Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

Geometria analityczna – Odpowiedzi

Zad.1. (Wsp. w., dł.)

(a) [−2, −5, −5], 3

√

6

(b) [3, 4, 1],

√

26

(c) [−5, −1, −4],

√

42

(d) [−11, 11, −11], 11

√

3

(e) [3, −4, 0], 5

(f) [4, −2, −4], 6

Zad.2. (Kon. w.)

(a) (4, 0, 4)

(b) (11, 11, 5)

(c) (1, −1, 1)

(d) (π, 2, 1)

Zad.3. (Kon. w.)

(a) (2, 2, 3)

(b) (3, 6, 2)

(c) (6, −12, −18)

(d) (−1, 4, 1 −

4

π

)

Zad.4. (Dod. w.)

(a) [−5, 20, −8]

(b) [14, −1, 7]

(c) [5

1
2

,

1
2

, 2

1
2

]

(d) [2

√

17+9

√

6, 7

√

17−6

√

6, −

√

17+6

√

6]

(e) [57, 412, −88]

Zad.5. (Równol.)

(a) (5, 4, 7)

(b) (2, 0, −2)

Zad.6. C = (10, −4, 9)

Zad.7. C = (7, 9, −30)

Zad.8. (Wers.)

(a) [

3
5

, 0, −

4
5

]

(b) [−

1
3

,

2
3

,

2
3

]

(c) [

2

√

2

3

,

√

2

6

, −

√

2

6

]

(d) [

4

√

5

15

,

√

5

3

, −

2

√

5

15

]

Zad.9. (Cos. kier.)

(a) −

2

√

5

5

, 0,

√

5

5

(b)

2
3

,

1
3

, −

2
3

(c)

√

10

6

,

4

√

10

15

, −

√

10

30

(d)

√

3

9

,

√

3

9

, −

5

√

3

9

Zad.10. (Il. sk. i wek.)

1

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

(a) 0, [−21, −42, 0]

(b) 45, [−2, 1, −4]

(c) −9, [1,

√

2, 0]

(d) −2, [2π − 1, −π

2

− 1, −π − 2]

Zad.11. (Il. miesz.)

(a) −4

(b) 11

(c) 17

(d) 6

Zad.12. (Dz.1.)

(a) 12, 3, 2

√

26

(b) 6, 3

√

5,

√

126

(c) 19,

√

219,

√

323

Zad.13. (Dz.2.)

(a) 52, [3, −10, −8],

√

221

(b) 78, [−18, −6, −2],

√

43

(c) 22, [11, −5, −3], 3

√

33

Zad.14. (Dz.3.)

(a) [5, 9, −69]

(b) [121, −10, −14] (c) 13

(d) −106

Zad.15. (Kąt)

(a)

π

4

(b)

π

2

(c) arccos

2

√

6

5

(d) arccos

√

14

6

Zad.16. (Prost.)

(a) 9

(b)

4
7

(c) ∅

(d) 2

(e) 1, 1 −

√

3, 1 +

√

3

(f) −3, −1, 1, 3

Zad.17. Żadnej.

Zad.18. [−15, −5, 8] lub [15, 5, −8]

Zad.19. [4, 5, 1] lub [−4, −5, −1]

Zad.20. (1 pł.)

(a) Nie.

(b) Tak.

(c) Nie.

(d) Tak.

Zad.21. (P. i wys. tr.)

(a)

√

82

2

,

q

82
43

(b)

√

118

2

,

q

118

77

(c)

√

273

2

,

q

91
23

Zad.22. (Obj. i wys.)

(a)

37

6

,

37

√

82

(b) 3,

9

√

5

5

(c)

17

3

,

17

√

10

15

Zad.23. (dług. wys.)

2

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

(a)

5

√

2

14

,

5

√

38

38

,

5

√

293

293

(b)

√

6

3

,

√

3

3

,

√

14

7

(c)

5

√

118

59

,

5

√

22

11

,

5

√

2

3

Zad.24. (Obj. równol.)

