CAKA PODWÓJNA I POTRÓJNA (dla I roku IIst. MiBM) opracowanie: Agnieszka Görlich
1. Oblicz
∫ ∫
x 2 ydxdy,
D
gdzie D : x 2 + y 2 ≤ 9.
2. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 0, y = −x 2 + x + 2.
3. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej pªaszczyzn¡
z = 0 oraz powierzchni¡ V : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0.
4. Oblicz
∫ ∫ | cos( x+ y) |dxdy,
D
gdzie D : [0 , π] × [0 , π].
5. Oblicz
∫ ∫
dxdy
,
D (1 − x 2 − y 2)2
gdzie D : x 2 + y 2 ≤ x, x 2 + y 2 ≤ y.
6. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi y 2 = 4 x, x + y = 3, gdzie y ≥ 0.
7. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzch-niami x = 0, x = 1 − |y|, z = 0, z = 105 x − 2 y.
8. Oblicz
∫ ∫ ∫
e−( x 2+ y 2+ z 2)
√
dxdydz,
V
x 2 + y 2 + z 2
gdzie V : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4.
9. Oblicz za pomoc¡ caªki potrójnej obj¦to±¢ bryªy zawartej pomi¦dzy powierzch-niami z 2 = x 2 + y 2, z = 0, z = 4.
10. Oblicz
∫ ∫ ∫
1
1
( ex +
+
) dxdydz,
V
y
z 2
gdzie V = {( x, y, z) : 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3 , − 3 ≤ z ≤ − 1 }.
11. Oblicz
∫ ∫ ∫
sin x sin( x + y) sin( x + y + z) dxdydz, D
gdzie D : [0 , π] × [0 , π] × [0 , π] .
12. Oblicz
∫ ∫ ∫
x 2 dxdydz,
D
gdzie D : 0 ≤ y ≤ 9 − x 2 − z 2.
13. Oblicz
∫ ∫ ∫
z 2 dxdydz,
D
gdzie D : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2, R > 0.
14. Oblicz za pomoc¡ caªki potrójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzch-niami x = − 1, x = 2, z = 4 − y 2, z = 2 + y 2.
2