1

Ćwiczenia 4

W. Chemii, semestr 1, 2009/10

1. Transformacja i zasada względności Galileusza. Elementy szczególnej teorii względno-
ści.

Uważnie przeczytaj wykład 3. Spróbuj samodzielnie zrobid przykłady z wykładu, a następnie przystąp do
rozwiązywania poniższych zadao.

Naucz się wzorów na: dylatacje czasu, skrócenie Lorentza i transformacje Lorentza współrzędnych.

Metoda rozwiązywania zadań:
1.Uważnie przeczytaj temat i zastanów się, jaki efekt w zadaniu należy uwzględnid: dylatację czasu, skróce-
nie Lorentza, czy względnośd równoczesności zdarzeo oddalonych.
2. Ustal, w którym układzie odniesienia ten efekt będzie występowad, a w którym mierzony jest czas własny,
długośd własna.
3. Zastosuj odpowiednie wzory. Do obliczeo zawsze podstawiaj wartośd prędkości wyrażoną w jednostkach
c, nie przeliczaj na metry czy kilometry!

1. a. Wyprowadź wzór na skrócenie Lorentza wychodząc ze wzorów na transformację Lorentza dla współrzędnych.
b. Wytłumacz za pomocą skrócenia Lorentza fakt obserwacji cząstek przy powierzchni Ziemi, mimo że powstają
na wysokości ok. 8 km, a średni czas ich życia =2,2 10

– 6

s jest za krótki, aby poruszając się z prędkością v=0,996c

przebyły tę odległośd.

2. a. Twój samochód ma długośd l

0

= 5,0 m. Jaś oferuje ci garaż o długości d = 4,0 m i chce udowodnid, że samo-

chód się w nim zmieści. Jak szybko musi jechad twoim samochodem, żeby jego długośd była mniejsza od długości
garażu (dla obserwatora w układzie garażu)? Kiedy Jaś porusza się z tą prędkością, to jaką mierzy on długośd gara-
żu i czy w jego układzie odniesienia garaż jest dłuższy od samochodu?

3. Jacek podróżujący statkiem kosmicznym z prędkością u = 0,60c obserwuje transmisję meczu piłki nożnej roz-
grywanego na stadionie sportowym. Za pomocą transformacji Lorentza wyprowadź zależnośd pomiędzy czasem
trwania meczu na boisku t

b

a czasem, który poświęcił Jaś na jego oglądnięcie t

J

.

4. Średni czas życia cząstki elementarnej, kaonu dodatniego K

+

wynosi 0,1237 s. Jaką drogę w układzie odniesie-

nia związanym z laboratorium może przebyd podczas swego życia kaon , jeżeli w chwili swego powstania porusza
się w tym układzie odniesienia z szybkością 0,99c? Wykonaj obliczenie w ramach fizyki nierelatywistycznej i wynik
ten porównaj z obliczeniami za pomocą wzorów szczególnej teorii względności.

5. Średni czas życia mezonu wynosi około 2 10

–6

s. Przypuśdmy, że na pewnej wysokości w atmosferze została

wytworzona duża liczba mezonów i poruszają się one ku Ziemi z prędkością v = 0,99c. Liczba zderzeo z atomami
atmosfery jest niewielka. Załóżmy, że do powierzchni Ziemi dociera tylko 1% początkowo kreowanych mezonów.
Ocenid wysokośd, na której one powstają. (W układzie odniesienia związanym z mezonami liczba cząstek, które
pozostają po czasie t, jest dana wzorem

, gdzie jest średnim czasem życia, N(0) – po-

czątkową liczbą cząstek.)

6. Statek kosmiczny Jacka o długości własnej l

0

= 230m mija ze stałą prędkością względną v Agatę, która znajduje

się w punkcie A. Stwierdza ona, że statek Jacka mija ją (od punktu B do punktu C) w czasie 3,57 s. Ile wynosi
względna prędkośd v Agaty i statku kosmicznego (w jednostkach c)?

7. Jednocześnie w dwu różnych miejscach na Marsie, oddalonych od siebie o 100 km, odpalono sondy badawcze.
Grześ przelatujący pojazdem kosmicznym wzdłuż linii łączącej oba miejsca z prędkością 0,8c, zmierzył swoim zega-
rem czas odpalenia sondy A i sondy B. a. Jakie były wskazania jego zegara? b. Gdyby sondy odpalono w tym sa-

2

mym miejscu, ale odstęp czasu pomiędzy nimi wynosiłby 20s, to czy Grześ również postrzegałby je jako wycho-
dzące z tego samego miejsca? Dlaczego? Oblicz odległośd przestrzenną błysków w układzie Grzesia.

