CAŠKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA I

ZORIENTOWANA (dla I roku studiów IIst. MiBM)

opracowanie: Agnieszka Görlich

1. Oblicz pole poraboloidy z = x

2

+ y

2

odci¦tej pªaszczyznami z = 1, z = 4.

2. Oblicz pole pªata S zadanego parametrycznie

r :










x = u + v
y = u

− v

z = u

,

gdzie u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 1].

3. Oblicz mas¦ pªata powierzchniowego S : z =

1
2

(x

2

+ y

2

)

, z ≤ 2 o g¦sto±ci

ρ(x, y, z) = 5

.

4. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ niezorientowan¡

∫ ∫

S

(x + y + z)dS,

gdzie S jest powierzchi¡ prostopadªo±cianu x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2], z ∈ [0, 3].

5. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡ z pola ⃗F = [x, y

2

, z

3

]

po

zewn¦trznej stronie powierzchni prostopadªo±cianu x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1],
z

∈ [−1, 1].

6. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

S

xdydz + ydzdx + zdxdy,

gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni x

2

+ y

2

+ z

2

= 16

, z ≤ 0.

7. Oblicz, korzystaj¡c z twierdzenia Stokesa caªk¦

∫

(y

2

+ x

2

)dx + (z

2

+ x

2

)dy + (x

2

+ y

2

)dz.

8. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

S

xdydz + ydzdx + zdxdy,

gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni x

2

+ y

2

+ z

2

= 2

.

9. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

S

xdydz + zdxdy

, gdzie S

jest powierzchni¡ x = cos u, y = sin u, z = v, u ∈ [0, 2π], v ∈ [−1, 1].

10. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

S

x

2

dydz + y

2

dzdx + z

2

dxdy,

gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni czworo±ciany V graniczonego

pªaszczyznami x = 0, y = 0,x + y + z = 3.

2