Ć w i c z e n i e 31

WYZNACZANIE STAŁEJ RYDBERGA I STAŁEJ

PLANCKA Z WIDMA LINIOWEGO WODORU

31.1. Opis teoretyczny

Dostarczając energię do atomu można doprowadzić do jego wzbudzenia. Wzbudzony atom charak-
teryzuje się tym, że jego elektrony znajdują się na orbitach bardziej oddalonych od jądra niż w sta-
nie podstawowym. Po pewnym czasie zwanym czasem wzbudzenia (rzędu 10

-8

s) elektrony wracają

do któregoś ze stanów położonych bliżej jądra (np. do stanu podstawowego), czemu towarzyszy
emisja promieniowania elektromagnetycznego. Wybór danego przejścia, gdy istnieje kilka ich moż-
liwości, następuje w sposób statystyczny. Właściwościami tego promieniowania zajmuje się dział
fizyki zwany spektroskopią.
Każdy pierwiastek, którego atomy przechodzą od stanu wzbudzonego do potencjalnie niższego
emituje energię promienistą w szczególny, właściwy tylko dla siebie, sposób. Rozkład tej energii
nazywany jest widmem liniowym.
Trudne zadanie wyjaśnienia ogromnego materiału doświadczalnego z zakresu spektroskopii oraz
badań nad kwantowymi właściwościami promieniowania podjął Niels Bohr wprowadzając trzy po-
stulaty (postulaty Bohra):

I p o s t u l a t B o h r a

(stacjonarnych stanów atomu) zakłada, że istnieje tzw. stacjonarne

stany atomu, w których elektron, wbrew regułom fizyki klasycznej, nie emituje promieniowania. W
stanie stacjonarnym elektrony poruszają się w atomie po pewnych orbitach i nie wysyłają fal elek-
tromagnetycznych.

II p o s t u l a t B o h r a

(stacjonarnych orbit kwantowych) podaje sposób obliczania orbit

elektronowych, odpowiadających stanom stacjonarnym. Zgodnie z tym postulatem elektron nie
może poruszać się w atomie po dowolnych orbitach, lecz tylko po takich, dla których moment pędu
elektronu L jest całkowitą wielokrotnością wielkości h („kreślonej” stałej Plancka):

π

2

h

=

h

,

gdzie h = 6,62•10

-34

J s jest stałą Plancka

L

n

= n h n = 1, 2, 3, ... (31.1)

Dla orbit kołowych

L

n

= m

e

v

n

r

n

(31.2)

gdzie: m

e

- masa elektronu, v

n

– wartość orbitalnej prędkości elektronu na n-tej orbicie, r

n

– pro-

mień n-tej orbity elektronowej.
Tak więc drugi postulat Bohra przyjmuje postać

m

e

v

n

r

n

= n h (31.3)

III p o s t u l a t B o h r a

(częstotliwości) dotyczy energii emitowanej przez atom, który prze-

chodząc ze stanu wzbudzonego o energii E

n

do stanu o mniejszej energii E

m

wypromieniowuje fo-

ton. Energia fotonu E jest przy tym równa różnicy energii atomu w stanie początkowym i końco-
wym

E = E

n

– E

m

(31.4)

Jak wiadomo, energię fotonu E i częstotliwości emitowanego promieniowania

ν łączy zależność

E = h

ν (31.5)

Trzeci postulat Bohra przyjmuje więc postać

E

n

– E

m

= h

ν (31.6)

W ujęciu klasycznym warunkiem ruchu elektronu wokół jądra jest równość siły odśrodkowej i siły
przyciągania elektrostatycznego:

2

0

2

2

e

r

ε

π

4

e

r

v

m

=

stąd energia kinetyczna elektronu:

r

ε

π

8

e

2

v

m

E

0

2

2

e

k

=

=

(31.7)

Z II postulatu Bohra (31.3) wynika, że pęd elektronu

n

n

e

e

r

π

2

h

n

v

m

p

=

=

. Obliczając stąd energię

kinetyczną

e

2

n

2

2

2

e

2

k

m

r

π

8

h

n

m

2

p

E

=

=

. Z porównania ze wzorem (31.7) wynika, że

e

2

2

0

2

n

m

e

π

h

ε

n

r

=

n = 1 , 2 , 3 ,.... (31.8)

Potencjał pola elektrycznego wokół jądra wodoru wynosi

r

ε

π

4

e

V

0

=

. Energia potencjalna elek-

tronu w tym polu

r

ε

π

4

e

(-e)

V

E

0

2

p

=

=

. Energię całkowitą elektronu ( E ) otrzymujemy dodając

do niej energię kinetyczną wyrażoną wzorem (31.7) :

r

ε

π

8

e

r

ε

π

4

e

r

ε

π

8

e

E

E

E

0

2

0

2

0

2

k

p

−

=

−

=

+

=

(31.9)

Podstawiając za r wyrażenie (31.8) otrzymujemy energię całkowitą elektronu w zależności od nu-
meru orbity dozwolonej liczonej w kierunku od jądra atomu:

2

2

2
0

4

e

n

n

h

ε

8

e

m

E

−

=

(31.10)

Widzimy więc, że wprowadzenie drugiego postulatu Bohra spowodowało skwantowanie energii.
Energia elektronu może przyjmować tylko wartości dyskretne określone naturalną liczbą n nazy-
waną główną liczbą kwantową. Określa ona liczbę porządkową poziomu energetycznego lub numer
stacjonarnej orbity elektronu.
Jak wynika ze wzoru (31.10), wraz ze zwiększaniem głównej liczby kwantowej n (czyli w miarę
wzrostu promienia dozwolonej orbity) energia elektronu w atomie rośnie (maleje przy tym jej bez-
względna wartość). Maksymalna energia elektronu w atomie jest równa zeru. Odpowiada to

∞

=

n

,

czyli oderwaniu elektronu od jądra (jonizacji atomu). Stan odpowiadający n = 1, w którym elektron
znajduje się najbliżej jądra, nazywamy stanem podstawowym atomu. Stany odpowiadające wszyst-
kim pozostałym wartościom n > 1 noszą nazwę stanów wzbudzonych.
Zgodnie z trzecim postulatem Bohra (31.6) przejściu elektronu z orbity wyższej o energii E

n

na niż-

szą o energii E

k

(n > k) wypromieniowany foton będzie miał energię

k

n

E

E

hν

−

=

Z czego po uwzględnieniu zależności (31.10) oraz tego, że

λ

c

ν

= otrzymujemy wzór na długość

wypromieniowanej fali:









−

−

=

2

2

3

2
0

4

e

1

1

h

ε

8

e

m

1

n

k

c

λ

(31.11)

Współczynnik

c

3

2
0

4

e

h

ε

8

e

m

nazywamy stałą Rydberga dla atomu wodoru i oznaczamy R

H

.

Znając stałą Rydberga można wyznaczyć stałą Plancka:

3

H

3

2
0

4

e

R

h

ε

8

e

m

h

c

=

(31.12)

Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że stała Plancka jest stałą fizyczną uniwersalną (tzn. zacho-
wuje swoją wartość we wszystkich zjawiskach kwantowo-mechanicznych). Natomiast stała Ryd-
berga jest stała tylko dla zjawisk zachodzących wewnątrz atomu wodoru.
W ćwiczeniu atomy wodoru są wzbudzane wyładowaniami elektrycznymi w objętości. Widzialne
linie widmowe należą do tzw. serii Balmera odkrytej doświadczalnie w 1885r powstałą podczas
przejść elektronów z wyższych orbit na orbitę drugą:









−

=

2

2

H

1

2

1

R

1

n

λ

(31.13)

Są to cztery linie:

α

H czerwona

odpowiadająca przejściu

2

3

→

β

H niebieska

odpowiadająca przejściu

2

4

→

γ

H

fioletowa

odpowiadająca przejściu

2

5

→

δ

H

fioletowa

odpowiadająca przejściu

2

6

→

31.2. Opis układu pomiarowego

Źródłami światła w tym ćwiczeniu są gazy świecące (hel i wodór) w rurkach Geislera. Wzbudzenie
atomów gazów uzyskuje się poprzez przyłożenie do elektrod rurek Geislera wysokiego napięcia z
induktora Ruhmkorffa. W związku z tym nie wolno dotykać przewodów połączonych z wtórnym
uzwojeniem induktora w czasie jego pracy.
Widmo promieniowania badanego gazu zawartego w rurce pada na szczelinę wejściową mono-
chromatora Hilgera. Monochromatorem nazywamy przyrząd, który wycina promieniowanie mono-
chromatyczne z padającego na szczelinę wejściową światła. W związku z tym w okularze nie bę-
dziemy obserwowali jednocześnie całego widma, tylko jego poszczególne fragmenty. Wybór frag-
mentu widma, który chcemy obserwować, dokonywany jest za pomocą śruby z podziałką. Przekrę-
cając ją możemy zobaczyć w okularze całe badane widmo leżące w obszarze widzialnym.
Chcąc wykonać analizę widmową świecącego wodoru, musimy dokładnie wyznaczyć długości fal
poszczególnych linii. Aby to zrobić, należy najpierw wyznaczyć dla stosowanego spektrometru
(bądź monochromatora) krzywą aparaturową, zwaną krzywą dyspersji, używając pierwiastka o zna-
nym widmie. W ćwiczeniu jest nim hel posiadający wiele widzialnych prążków. Krzywa dyspersji
jest zależnością rzeczywistej długości fali od odczytanego z aparatury położenia linii. Obie te wiel-
kości nie są sobie równe z powodu nieidealności ustawienia i wyskalowania pryzmatu pomiarowe-
go.

