GEOMETRIA I GRAFIKA INŻYNIERSKA

(2)

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ

6. RZUT RÓWNOLEGŁY I JEGO WŁASNOŚCI

6.1. Podstawowe definicje i określenia

.

Jeżeli płaszczyznę



nazwiemy rzutnią a

prostą

k

kierunkiem rzutowania (lub prostą

kierunkową), to otrzymamy

aparat

rzutowania równoległego

.

Proste i płaszczyzny równoległe do
kierunku rzutowania nazywamy prostymi
(promieniami) i płaszczyznami rzutującymi.

Weźmy pod uwagę dowolną płaszczyznę



i prostą

k

nierównoległą do niej –

k ||



.

Rys. 6.1. Aparat rzutowania równoległego

Prosta rzutująca

p

równoległa do kierunku rzutowania

k

(

p || k

) i

przechodząca przez punkt

A

jest prostą rzutującą punkt

A

(rys. 6.2a).

Rzutem równoległym punktu

A

na płaszczyznę



w kierunku

k

jest

punkt

A’

. Jest to punkt w którym prosta

p

przebija rzutnię



.

A’ = p





lub A’(p,



)

Rys. 6.2. Rzutowanie punktu A i prostej m

Przy rzutowaniu prostej

m

na płaszczyznę



rzutujemy poszczególne jej

punkty przy pomocy prostych rzutujących przechodzących przez te punkty
(rys. 6.2b). Aby wyznaczyć rzut prostej wystarczą dwa punkty. Zgodnie z
rysunkiem 6.2b zbiór prostych rzutujących wyznacza płaszczyznę



zawierającą prostą

m

, którą nazywamy płaszczyzną rzutującą.

Rzutem prostej

m

na płaszczyznę



w kierunku

k

jest prosta

m’

w której płaszczyzna rzutująca



przecina rzutnię



.

m’ =







lub

m’(



,



)

Twierdzenie 6.1.

Rzutem równoległym prostej

m

. na płaszczyznę



w

kierunku

k

jest:

prosta – jeżeli prosta

m || k

punkt – jeżeli prosta

m || k

Twierdzenie 6.2.

Rzutem równoległym płaszczyzny



na płaszczyznę



w kierunku

k

jest:

prosta – jeżeli płaszczyzna



|| k

,

płaszczyzna – jeżeli płaszczyzna



|| k

Rys. 6.3. Rzutowanie płaszczyzny



na

płaszczyznę



Rys. 6.4. Rzutowanie kuli na płaszczyznę



Twierdzenie 6.3.

Rzutem równoległym przestrzeni

E

na płaszczyznę



w kierunku

k

jest płaszczyzna.

Jeżeli obiektem rzutowania jest część przestrzeni – bryła, np. kula, to jej rzutem będzie
część płaszczyzny - koło.
Figura, będąca zbiorem punktów będących rzutami punktów w których proste rzutujące
są styczne do bryły stanowi

zarys

,

brzeg

lub

kontur

bryły.

Rzutowanie brył jest rzutowaniem figur utworzonych przez punkty w
których promienie rzutujące są styczne do bryły.

6.2. Rzutowanie równoległe ukośne i prostokątne

Definicja 6.1.

Rzutowaniem równoległym nazywamy przyporządkowa-

nie punktom i figurom ich rzutów równoległych, przy czym:

a) gdy kierunek rzutowania

k





oraz

k ||



mówimy o rzutowaniu

równoległym ukośnym,
b) gdy kierunek rzutowania

k





mówimy o rzutowaniu

równoległym prostokątnym.

Rzutowanie równoległe prostokątne (lub krócej: prostokątne) ma
kierunek prostopadły do rzutni.

Rys. 6.4. Rzutowanie prostokątne
punktu

Jeżeli punkt

A’

jest rzutem

prostokątnym punktu

A

na rzutnię



to odcinek

AA’

leżący na prostej

rzutującej prostopadły do
płaszczyzny



jest równy odległości

punktu

A

od rzutni



.

