Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech funkcja
R
D
R
f
n
→
⊃
:
(D– otwarty) posiada pochodną cząstkową
i
x
f
∂
∂
w każdym punkcie
D
∈
x
. Jest więc określona funkcja
i
x
f
∂
∂
: R
n
⊃
D
∋
)
(x
x
i
x
f
∂
∂
→
Jeżeli powyższa funkcja ma pochodną cząstkową po j-tej zmiennej
)
(x
∂
∂
∂
∂
i
j
x
f
x
w punkcie
x, to
nazywamy ją drugą pochodną cząstkową funkcji f po zmiennych
j
i
x
x ,
i oznaczamy
)
(
)
(
2
x
x
i
j
x
x
i
j
f
x
x
f
′′
=
∂
∂
∂
.
Uwaga: Jeżeli
j
i
=
to będziemy stosować
)
(
2
2
x
i
x
f
∂
∂
(pochodna czysta)
Jeżeli
j
i
≠
to
)
(
)
(
2
2
x
x
j
i
i
j
x
x
f
x
x
f
∂
∂
∂
≠
∂
∂
∂
(pochodna mieszana)
Tw.(Schwarza)
(Malec s.92)
Jeżeli pochodne
)
(
2
x
i
j
x
x
f
∂
∂
∂
i
)
(
2
x
j
i
x
x
f
∂
∂
∂
są ciągłe w punkcie
x
, to są
równe.
Podobnie definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Pochodne mieszane, które różnią się
jedynie kolejnością różniczkowania, jeżeli są ciągłe to są sobie równe.
Przykład
Funkcja
=
≠
+
−
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
)
,
(
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
jest ciągła w punkcie (0,0) i jej pochodne
cząstkowe są równe
y
y
x
f
−
=
∂
∂
)
,
0
(
;
x
x
y
f
=
∂
∂
)
0
,
(
. Stąd
1
)
0
,
0
(
2
−
=
∂
∂
∂
x
y
f
a
1
)
0
,
0
(
2
=
∂
∂
∂
y
x
f
, gdyż
i
j
x
x
f
∂
∂
∂
2
i
j
i
x
x
f
∂
∂
∂
2
nie są ciągłe w punkcie
Różniczki wyższych rzędów
Oznaczenia
)
,...,
(
0
0
1
0
n
x
x
=
x
∆
x=(
∆
x
1
,...,
∆
x
n
)
→
)
,
(
:
0
δ
x
Ot
f
R
Różniczką funkcji f w punkcie
x dla przyrostu
∆
x nazywamy wyrażenie
df(
x
0
,
∆
x)=
i
n
i
x
f
x
i
∆
∑
=
∂
∂
)
(
0
1
x
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2
Jeżeli przy ustalonym
∆
x funkcja d(
⋅
,
∆
x) :
→
)
,
(
0
δ
x
Ot
R ma różniczkę , to nazywamy ją
drugą
różniczką funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy d
2
f (
x
0
,
∆
x).
Przykład. Wyprowadzić wzór na drugą różniczkę funkcji dwóch zmiennych.
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
))
,
(
),
,
((
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
d
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
∆
=
∆
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
∂
∂
=
=
∆
∆
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
]
)
,
(
)
,
(
[
]
)
,
(
)
,
(
[
))
,
(
),
,
((
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
d
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
f
x
x
x
x
2
1
2
1
1
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
Druga różniczka funkcji wielu zmiennych w danym punkcie jest formą kwadratową przyrostów
j
i
n
j
i
i
j
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
d
∆
∆
∂
∂
∂
=
∆
∆
∑
=
)
(
)
,...,
(
),
,...,
((
1
,
2
1
1
2
x
Uwagi o zapisie macierzowym drugiej różniczki.
[
]
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∆
∆
=
∆
∆
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
d
M
L
M
L
M
L
L
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
))
,.
