzie eliminacji macierzy Gaussa.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
3 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania liniowych układów równań. My skupimy się
na jednej, mianowicie metodzie eliminacji macierzy Gaussa.
Aby tego dokonać musimy utworzyć macierz rozszerzoną A układu C.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
4 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
5 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
Naszym celem będzie eliminowanie wierszy w taki sposób,
aby uzyskać macierz górnotrójkątną U.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
6 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Co to takiego?
Macierz górnotrójkątna to macierz kwadratowa, która poniżej swojej
przekątnej (diagonali) posiada wszystkie współczynniki równe 0.
Współczynniki umieszczone na diagonali macierzy górnotrójkątnej noszą
miano elementów osiowych i służą do eliminowania kolejnych współczynników
macierzy w dalszych etapach eliminacji.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
7 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
8 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
Pierwszy wiersz przepiszemy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
9 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
W pierwszym etapie eliminacji spróbujemy wyzerować wszystkie współczynniki
pod pierwszym elementem osiowym. W tym przypadku jest nim liczba -1 w
pierwszym wierszu.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
10 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
Na początek pierwszy wiersz pomnożymy przez 3 i dodamy do wiersza drugiego.
Wynik zapiszemy w drugim wierszu.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
11 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
Następnie pierwszy wiersz pomnożymy przez 3 i dodamy do wiersza drugiego.
Wynik zapiszemy w drugim wierszu.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
12 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
Kolejnym etapem będzie dodanie wiersza pierwszego do wiersza trzeciego. Wynik
zapiszemy w wierszu trzecim.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
13 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
.
.
.
.
|.
Kolejnym etapem będzie dodanie wiersza pierwszego do wiersza trzeciego. Wynik
zapiszemy w wierszu trzecim.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
14 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
.
.
.
.
|.
Pora na czwarty wiersz. Pomnożymy wiersz pierwszy przez 2 i dodamy do
czwartego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
15 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
A =
−1
2
1
0
|1
3
2
1
−2
|3
1
6
−2
1
|7
2
12
1
3
|2
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
Pora na czwarty wiersz. Pomnożymy wiersz pierwszy przez 2 i dodamy do
czwartego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
16 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W ten sposób wyzerowaliśmy wszystkie współczynniki pod pierwszym elementem
osiowym. Dzięki temu możemy wskazać drugi. Jest nim liczba 8 w drugim wierszu.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
17 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W ten sposób wyzerowaliśmy wszystkie współczynniki pod pierwszym elementem
osiowym. Dzięki temu możemy wskazać drugi. Jest nim liczba 8 w drugim wierszu.
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
18 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
Teraz pozbędziemy się współczynników pod drugim elementem osiowym.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
19 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
Pierwszy i drugi wiersz pozostawiamy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
20 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
Pierwszy i drugi wiersz pozostawiamy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
21 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
.
.
.
.
|.
.
.
.
.
|.
Następnie drugi wiersz odejmiemy od trzeciego i wynik zapiszemy w trzecim.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
22 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
.
.
.
.
|.
Następnie drugi wiersz odejmiemy od trzeciego i wynik zapiszemy w trzecim.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
23 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
.
.
.
.
|.
Trzeci wiersz pomnożymy przez 2 i odejmiemy go od czwartego.
Wynik zapiszemy w czwartym.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
24 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
8
−1
1
|8
0
16
3
3
|4
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
5
1
| − 12
Trzeci wiersz pomnożymy przez 2 i odejmiemy go od czwartego.
Wynik zapiszemy w czwartym.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
25 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać udało nam się wyzerować współczynniki pod 8, uzyskując tym samym
trzeci element osiowy, mianowicie -5 w wierszu trzecim. Ostatni etap eliminacji
będzie polegał na wyzerowaniu ostatniego współczynnika
pod trzecim elementem osiowym.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
26 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać udało nam się wyzerować współczynniki pod 8, uzyskując tym samym
trzeci element osiowy, mianowicie -5 w wierszu trzecim. Ostatni etap eliminacji
będzie polegał na wyzerowaniu ostatniego współczynnika
pod trzecim elementem osiowym.
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
5
1
| − 12
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
27 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
5
1
| − 12
Trzy pierwsze wiersze przepisujemy.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
28 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
5
1
| − 12
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
.