(a) 54

(b) 30

(c) 76

Zad.25. (Czwor.) (

1
3

, 0, 0) lub (−7

2
3

, 0, 0)

Zad.26. (Równoleg.) −

5

11

lub −

15
11

Zad.27. (R. pł.)

(a) 4x + 5y + 6z − 28 = 0

(b) 5x + y − z + 23 = 0

(c) x − 2y − 4z − 3 = 0

(d) 4x + 3y + z = 0

Zad.28. (R. pł. równ. do pł.)

(a) 2x − 3y + z − 14 = 0

(b) 4x − y − 2z + 6 = 0

Zad.29. (R. pł. 3 pkt.)

(a) z − 1 = 0

(b) 4x − y + 3z − 1 = 0

(c) x + 6y + z − 26 = 0

(d) 7x − y + 5z − 5 = 0

(e) Jest ich niesk. wiele, np. 2x−y −z +3 =

0.

(f) Jest ich niesk. wiele, np. 4x + y − 3z =

1 = 0.

Zad.30. (R. pł. 2 pkt. w.) 4x − y + z + 1 = 0

Zad.31. (R. pł. 2 pkt. pr.) x + 2y − 3z + 4 = 0

Zad.32. (R. pł. kąt) x +

√

6y + z − 1 = 0

Zad.33. (2 pł. pr./r.)

(a) −

1
2

(b) ∅

Zad.34. (R. pr.)

(a)











x = 4t + 2

y = −t

z = 5

(b)











x = t − 4

y = t + 3

z = −2t + 3

(c)











x = −t + 5

y = 2t

z = 3t + 4

(d)











x = 5t − 1

y = 6t + 1

z = −4t

Zad.35. (Pr. pł. ukł.) A(−20, −9, 0), B(−6

1
2

, 0, 4

1
2

), C(0, 4

1
3

, 6

2
3

)

Zad.36. (Pr. 2 pkt-y)

3

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

(a)











x = t + 2

y = 2t + 1

z = −t + 2

(b)











x = 5t − 1

y = 4t

z = 3t + 2

(c)











x = t − 4

y = −t + 3

z = 4

(d)











x = 11t + 6

y = −2t + 1

z = −7t − 5

Zad.37. (przec. pr. z pł. ukł.) OXY : (−20, −9, 0), OXZ: (−6

1
2

, 0, 4

1
2

), OY Z: (0, 4

1
3

, 6

2
3

)

Zad.38. (Pł. pkt. i pr.)

(a) 9x + 5y − 20z + 39 = 0

(b) 3x − y + 11z + 24 = 0

(c) 5x + y − 2z + 1 = 0

(d) 2y − z − 5 = 0

(e) 7x + 7y − 13z − 9 = 0

(f) 11x − 21y − 17z + 123 = 0

Zad.39. (Pkt. wspólne)

(a)











x =

1−t

2

y =

1−t

2

z = t

(b) (2, 4, −5)

(c) (−

2
3

,

16

3

, 3)

(d) (8, −

2
5

, 13

2
5

)

(e) (−14, −8, −3)

(f) ∅

Zad.40. (Rz. pr. na pł.)

(a)

x
1

=

y
1

=

z−1

−2

(b)

x+2,5

1

=

y−3,5

−1

=

z−0,5

1

(c)

x+

2
3

22

=

y−

14

3

−109

=

z+100

209

(d)

x−8

5

=

y+

2
5

−17

=

z−13

2
5

127

(e)

x+14

112

=

y+8

95

=

z+3

52

(f) (4

3

25

, 6

4

25

, −4)

Zad.41. (Rz. pkt. na pr.)

(a) (4

2
3

, 5

1
3

, 5

2
3

)

(b) (3, 0, 2)

(c) (4

2
3

, 4

2
3

, −5

2
3

)

(d) (3, 0, −3)

(e) (5

1
3

,

2
3

, 3

1
3

)

(f) (−1, 7, 0)

Zad.42. (Rz. pkt. na pł.)