,
,
,
(
),
,...,
((
x
x
x
x
Wzór na m-tą różniczkę funkcji n zmiennych
f
x
x
f
d
m
n
x
x
m
n
)
,...,
(
1
1
∆
∆
∂
∂
∂
∂
+
+
=
Zadanie. Napisać wzór na drugą różniczkę funkcji trzech zmiennych i trzecią różniczkę funkcji
dwóch zmiennych
Wzór Taylora
Jeżeli funkcja f : R
n
⊃
Ot(
x
0
,
δ
)
∋
x
→
f(
x)
∈
R ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu m w
)
,
(
0
δ
x
Ot
,
to istnieje
θ
∈
(0,1) takie , że dla każdego x
∈
Ot(x
0
,
δ
) prawdziwy jest wzór
m
m
m
r
f
d
f
d
df
f
f
+
−
+
+
−
+
−
+
=
−
−
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
0
0
1
)!
1
(
1
0
0
2
!
2
1
0
0
!
1
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
gdzie
)
),
(
(
0
0
0
!
1
x
x
x
x
x
−
−
+
=
θ
f
d
r
m
m
m
Uwaga: punkt „pośredni”
)
(
0
0
x
x
x
c
−
+
=
θ
leży wewnątrz odcinka o końcach x
0
, x
Dow. Parametryzujemy odcinek
)
(
)
(
0
0
x
x
x
x
−
+
=
t
t
;
]
1
,
0
[
∈
t
i tworzymy funkcję jednej zmiennej
))
(
(
)
(
0
0
x
x
x
−
+
=
t
f
t
ϕ
. Mamy więc rzeczywistą funkcję
ϕ
określoną na domkniętym odcinku
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
3
]
1
,
0
[
spełniającą założenia twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej. Stosując do niej wzór
Maclaurina otrzymujemy
m
m
m
m
m
m
1
)
(
!
1
1
)!
1
(
)
0
(
...
)
0
1
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
1
(
1
1
θ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
−
+
+
−
′
+
=
−
−
⇔
⇔
)
1
,
(
!
1
)
1
,
0
(
)!
1
(
1
...
)
1
,
0
(
!
1
1
)
0
(
)
1
(
1
θ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
m
m
d
m
d
m
d
+
−
+
+
+
=
−
Ale
(
)
)
(
)
(
),
(
)
,
(
0
0
0
0
t
t
t
t
f
d
t
t
d
k
k
x
x
x
−
+
=
ϕ
. Stąd
)
,
(
)
1
,
0
(
0
0
x
x
x
−
=
f
d
d
k
k
ϕ
itd.
Szczególny przypadek
2
=
m
+
−
−
∂
∂
∂
∂
+
=
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
)
(
),...,
(
!
1
1
)
,...,
(
)
,...,
(
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
M
x
x
[
]
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
−
+
0
0
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
0
0
1
1
)
~
(
)
~
(
)
~
(
)
~
(
,...,
!
2
1
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
M
O
Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x,y)=e
x
siny w punkcie (0,0) (wzór Maclaurina) dla m=4.
Odp.
4
3
6
1
2
2
1
sin
r
y
y
x
xy
y
y
e
x
+
−
+
+
=
Zastosowanie różniczki w teorii błędów
Dana jest funkcja f wielu zmiennych. Wektorowy argument funkcji nie jest znany lecz dysponujemy
jego pomiarem x obarczonym błędem Niech x+
∆
x oznacza prawdziwą nieznaną wartość argumentu a
błąd bezwzględny pomiaru (wektorowego) nie przekracza b (
∆
x
≤
b nierówność wektorowa).
Wówczas
i
n
i
i
b
x
f
df
f
f
|
)
(
|
|
)
,
(
|
|
)
(
)
(
|
1
∑
=
∂
∂
=
≈
−
+
∆
∆
x
x
x
x
x
x
.
Wytłumaczenie przybliżonego charakteru wzoru , kiedy to przybliżenie jest „dobre” i jak postąpić gdy przybliżenia nie jest zadowalające
.
Przykład. Oszacować metodą różniczki zupełnej błąd jaki popełniamy obliczając objętość
prostopadłościanu o krawędziach 4.1, 3.2, 8.4 zmierzonych odpowiednio z dokładnością 0.1, 0.1,
0.2. Odp. (błąd bezwzględny
≤
8.756, błąd względny 8% (wytłumaczyć jak rozumiemy błąd
względny)
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
4
Funkcje uwikłane
Przykład 1.Rozważmy równanie
0
)
,
(
=
y
x
f
np.
