POCHODNE CZĄSTKOWE

Niech X =

,

n

K

{e

1

, ..., e

n

} – baza kanoniczna

,

n

K





0

0

2

0

1

0

0

...,

,

,

,

,

:

,

Top

n

n

x

x

x

x

U

x

Y

U

f

U









K

(czyli x

0

-

punkt należący do zbioru U otwartego w

).

n

K

Wtedy

j-tą pochodną cząstkową

funkcji f w punkcie x

0

nazywamy pochodną kierunkową

 

0

x

f

D

j

e

w kierunku wektora e

j

i oznaczamy

 

 

.

:

0

0

x

f

D

x

x

f

j

e

j







Zatem

 









t

x

x

x

f

x

x

t

x

x

x

x

f

t

x

f

te

x

f

x

x

f

n

n

j

j

j

t

j

t

j

kierunkowe

pochodnej

def

z

j

)

...,

,

,

(

,

...

,

,

,

...,

,

,

lim

)

(

lim

0

0

2

0

1

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1

0

0

0

0

.

0

























Przykład

 















.

0

gdy

,

0

,

0

gdy

,

,

:

Niech

2

y

y

x

y

x

f

f

R

R

Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie

 

.

0

,

0

0



x

 



  

   

1

1

lim

0

lim

0

,

0

0

,

lim

0

,

0

0

,

0

lim

0

,

0

0

0

0

0































t

t

t

t

t

t

t

f

t

f

t

f

t

f

x

f

 



  

   

0

0

lim

0

0

lim

0

,

0

,

0

lim

0

,

0

0

,

0

lim

0

,

0

0

0

0

0































t

t

t

t

t

t

f

t

f

t

f

t

f

x

f

Związek między istnieniem pochodnych kierunkowych a ciągłością funkcji

Uwaga

1. Istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym

punkcie.

2. Istnienie pochodnej kierunkowej funkcji w punkcie w kierunku dowolnego wektora

(unormowanego) nie zapewnie ciągłości funkcji w tym punkcie.

1

Przykład

 















przypadku.

przeciwnym

w

,

0

,

0

lub

0

gdy

,

1

,

:

Niech

2

y

x

y

x

f

f

R

R

Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0), choć funkcja nie jest ciągła w
tym punkcie.

Przykład

 



















).

0

,

0

(

)

,

(

gdy

,

0

),

0

,

0

(

)

,

(

gdy

,

,

:

Niech

2

6

3

2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f

f

R

R

Zbadać ciągłość funkcji f oraz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego
wektora w punkcie

 

0

,

0

0



x

.

Niech





0

,

2

1







v

v

v

,



v - niezerowy wektor unormowany, tzn.

1





v

.

Wtedy

 

  





  



  









0

0

gdy

,

0

0

gdy

,

0

lim

lim

0

lim

0

,

0

,

lim

0

,

0

,

0

,

0

lim

0

,

0

2

2

2

2

0

6

1

4

2

3

1

0

0

2

2

6

1

4

3

2

3

1

4

0

2

2

2

6

1

6

2

3

1

4

0

2

1

0

2

1

0

































































v

v

v

v

t

v

v

t

v

v

t

t

v

v

t

t

v

t

v

t

v

v

t

t

f

tv

tv

f

t

f

v

v

t

f

f

D

t

t

t

t

t

v

Udowodniliśmy, że istnieje pochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kierunku
dowolnego wektora.

Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciągu



















3

1

,

1

,

n

n

y

x

n

n





oraz

)

0

,

0

(

,

lim

;

0

,

0

:















n

n

n

n

n

y

x

y

x

n N





 

0

,

0

0

2

1

1

2

1

lim

,

lim

6

6

f

n

n

y

x

f

n

n

n

n

















,

zatem na podstawie definicji Heinego

 

0

,

0

C

f



.

opracował Jacek Zańko

2