31.3. Przebieg pomiarów

A. Wykreślenie krzywej dyspersji

1. Zaznajomić się z przeznaczeniem i działaniem poszczególnych części układu pomiarowego.
2. Ustawić naprzeciwko szczeliny wejściowej monochromatora rurkę Geislera z helem.
3. Włączyć induktor Ruhmkorffa. Gaz w rurce powinien się zaświecić.
4. Zaznajomić się z układem linii widmowych i ich intensywnością patrząc w okular i obracając

śrubę . Ustawić rurkę tak, aby w polu okularu otrzymać najjaśniejszy obraz linii.

5. Ustawić ostrość obrazu widocznego w okularze za pomocą śruby.
6. Nastawić śrubę na położenie skrajne długofalowe tzn. na 700 nm.
7. Przekręcając bardzo wolno śrubę, za jej pomocą ustawić naprzeciwko ostrza widocznego w

okularze najintensywniejsze linie. Położenie S tych linii odczytywane z podziałki na śrubie za-
pisać w tabeli 31.1, śrubę kręcić w kierunku krótkofalowym aż do 410 nm.

8. Powtórzyć czynności z punktu 7 przy kręceniu śruby w kierunku przeciwnym. Wyniki pomia-

rów wpisać do tabeli 31.1. Podane są w niej tablicowe wartości długości fal

λ widma helu.

9. Wyłączyć induktor Ruhmkorffa.

T a b e l a 31.1.

Wyniki pomiarów widma liniowego He do wykreślenia krzywej dyspersji

Nr linii

1

2

3

4

5

6

7

λ [µm]

667,8 587,56 501,5 492,1 471,3 447,1 438,8

barwa czerwony żółty zielony zielony

niebieski

fioletowy

fioletowy

S

(od siebie)

S

(do siebie)

S

B. Wyznaczenie długości fali w widmie wodoru

1. Ustawić rurkę napełnioną wodorem naprzeciwko szczeliny monochromatora.
2. Włączyć induktor Ruhmkorffa.

3. Obserwować kolejność i intensywność linii H

α

, H

β

, H

χ

(wzór 31.13) w okularze podczas prze-

kręcania śruby .

U w a g a: Obserwowane w zakresie widmo wodoru jest bardzo bogate w prążki. W przeważającej

większości jest to jednak widmo cząsteczki wodoru (H

2

), a nie atomu (H), którego dotyczy teo-

ria Bohra. Lnie atomowe łatwo można jednak rozpoznać po tym, że są wyraźnie wizualnie
ostrzejsze.

4. Ustawić ostrość obrazu za pomocą śruby okularu.
5. Zmierzyć położenie linii wodoru z serii Balmera. Odczytywać wyniki pomiarów dwukrotnie

przy obracaniu śruby w obu kierunkach. Oszacować błąd odczytu długości fali na śrubie

∆S po-

pełniany przy pomiarze położenia każdego z prążków. Wyniki zapisać w sposób analogiczny
jak w części A.

6. Wyłączyć induktor Ruhmkorffa.

31.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wyliczyć wartości średnie S z pomiarów dokonanych na widmie helu i wodoru.

2. Na podstawie danych z tabeli 31.1. wykreślić zależność wartości tablicowych długości fali

λ

widma helu od wartości ustalonych w eksperymencie

S . Jest to tzw. krzywa dyspersji.

3. Wyznaczyć na podstawie krzywej dyspersji długości fal dla linii wodoru H

α,

H

β

, H

γ

(

λ

α

,

λ

β

,

λ

γ

).

4. W oparciu o wzór (31.13) wyznaczyć stałą Rydberga









−

=

2

2

H

n

1

2

1

λ

1

R

dla każdej linii wodoru.

Wynikowa wartość R

H

to średnia arytmetyczna powyższych trzech rezultatów.

5. Uzyskaną wartość średnią podstawić do zależności (31.12) w celu wyznaczenia wartości sta-
łej Plancka.
6. Z uwagi na precyzyjne wyznaczenie położenia wybranych linii spektralnych można przyjąć,

że błąd względny

S

∆S

λ

∆λ =

Na podstawie wzoru (31.13) obliczyć graniczny błąd względny

wyznaczenia stałej Rydberga biorąc największą spośród trzech wartości

λ

λ

∆

:

λ

λ

∆

=

H

H

R

∆R

.

7. Wyliczyć graniczny błąd względny

h

∆h

. Stosując wzór na błąd graniczny do (31.12),

otrzymamy wyrażenie na błąd względny stałej Plancka

H

H

R

∆R

3

1

h

∆h =

31.5. Pytania kontrolne

1. Omówić rodzaje widma i podać warunki ich powstawania.
2. Sformułować postulaty Bohra.
3. Jakie znasz serie widmowe wodoru?
4. W jakim celu wykreślamy krzywą dyspersji monochromatora?
5. Omówić zasadę działania monochromatora.
6. Przedstawić metody wzbudzenia atomów.

L i t e r a t u r a

[1] Jeżewski M.: Fizyka. PWN, Warszawa 1970.
[2] Struczkow A.: Zagadnienia fizyki współczesnej. PWN, Warszawa 1979.
[3] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.IV. Optyka. PWN, Warszawa 1967.
[4] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.V. Fizyka atomowa. PWN, Warszawa 1969.