CAŠKA PODWÓJNA I POTRÓJNA (dla I roku IIst. MiBM)

opracowanie: Agnieszka Görlich

1. Oblicz

∫ ∫

D

x

2

ydxdy,

gdzie D : x

2

+ y

2

≤ 9.

2. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi
y = 0

, y = −x

2

+ x + 2

.

3. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej pªaszczyzn¡
z = 0

oraz powierzchni¡ V : x

2

+ y

2

+ z

2

= 4

, z ≥ 0.

4. Oblicz

∫ ∫

D

| cos(x + y)|dxdy,

gdzie D : [0, π] × [0, π].

5. Oblicz

∫ ∫

D

dxdy

(1

− x

2

− y

2

)

2

,

gdzie D : x

2

+ y

2

≤ x, x

2

+ y

2

≤ y.

6. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi
y

2

= 4x

, x + y = 3, gdzie y ≥ 0.

7. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzch-

niami x = 0, x = 1 − |y|, z = 0, z = 105x − 2y.

8. Oblicz

∫ ∫ ∫

V

e

−(x

2

+y

2

+z

2

)

√

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz,

gdzie V : x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 4.

9. Oblicz za pomoc¡ caªki potrójnej obj¦to±¢ bryªy zawartej pomi¦dzy powierzch-

niami z

2

= x

2

+ y

2

, z = 0, z = 4.

10. Oblicz

∫ ∫ ∫

V

(e

x

+

1

y

+

1

z

2

)dxdydz,

gdzie V = {(x, y, z) : 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3, −3 ≤ z ≤ −1}.

11. Oblicz

∫ ∫ ∫

D

sin x sin(x + y) sin(x + y + z)dxdydz,

gdzie D : [0, π] × [0, π] × [0, π].

12. Oblicz

∫ ∫ ∫

D

x

2

dxdydz,

gdzie D : 0 ≤ y ≤ 9 − x

2

− z

2

.

13. Oblicz

∫ ∫ ∫

D

z

2

dxdydz,

gdzie D : x

2

+ y

2

+ z

2

≤ R

2

, R > 0.

14. Oblicz za pomoc¡ caªki potrójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzch-

niami x = −1, x = 2, z = 4 − y

2

, z = 2 + y

2

.

2