(a) (7

2
3

, 6

1
3

, −1

1
3

)

(b) (6

2

21

, −

17
21

, 1

20
21

)

(c) (2, −2, −1)

(d) (4

12
13

, −3

10
13

, 2

4

13

)

Zad.43. (Pkt. symetr.)

(a) (4, 9, −9)

(b) (8, −1, −3)

(c) (6, 5, −5)

Zad.44. (Pr. rów. i przec.)











x = 5t + α

y = −3t + 25 − α − 2β

z = −t + β

4

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

Zad.45. (R. post. pr.)

(a)

x−5

−7

=

y+7

2

=

z−2

−5

,

(

x + y − z + 4 = 0

2x + 7y + 39 = 0;

(b)











x = t

y = −13t + 30

z = −7t + 60,

x

1

=

y−30

−13

=

z−60

−7

;

(c)











x = 2t + 1

y = 3t − 2

z = 4t + 3,

(

x − 2y + z − 8 = 0

4y − 3z + 17 = 0.

Zad.46. (Wzaj. poł. pr.)

(a) Przecinają się (w punkcie (1, 0, −1)).

(b) Są rozłączne.

(c) Pokrywają się.

Zad.47. (Odl. pkt. od pł.)

(a)

3

√

6

2

(b)

√

21

(c) 0

Zad.48. (Odl. pkt. od pr.)

(a)

√

237

9

(b)

√

3

(c) 3

√

5

Zad.49. (Pr.)











x = 6t + 4

y = −t

z = −5t − 2

Zad.50. (Pr. i pł.)

(a)











x = 4t + 4

y = t + 2

z = −t − 1

(b)











x = t + 4

y = −t + 2

z = −2t − 1

Zad.51. (Pł. i wekt. równ.)

(a) x − 2y − 4z + 6 = 0

(b) y + 6z − 18 = 0

Zad.52. (Pł. i 2 pr.)

(a) 3x − 4y + 5z + 1 = 0

(b) 4x − 7y + z − 2 = 0

(c) 3x − 30y − 2z + 120 = 0

Zad.53. (Odl. m. pr.)

5

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

(a)

√

5

(b) 2

√

3

Zad.54. (Odl. m. pł.)

(a) 1

2
3

(b)

9

√

14

28

(c) 0

Zad.55. (P. tr. oś y) (0, 8, 0) lub (0, −1, 0)

Zad.56. (Pł. par.) Dla wszystkich p 6= −1, 0. Współ. punktu (p

2

, 1 − p, 2p + 1).

Zad.57. (Pr. par.)

(a) −7

(b) −3

(c) 1

Zad.58. (Pkt. równoodl.)

(a) (1, 2, −1)

(b) (−

1
2

, 1

1
2

, −2

1
2

)

Zad.59. (Pł. i pr. wzaj. poł.)

(a) Są rozłączne.

(b) Przecinają się w jednym punkcie (−1, −4, 2).

(c) Przecinają się w jednym punkcie (−

2
3

, 1

1
3

,

1
3

).

Zadania dodatkowe

Zad.1. (Tr. wys. równ.)

x
5

=

y
1

=

z

−7

,

x+2

5

=

y+1

4

=

z−2

−3

,

x

5

=

y−3

16

=

z−4

13

Zad.2. (Czwor. wys. równ.)

x

6

=

y
5

=

z

−3

,

x−1

7

=

y−2

8

=

z−1
−10

,

x−2

5

=

y−2

2

=

z−3

−7

,

x−4

4

=

y+1

−1

=

z−2

−2

Zad.3. (Pł.) x +

√

2y − (2 +

√

2)z + 5(1 +

√

2) = 0 lub x −

√

2y − (2 −

√

2)z + 5(

√

2 − 1) = 0

Zad.4. (P. tr.)

√

66

2

6