.
.
.
|.
Trzy pierwsze wiersze przepisujemy.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
29 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
5
1
| − 12
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
.
.
.
.
|.
Aby zakończyć nasze działanie dodajmy ostatecznie trzeci wiersz do czwartego, i
zapiszmy w nim wynik.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
30 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
5
1
| − 12
− >
−1
2
1
0
|1
0
8
4
−2
|6
0
0
−5
3
|2
0
0
0
4
| − 10
Aby zakończyć nasze działanie dodajmy ostatecznie trzeci wiersz do czwartego, i
zapiszmy w nim wynik.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
31 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać główna macierz została zredukowana do macierzy górnotrójkątnej.
Widoczne są zera pod diagonalą:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
32 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać główna macierz została zredukowana do macierzy górnotrójkątnej.
Widoczne są zera pod diagonalą:
−1
2
1
0
0
8
4
−2
0
0
−5
3
0
0
0
4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
33 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego układu równań, otrzymujemy:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
34 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego układu równań, otrzymujemy:
−1
2
1
0
0
8
4
−2
0
0
−5
3
0
0
0
4
·
x
1
x
2
x
3
x
4
=
1
6
2
−10
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
35 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego układu równań, otrzymujemy:
−1
2
1
0
0
8
4
−2
0
0
−5
3
0
0
0
4
·
x
1
x
2
x
3
x
4
=
1
6
2
−10
Jeśli dobrze się przyjrzeć to zauważymy, że jedno rozwiązanie dostajemy od ręki.
Mianowicie 4 · x
4
= −10, więc x
4
= −
5
2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
36 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na równanie wyżej: −5x
3
+ 3x
4
= 2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
37 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na równanie wyżej: −5x
3
+ 3x
4
= 2
Widzimy tutaj dwie niewiadome, lecz x
4
już znamy.
Podstawiając zatem wstecz otrzymamy:
−5x
3
+ 3 · (−
5
2
) = 2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
38 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na równanie wyżej: −5x
3
+ 3x
4
= 2
Widzimy tutaj dwie niewiadome, lecz x
4
już znamy.
Podstawiając zatem wstecz otrzymamy:
−5x
3
+ 3 · (−
5
2
) = 2
Stąd x
3
= −
19
10
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
39 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na kolejne równanie: 8x
2
+ 4x
3
− 2x
4
= 6
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
40 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na kolejne równanie: 8x
2
+ 4x
3
− 2x
4
= 6
Podstawiając x
3
i x
4
wstecz otrzymamy:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
41 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na kolejne równanie: 8x
2
+ 4x
3
− 2x
4
= 6
Podstawiając x
3
i x
4
wstecz otrzymamy:
8x
2
+ 4 · (−
19
10
) − 2 · (−
5
2
) = 6
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
42 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Spójrzmy na kolejne równanie: 8x
2
+ 4x
3
− 2x
4
= 6
Podstawiając x
3
i x
4
wstecz otrzymamy:
8x
2
+ 4 · (−
19
10
) − 2 · (−
5
2
) = 6
Stąd x
2
=
43
40
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
43 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Na koniec spójrzmy na równanie: −x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
44 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Na koniec spójrzmy na równanie: −x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
Podstawiając wstecz wcześniej wyliczone wartości otrzymamy:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
45 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Na koniec spójrzmy na równanie: −x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
Podstawiając wstecz wcześniej wyliczone wartości otrzymamy:
−x
1
+ 2 ·
43
40
−
19
10
= 1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
46 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Na koniec spójrzmy na równanie: −x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
Podstawiając wstecz wcześniej wyliczone wartości otrzymamy:
−x
1
+ 2 ·
43
40
−
19
10
= 1
Stąd x
1
= −
3
4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
47 / 89
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Na koniec spójrzmy na równanie: −x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
Podstawiając wstecz wcześniej wyliczone wartości otrzymamy:
−x
1
+ 2 ·
43
40
−
19
10
= 1
Stąd x
1
= −
3
4
Ostatecznie otrzymujemy: x
1
= −
3
4
, x
2
=
43
40
, x
3
= −
19
10
, x
4
= −
5
2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
48 / 89
Ćwiczenie 2
Znajdź macierz eliminacji E spełniającą równanie EA = U,
gdzie U to macierz górnotrójkątna oraz:
A =
3
2
2
0
1
4
6
4
3
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
49 / 89
Ćwiczenie 2
Co to takiego?