8. Na stacji metra w Paryżu podłożono bombę, która ma wybuchnąd za 10 s. Superman, poruszający się z prędko-
ścią v

S

=0,60c obiecuje przybyd z pomocą za 11 s. (czas zmierzony zegarkiem Supermana!) a. Czy zdąży unieszko-

dliwid bombę zanim wybuchnie? Odpowiedź przekonywująco uzasadnij obliczeniami.

9. Dwie wiązki elektronów wylatują z akceleratora z prędkościami 0,6c i 0,8c. Wiązki te skierowano przeciwbież-
nie. Oblicz prędkośd względną elektronów z punktu odniesienia jednej z wiązek.

10. Dwie rakiety A i B, każda o długości 100m, poruszają się ku sobie wzdłuż osi x, ze stałymi prędkościami v

A

=0,6c

oraz v

B

=0,8c mierzonymi względem układu odniesienia związanego z osią x. Oblicz: a. względną prędkośd obu

rakiet, b. długośd rakiety A, jaką zmierzy obserwator z rakiety B.

11. Stacja kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością 0,80c. Jaś sprawdza szczelnośd korytarzy stacji kosmicznej,
poruszając się po niej pojazdem osiągającym średnią prędkośd 72 km/h. Jaką prędkośd względem ziemskiego la-
boratorium ma Jaś jadący korytarzem równoległym do kierunku ruchu stacji kosmicznej, a jaką w korytarzu pro-
stopadłym?

12. Rakieta o długości spoczynkowej 350m porusza się w pewnym układzie odniesienia z prędkością 0,82c. Wzdłuż
niej, dokładnie w przeciwnym kierunku przelatuje meteoryt, którego prędkośd również wynosi 0,82c. Jak długo,
według obserwatora związanego z rakietą, meteoryt będzie mijad rakietę?

Na następne zajęcia proszę zrobić powyższe zadania oraz nauczyć się materiału z wykładu 3.
Bardzo przystępnie (z przykładami) zagadnienia z mechaniki relatywistycznej omówione są w
podanych poniżej pozycjach literatury.

Literatura

D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Podstawy fizyki, t.1.
(podręcznik polecany – z niego są zaczerpnięte niektóre tematy zadao)
B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK –przykłady i rozwiązania zadao z fiz.relatyw.

Pytania i zagadnienia, które mogą pojawić się na egzaminie pisemnym

1. a. Czego dotyczy szczególna teoria względności? Podaj jej postulaty.

(3p)

b. Wyprowadź wzory transformacji Lo-

rentza dla współrzędnych. Pokaż, że transformacja Galileusza jest granicznym przypadkiem transformacji Lorentza.

(4p)

c. Omów względność równoczesności zdarzeń oddalonych.

(3p)

2. a. Omów relatywistyczny efekt skrócenia długości – wyprowadź wzór. Podaj przykład, kiedy obserwujemy efekt
skrócenia.

(4p)

b. Wyjaśnij, jaka jest różnica między długością mierzoną a „widzianą” (wykres!)?

(3p)

c. Omów

względność równoczesności zdarzeń oddalonych.

(3p)

3. a. Czego dotyczy szczególna teoria względności? Podaj jej postulaty.

(3p)

b. Porównaj zasadę względności Ein-

steina z zasadą względności Galileusza.

(2p)

c. Wyjaśnij, na czym polega względność czasu w fizyce relatywistycz-

nej. Zdefiniuj czas własny. Wyprowadź wyrażenie na dylatację czasu. Sprawdź, co dostaniesz w granicy klasycznej.

(4p)

Podaj przykłady, kiedy mamy do czynienia ze zjawiskiem dylatacji czasu.

(1p)

4. a. Podaj postulaty szczególnej teorii względności.

(2p)

b. Napisz wzory transformacji Lorentza dla współrzędnych.

(2p)

c. Wyprowadź transformacje Lorentza składowych prędkości.

(3p)

d.

Dwie wiązki elektronów wylatują z akcele-

ratora z prędkościami o wartościach odpowiednio 0,8c i 0,9c. Wiązki te skierowano przeciwbieżnie. Oblicz wartość
prędkości względnej elektronów z punktu odniesienia jednej z wiązek. Czy otrzymany wynik jest zgodny z transfor-
macją Galileusza?

(3p)