Rys. 6.5. Rzutowanie ukośne i prostokątne odcinka

Jeżeli

A’B’

jest rzutem prostokątnym odcinka

AB

to kąt



jest kątem między tym

odcinkiem a rzutnią. Długość rzutu prostokątnego wynosi:

|A’B’| = |AB|



cos



Ponieważ cos





1 to |A’B’|



|AB

|

Rzut równoległy prostokątny odcinka nie może być dłuższy od tego odcinka.

Przy rzucie ukośnym
odcinka długość jego
rzutu równoległego
może być mniejsza,
równa lub większa od
długości tego odcinka.

Współczynnikiem deformacji liniowej, lub stosunkiem skróceń,
nazywamy liczbę wyrażającą stosunek długości rzutu równoległego
odcinka do długości tego odcinka.

|

AB

|

|

'

B

'

A

|





6.3. Niezmienniki rzutowania równoległego

Definicja 6.3.

Niezmiennikami rzutowania równoległego (zwanego też

przekształceniem równoległym) nazywamy takie właściwości figur
geometrycznych, które nie ulegają zmianie w trakcie rzutowania.
Są zatem właściwościami zarówno rzutowanych figur jak i ich rzutów.

1. Współliniowość punktów

Rzuty punktów zawartych w jednej prostej

m

nierównoległej do

kierunku rzutowania

k

, są zawarte w jednej prostej

A, B, C



m || k



A’, B’, C’



m’

Rzutem punktów zawartych w jednej prostej

m

równoległej do

kierunku rzutowania

k

(

m || k

) jest punkt, gdyż rzutem tej prostej

jest punkt.

Niezmiennikiem rzutowania równoległego jest stosunek podziału
odcinka na części.

Rys. 6.6. Podział odcinka i rzutu odcinka

2. Stosunek podziału

Jeżeli punkty

A

,

B

i

C

leżą na prostej

m

, to ich rzuty

A’

,

B’

i C’ leżą na

rzucie

prostej

m’

w

punktach

przecięcia z równoległymi prostymi
rzutującymi.

Na mocy twierdzenia Talesa możemy
napisać

|

'

B

'

C

|

|

'

C

'

A

|

|

CB

|

|

AC

|



Oznacza to, że przy rzutowaniu równoległym zachowany jest stosunek
podziału odcinka

AB

na części.

3. Równoległość prostych

Rzuty dwóch prostych równoległych, nierównoległych do kierunku
rzutowania

k

, są prostymi równoległymi

m || n || k



m’ || n’

Rys. 6.7. Równoległość prostych i płaszczyzn rzutujących

Jeżeli rzutujemy
odcinki równoległe
i równe, to ich rzuty
są również
równoległe i równe.

Płaszczyzny rzutujące proste równoległe są również równoległe.

4. Metryka figur płaskich równoległych do rzutni

Rzutem równoległym figury

F

równoległej do rzutni jest figura do niej

przystająca

F’

.

Przesuwając figurę

F

równolegle w

kierunku rzutowania, nałożymy ją na
jej rzut

F’

.

Oznacza to, że przy rzutowaniu
równoległym figury równoległej do
rzutni zachowane są wszystkie jej
związki miarowe - czyli metryka.

Pole rzutu figury jest równe polu figury rzutowanej

F





||





S

F

= S

F’

Rys. 6.8. Rzutowanie figury F
równoległej do rzutni



5. Rzut prostokątny kąta prostego

Rys. 6.9. Rzutowanie prostokątne kąta prostego i prostokąta

Rzut równoległy kąta prostego o jednym ramieniu równoległym
do rzutni jest również kątem prostym.
Proste

a

i

b

mogą być również prostymi skośnymi z kątem

prostym między nimi.

Niezmiennikiem rzutowania równoległego prostokątnego jest kąt
prosty o jednym ramieniu równoległym do rzutni.

ZADANIA DO WYKONANIA

Przykład 1.
Mając rzuty równoległe 3 kolejnych wierzchołków sześciokąta
foremnego wyznaczyć rzut tego sześciokąta.

B’

A’

C’

D’

E’

F’

Przykład 2.
Mając rzuty równoległe 3 kolejnych boków równoległościanu,
wyznaczyć rzut tego równoległościanu.

A’

B’

C’

B

1

’

D’

A

1

’

D

1

’

C

1

’

Dziękuję za uwagę