Macierz eliminacji to macierz zawierająca tak dobrane współczynniki, aby jej
iloczyn z macierzą właściwą zredukował ją do postaci górnotrójkątnej.
Czasami, aby zredukować macierz do postaci U należy znaleźć kilka macierzy
eliminacji, a następnie zapisać równanie składające się z iloczynu wszystkich
macierzy E oraz danej macierzy A.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
50 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
W poprzednim ćwiczeniu, aby zredukować macierz do postaci górnotrójkątnej
korzystaliśmy z metody Gaussa. Polegała ona na odpowiednim przemnażaniu
poszczególnych wierszy, a następnie ich dodawaniu. W tym ćwiczeniu mamy
wykorzystać macierze elliminacji, które w gruncie rzeczy działają podobnie jak
metoda Gaussa. Dostarczają nam one informacji, które wiersze danej macierzy
brać pod uwagę i w jaki sposób mamy je przemnożyć i dodać do siebie, aby
uzyskać porządany efekt. Zobaczmy jeszcze raz jak wygląda nasze równanie:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
51 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
W poprzednim ćwiczeniu, aby zredukować macierz do postaci górnotrójkątnej
korzystaliśmy z metody Gaussa. Polegała ona na odpowiednim przemnażaniu
poszczególnych wierszy, a następnie ich dodawaniu. W tym ćwiczeniu mamy
wykorzystać macierze elliminacji, które w gruncie rzeczy działają podobnie jak
metoda Gaussa. Dostarczają nam one informacji, które wiersze danej macierzy
brać pod uwagę i w jaki sposób mamy je przemnożyć i dodać do siebie, aby
uzyskać porządany efekt. Zobaczmy jeszcze raz jak wygląda nasze równanie:
EA = U
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
3
2
2
0
1
4
6
4
3
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
52 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
3
2
2
0
1
4
6
4
3
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pierwszy wiersz będziemy chcieli przepisać bez zmian. Jeżeli przypomnimy sobie
własności mnożenia macierzy to będzie jasne, że aby uzyskać po prawej stronie
równania pierwszy wiersz bez zmian, to musimy przemnożyć naszą macierz A
przez wiersz
1 0 0, zatem...
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
53 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
1
0
0
.
.
.
.
.
.
·
3
2
2
0
1
4
6
4
3
=
3
2
2
.
.
.
.
.
.
Pierwszy wiersz będziemy chcieli przepisać bez zmian. Jeżeli przypomnimy sobie
własności mnożenia macierzy to będzie jasne, że aby uzyskać po prawej stronie
równania pierwszy wiersz bez zmian, to musimy przemnożyć naszą macierz A
przez wiersz
1 0 0, zatem...
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
54 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
1
0
0
.
.
.
.
.
.
·
3
2
2
0
1
4
6
4
3
=
3
2
2
.
.
.
.
.
.
Teraz będziemy chcieli wyzerować pierwszy współczynnik drugiego wiersza.
Niestety coś się nie zgadza, ponieważ on od samego początku jest równy 0. Co w
takim przypadku? Możemy po prostu pominąć ten krok i przejść odrazu do
wiersza trzeciego. Innymi słowy nie zmieniamy także drugiego wiersza.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
55 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
.
.
.
·
3
2
2
0
1
4
6
4
3
=
3
2
2
0
1
4
.
.
.
Teraz będziemy chcieli wyzerować pierwszy współczynnik drugiego wiersza.
Niestety coś się nie zgadza, ponieważ on od samego początku jest równy 0. Co w
takim przypadku? Możemy po prostu pominąć ten krok i przejść odrazu do
wiersza trzeciego. Innymi słowy nie zmieniamy także drugiego wiersza.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
56 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
.
.
.
·
3
2
2
0
1
4
6
4
3
=
3
2
2
0
1
4
.
.
.
