4.2. Pochodne cząstkowe funkcji.

Przyrost zmiennej i przyrost wartości funkcji

Niech będzie dana funkcja n – zmiennych z = f (x1, x2, .... xn). Niech także P0( x01 , x02, … ,x0n) będzie ustalonym, konkretnie wybranym punktem dziedziny D tej funkcji.

Rozważamy inny punkt P1 tej dziedziny i taki, który tylko jedną współrzędną różni się od punktu P0 albo dwiema, a nawet równocześnie wszystkimi współrzędnymi. Mówimy wówczas, że nastąpiła zmiana odpowiednich zmiennych.

Jeśli zmieniamy tylko jedną zmienną (współrzędną punktu), np. x0k o ∆x01, to ∆x01

nazywamy przyrostem zmiennej xk . Obliczając różnicę wartości funkcji f(P1) – f(P0) otrzymamy przyrost funkcji ze względu na zmienną xk ; nazywamy go przyrostem częściowym funkcji.

Jeśli rozważymy punkt P dziedziny, w którym zmieniają się wszystkie zmienne (współrzędne) równocześnie, to różnicę wartości funkcji f(P) – f(P0) nazywamy przyrostem zupełnym funkcji.

Zinterpretujmy te określenia w przypadku funkcji dwóch zmiennych.

Załóżmy, że z = f(x, y) jest daną funkcją o dziedzinie Df.

Niech P0(x0, y0) będzie danym punktem.

y

Zmieniamy tylko x0 o ∆x, czyli przechodzimy

od P

0( x0 , y0) do P1(x0 + ∆x, y0).

P0

P1

Odpowiadająca tej zmianie częściowa

zmiana wartości funkcji wyraża się wzorem:

x

∆f

x0

x

x = f(x0 + ∆x, y0) − f(x0, y0).

0+∆x

W przypadku zmiany y0 o ∆y mamy przejście ze stanu (x0, y0) do stanu (x0, y0 +∆y).

Odpowiadająca temu częściowa zmiana wartości funkcji wynosi:

∆fy = f(x0, y0 +∆y) − f(x0, y0).

W przypadku zmiany obu współrzędnych mamy przejście ze stanu (x0, y0) do stanu (x0 + ∆x, y0 +∆y) i odpowiadający temu przyrost zupełny funkcji:

∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0, y()).

Przykład

Funkcję f określono wzorem f(x,y) = -3x + 5y + 7. Jej dziedziną jest zbiór R2.

Rozważamy punkty P0(1, -3), P1(0,7; -3); P2(1; -2,5); P3 (0,7; -2,5);

Przyrosty zmiennych: ∆x = 0,7 – 1 = - 0,3 ; ∆y = -2,5 – (-3) = 0,5.

Wartości funkcji:

f(P0) = f(1, -3) = -3 -15 + 7 = - 11; f(P1) = f(0,7; -3) = -3⋅ 0,7 - 15 + 7 = - 10,1; f(P2) = f(1, -2,5) = -3 -5(-2,5) + 7 = - 8,5; f(P3) = f(0,7; -2,5) = - 7,6.

Przyrosty funkcji:

∆fx = f(P1) − f(P0) = 0,9 ; ∆fy = f(P2) − f(P0) = 2,5 ; ∆f = f(P3) − f(P0) = 3,4.

Pochodne cząstkowe

Analogicznie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej interesuje nas stosunek przyrostu f

∆

f

∆

cz

y

ęściowego wartości funkcji do przyrostu zmiennej, a więc ilorazy

x ,

określające

x

∆

y

∆

średnią prędkość zmiany funkcji w kierunku osi Ox oraz Oy, odpowiadającą zmianie zmiennych odpowiednio o ∆x albo ∆y.

Ogólnie

f

∆

f

∆

f

∆

Rozwa

x

x

x

żamy ilorazy

1

,

2

, …,

n

określające średnią prędkość zmiany funkcji

x

∆

x

∆

x

∆

1

2

n

z = f (x1, x2, .... xn) odpowiadające zmianie kolejnych zmiennych o ∆x1, ∆x2, …, ∆xn w stosunku do punktu P0( x01 , x02, … ,x0n)..

f

∆

f

∆

f

∆

Sko

x

x

x

ńczone granice ilorazów

1

,

2

, …,

n

, gdy przyrosty zmiennych ∆x1, ∆x2, …,

x

∆

x

∆

x

∆

1

2

n

∆xn zmierzają do 0 nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji z = f (x1, x2, .... xn) w punkcie P0( x01 , x02, … ,x0n)

Symbolicznie (w przypadku zmiennej x1):

f

∂ ( P )

f

∆

'

x

f (P

0

1

0) =

= lim

.

1

x

x

∂

x

∆

1

∆ x →0

1

1

Podobnie w przypadku kolejnych zmiennych.

Zinterpretujmy tę definicję w przypadku funkcji dwóch zmiennych.

Definicja

Niech z = f(x, y) jest daną funkcją o dziedzinie Df oraz P0(x0, y0) wraz ze swoim otoczeniem należy do tej dziedziny. Nadajmy zmiennej y wartość stałą y0. Wówczas z = f(x, y0) jest funkcją jednej zmiennej x. Oznaczmy ją z = g(x).