Wyzerujmy w końcu współczynnik pod pierwszym elementem osiowym. Aby tego
dokonać musimy pomnożyć pierwszy wiersz przez -2, a następnie dodać go do
trzeciego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
57 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
−2
0
1
·
3
2
2
0
4
3
0
1
4
=
3
2
2
0
1
4
0
0
−1
Wyzerujmy w końcu współczynnik pod pierwszym elementem osiowym. Aby tego
dokonać musimy pomnożyć pierwszy wiersz przez -2, a następnie dodać go do
trzeciego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
58 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Ostatecznie otrzymujemy równianie:
1
0
0
0
1
0
−2
0
1
·
3
2
2
0
4
3
0
1
4
=
3
2
2
0
1
4
0
0
−1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
59 / 89
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Ostatecznie otrzymujemy równianie:
1
0
0
0
1
0
−2
0
1
·
3
2
2
0
4
3
0
1
4
=
3
2
2
0
1
4
0
0
−1
Zatem nasza macierz eliminacji to:
E
31
=
1
0
0
0
1
0
−2
0
1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
60 / 89
Ale co jeśli?
Ale co w przypadku, gdy naszej macierzy nie da się zredukować do postaci
górnotrójkątnej jednym działaniem? W takim przypadku należy znaleźć kilka
macierzy eliminacji. Zobaczmy...
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
61 / 89
Ćwiczenie 2a
Znajdź macierz (macierze) eliminacji E spełniającą równanie EA = U,
gdzie U to macierz górnotrójkątna oraz:
A =
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
62 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zacznijmy więc od przepisania pierwszego wiersza.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
63 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
.
.
.
.
.
.
·
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
=
5
10
5
.
.
.
.
.
.
Zacznijmy więc od przepisania pierwszego wiersza.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
64 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
.
.
.
.
.
.
·
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
=
5
10
5
.
.
.
.
.
.
Teraz wyzerujmy pierwszy współczynnik drugiego wiersza. Aby tego dokonać
pomnożmy pierwszy wiersz przez −
1
5
, a następnie dodajmy do wiersza drugiego,
zaś trzeci wiersz przepiszmy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
65 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
−
1
5
1
0
0
0
1
·
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
=
5
10
5
0
2
−8
−2
−8
12
Teraz wyzerujmy pierwszy współczynnik drugiego wiersza. Aby tego dokonać
pomnożmy pierwszy wiersz przez −
1
5
, a następnie dodajmy do wiersza drugiego,
zaś trzeci wiersz przepiszmy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
66 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
−2
−8
12
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zajmijmy się teraz kolejnym etapem eliminacji. Jak widać przepisaliśmy tą po
części zredukowaną formę.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
67 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
−2
−8
12
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pierwszy i drugi wiersz przepiszemy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
68 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
−2
−8
12
=
5
10
5
0
2
−8
.
.
.
Pierwszy i drugi wiersz przepiszemy bez zmian.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
69 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
−2
−8
12
=
5
10
5
0
2
−8
.
.
.
Aby wyzerować pierwszy współczynnik trzeciego wiersza musimy pomnożyć
pierwszy wiersz przez −
2
5
a następnie dodać do trzeciego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
70 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
2
5
0
1
·
5
10
5
0
2
−8
−2
−8
12
=
5
10
5
0
2
−8
0
−4
14
Aby wyzerować pierwszy współczynnik trzeciego wiersza musimy pomnożyc
pierwszy wiersz przez
2
5
a następnie dodać do trzeciego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
71 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Na koniec został nam trzeci etap eliminacji, który wyzeruje nam współczynnik pod
drugim elementem osiowym. Po tej operacji otrzymamy macierz górnotrójkątną.
Na początek przepiszemy zredukowaną formę.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
72 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
0
−4
14
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pierwszy i drugi wiersz znów przepisujemy.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
73 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
0
−4
14
=
5
10
5
0
2
−8
.
.
.
Pierwszy i drugi wiersz znów przepisujemy.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
74 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
.
.
.
·
5
10
5
0
2
−8
0
−4
14
=
5
10
5
0
2
−8
.
.
.
Aby wyzerować drugi współczynnik trzeciego wiersza należy pomnożyć drugi
wiersz przez 2 i dodać do trzeciego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
75 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
1
0
0
0
1
0
0
2
1
·
5
10
5
0
2
−8
0
−4
14
=
5
10
5
0
2
−8
0
0
−2
Aby wyzerować drugi współczynnik trzeciego wiersza należy pomnożyć drugi
wiersz przez 2 i dodać do trzeciego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
76 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Podsumowując, otrzymaliśmy 3 macierze eliminacji:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
77 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Podsumowując, otrzymaliśmy 3 macierze eliminacji:
E
21
=
1
0
0
−
1
5
1
0
0
0
1
E
31
=
1
0
0
0
1
0
2
5
0
1
E
32
=
1
0
0
0
1
0
0
2
1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
78 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Przepiszemy ostatecznie nasze równanie: E
32
· E
31
· E
21
· A = U
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
79 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Przepiszemy ostatecznie nasze równanie: E
32
· E
31
· E
21
· A = U
1
0
0
−
1
5
1
0
0
0
1
·
1
0
0
0
1
0
2
5
0
1
·
1
0
0
0
1
0
0
2
1
·
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
=
5
10
5
0
2
−8
0
0
−2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
80 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Przepiszemy ostatecznie nasze równanie: E
32
· E
31
· E
21
· A = U
1
0
0
−
1
5
1
0
0
0
1
·
1
0
0
0
1
0
2
5
0
1
·
1
0
0
0
1
0
0
2
1
·
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
=
5
10
5
0
2
−8
0
0
−2
Macierze eliminacji możemy wymnożyć, więc
E =
1
0
0
−
1
5
1
0
0
2
1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
81 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Ten przykład można było zrobić prościej.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
82 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Ten przykład można było zrobić prościej.
Możemy zauważyć, że drugi wiersz pomnożony przez 2 i dodany do trzeciego
wyzeruje dwa współczynniki trzeciego wiersza za jednym zamachem.
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
83 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Mamy, więc:
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
− >
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
84 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Mamy, więc:
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
− >
5
10
5
1
4
−7
0
0
−2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
85 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Zostanie nam tylko wyzerować pierwszy współczynnik drugiego wiersza poprzez
pomnożenie pierwszego przez −
1
5
i dodanie do drugiego.
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
− >
5
10
5
1
4
−7
0
0
−2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
86 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Zostanie nam tylko wyzerować pierwszy współczynnik drugiego wiersza poprzez
pomnożenie pierwszego przez −
1
5
i dodanie do drugiego.
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
− >
5
10
5
1
4
−7
0
0
−2
− >
5
10
5
0
2
−8
0
0
−2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
87 / 89
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie:
Zostanie nam tylko wyzerować pierwszy współczynnik drugiego wiersza poprzez
pomnożenie pierwszego przez −
1
5
i dodanie do drugiego.
5
10
5
1
4
−7
−2
−8
12
− >
5
10
5
1
4
−7
0
0
−2
− >
5
10
5
0
2
−8
0
0
−2
W tym przypadku macierz eliminacji możemy zapisać wręcz od razu, mianowicie:
E =
1
0
0
−
1
5
1
0
0
2
1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
88 / 89
Podsumowanie ćwiczenia 2
Wnioski:
Jak widać redukowanie macierzy do postaci górnotrójkątnej można
wykonywać różnymi metodami. Mimo różnic w technice postępowania
metody te opierają się na tych samych zasadach.
Mimo obrania konkretnej metody redukowania dalej istnieje wiele sposobów
postępowania, chociażby ze względu na wiele możliwości mnożenia,
dodawania, czy odejmowania wierszy.
Nie należy zatem zamykać się na jeden utarty schemat, a należy zachować
otwartość umysłu. Jak mawiał słynny filozof mistrz sztuk walki Bruce Lee:
”Prostota jest kluczem do świetności”
należy, więc zawsze próbować znaleźć jak najprostszą drogę do sukcesu.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z eliminacji macierzy
12 grudnia 2012
89 / 89
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
cwiczenia 1 z macierzy
03 cwiczenie3 macierze2id 4342 ppt
cwiczenia 2 z macierzy
Cwiczenia rownania macierzowe
16. Macierz bcg, Materiały PSW Biała Podlaska, ZiPM- ćwiczenia
Cwiczenia rzad macierzy
02 cwiczenie2 macierze1
Ćwiczenie 8-dieta eliminacyjna, DIETETYKA, Podstawy dietetyki
Cwiczenia metoda eliminacji
Ćwiczenie3 Macierze2
mathcad cwiczenia wektory macierze
cwiczenia 2 z macierzy
02 cwiczenie2 macierze1
więcej podobnych podstron