O ile funkcja g ma pochodną g’(x) w punkcie x0, to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem x w punkcie (x0, y0) i

 f

∂ 

f

∂ ( x , y )

oznaczamy ją symbolem '

f (x





lub

0

0

.

x

0, y0) lub  x

∂ 

x

∂

x= x , y= y

0

0

Jest ona granicą ilorazu różnicowego:

f

∂ ( x , y )

f

∆

'

f (x

0

0

=

x .

x

0, y0) =

lim

x

∂

∆

x

∆

x→0

Podobnie definiujemy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem y w punkcie (x0, y0) i oznaczamy ją symbolem

 f

∂ 

f

∂ ( x , y )

'

f (x

lub

0

0

.

y

0, y0) lub 



 y

∂ 

y

∂

x= x

=

0 , y

y 0

Definicja

Pochodna cząstkowa rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem x

 ∂ f 

w punkcie P(x, y) jest funkcją zmiennych x, y; oznaczamy ją krótko '

f lub 

 lub

x

 ∂ x 

f

∂ ( x, y) . Mówimy krótko: pochodna funkcji f po iksie.

x

∂

Pochodna cząstkowa rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem y

 ∂ f 

f

∂ ( x, y)

w punkcie (x, y) jest funkcją zmiennych x, y; oznaczamy '

f lub

lub

.

y





 ∂ y 

y

∂

Mówimy krótko: pochodna funkcji f po igreku.

Przykład

Niech f(x, y) = 3x2 – 4xy3 + 5. Wyznacz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji względem x, względem y w punkcie P(-2,3).

Zgodnie z definicją tworzymy funkcje:

f(x, 7) = 3x2 – 4x ⋅ 33 + 5 = 3x2 –108 x + 5.

f(-2, y) = 3(-2)2 – 4 (-2)y3 + 5 = 8y3 + 17.

Wtedy

'

f (-2,3) = (3x2 –108 x + 5)’

x

x = -2 = (6x –108 )x = -2 = - 120.

'

f (-2,3) = (8y3 + 17)’

y

y =3 = (24y2)y = 3 = 216.

Ostatecznie

'

f (-2,3) =- 120,

'

f (-2,3) =216.

x

y

Przykład

Gdy f(x, y) = 3x2 – 4xy3 + 5. Wtedy '

f (x,y) = 6x –4y3, '

f (x,y) = –12x y2.

x

y

−

Gdy f(x, y) = yx2 – 4 x y 4 + x, wtedy

−

−

−

'

f (x,y) = 2xy – 2y 4 x 0,5 + 1; '

f (x,y) = x2 +16 x y 5.

x

y

Obliczanie pochodnych cząstkowych '

f , '

f funkcji f nazywamy różniczkowaniem

x

y

funkcji f po x , po y. Funkcję f mającą pochodne '

f , '

f nazywamy różniczkowalną.

x

y

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych

Niech f będzie funkcją określoną w zbiorze D. Wykresem funkcji f jest zbiór punktów P = (x, y, z) przestrzeni (powierzchnia), których współrzędne spełniają związek z = f(x, y), gdzie (x, y)∈D,

Płaszczyzna o równaniu y = y0 przecina tę

powierzchnię wzdłuż krzywej k o

równaniu z = f(x, y0) i wobec tego

pochodna cząstkowa '

f (x

x

0, y0) jest

tangensem kąta nachylenia stycznej s do

krzywej k względem osi x w punkcie P0

(x0, y0, z0) tej powierzchni.

Analogicznie, płaszczyzna x = x0 przecina powierzchnię wzdłuż krzywej k' o równaniu z = f(x0,y) i pochodna '

f (x

y

0, y0) równa się tangensowi kąta nachylenia stycznej do k'

względem osi y w punkcie P0 (x0, y0, z0).

Funkcja f może mieć w punkcie P0 pochodne cząstkowe i nie być ciągła w tym punkcie.

Zadania

1. Oblicz przyrost funkcji f ze względu na x, na y oraz przyrost zupełny, gdy punkt P(-4, 2) przesunięto do punktu Q(3, 0), zaś funkcję f definiujemy wzorem:

a) f(x,y) = x – y, b) f(x,y) = x2y – 2xy2 + 3, c) z = x2 – y2 , d) z = |x| - |x – y|.

2. Oblicz przyrost funkcji f ze względu na x, na y oraz przyrost zupełny, gdy nastąpił

przyrost zmiennej x o ∆x = ½ , przyrost zmiennej y o ∆y = - ½ , poczynając od punktu P(-4, 2), zaś funkcję f definiujemy wzorem:

a) f(x,y) = 2x – y, b) f(x,y) = x2y2 – 2xy + 5, c) z = x2 – (y+1)2 .

3. Oblicz przyrost funkcji f ze względu na x, na y oraz przyrost zupełny, gdy nastąpił przyrost zmiennej x o ∆x = 0,1 , przyrost zmiennej y o ∆y = - 1 , poczynając od punktu P(x, y), zaś funkcję f definiujemy wzorem:

a) f(x,y) = 2x – 3y +2, b) f(x,y) = x2y2 – 2x(y + 5), c) z = 3x2 – (y+1)2 .

4. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

a) z = 2x – 3y +2, b) f(x,y) = x2y2 – 2x(y + 5), c) z = 3x2 – (y+1)2 ,

d) z = x + y - 2y3 , e) f(x,y) = ln (y2 – 3xy2 - 5), f) z = ln xy.

5. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

x

y

x − 2 y

x + 2 y

a) z =

− , b) z =

, c) z = sin (x +xy3), d) z =

xy

ye cos , e) z =

.

y

x

2

x + 3

5sin x