0
1
2
2
=
−
+
y
x
i niech
)
,
( b
a
spełnia
0
)
,
(
=
y
x
f
,
czyli
0
)
,
(
=
b
a
f
Pytanie: Czy dla dowolnego
]
1
,
1
[
−
∈
x
istnieje taki
)
(x
y
, że
0
))
(
,
(
=
x
y
x
f
i
b
a
y
=
)
(
?
Niech (a,b)=(0,1). Wówczas funkcja
2
1
)
(
x
x
y
−
=
; -1
≤
x
≤
1 spełnia powyższe warunki. Ale spełnia
je także funkcja
)
(
]
1
,
1
[
]
1
,
1
[
1
1
)
(
2
2
Q
R
x
Q
x
x
x
x
y
−
∩
−
∈
∩
−
∈
−
−
−
=
. Dokładając warunek ciągłości funkcji y(x)
eliminujemy ten przypadek.
Jeżeli (a,b)=(1,0), to nie istnieje funkcja y(x) będąca rozwiązaniem problemu, ale istnieje funkcja x(y)
spełniająca warunki zadania.
Powód.
W punkcie (1,0) nie istnieje styczna Ax+By+C=0 dająca się rozwikłać ze względu na y ale
daje się rozwikłać ze względu na x.
Przykład 2
.
Wersja liniowa twierdzenia o funkcji uwikłanej
n
n
R
x
x
∈
=
T
1
)
,...,
(
x
m
m
R
y
y
∈
=
T
1
)
,...,
(
y
Rozważmy układ m równań z
m
n
+
niewiadomymi w postaci blokowej
[ ]
[ ]
0
y
x
B
A
=
,
, gdzie A jest macierzą o wymiarach (m,n) a B macierzą o wymiarach (m,m)
Załóżmy, że B jest macierzą odwracalną (
0
det
≠
B
). Wówczas
Ax
B
x
y
B
0
By
Ax
1
1
)
(
−
−
−
=
=
+
Idea. Jeżeli rozważymy równanie
0
y
x
=
)
,
(
f
z funkcją
1
)
,
( b
a
Ot
C
f
∈
)
)
,
(
(
0
b
a
=
f
, to funkcja ta
zachowuje się w tym otoczeniu podobnie do pochodnej
)
,
(
'
b
a
f
, która jest odwzorowaniem
liniowym. Badanie tego odwzorowania (pochodnej) dostarczy informacji o nieliniowej funkcji
uwikłanej
)
(x
g
y
=
określonej równaniem
f(x,y)=0 o wykresie leżącym w otoczeniu punktu
(a,b).
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
5
Twierdzenie o funkcji uwikłanej – wersja I
( Prosty dowód Leja F. Rachunek różniczkowy i całkowy)
.
Jeżeli
•
funkcja
f(x,y) ma ciągle pochodne cząstkowe
x
f
∂
∂
i
y
f
∂
∂
w otoczeniu punktu (
x
0
,
y
0
)
•
f(x
0
,
y
0
)=0 i
0
)
,
(
0
0
≠
∂
∂
y
x
y
f
to
1.
dla każdej dostatecznie małej liczby
ε
>0 istnieje taka liczba
δ
>0 , że każdej wartości x z
przedziału (
x
0
-
δ
,
x
0
+
δ
) odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie
y(x) równania f(x,y)=0 należące
do przedziału (
y
0
-
ε
,
y
0
+
ε
)
2.
funkcja
y(x) jest ciągła w przedziale (x
0
-
δ
,
x
0
+
δ
) i ma w nim ciągłą pochodną wyrażoną wzorem
)
,
(
)
,
(
)
(
'
y
x
y
x
x
y
y
f
x
f
∂
∂
∂
∂
−
=
, gdzie y=y(x)
Tw
.(o funkcji uwikłanej)-wersja II. Jeżeli
m
m
n
R
E
R
f
→
⊃
+
:
jest klasy
1
E
C
(E – otwarty),
E
b
a
∈
)
,
(
i
0
b
a
=
)
,
(
f
oraz
]
,
[
)
,
(
'
y
x
f
A
A
b
a
=
, gdzie
y
A
- odwracalna, to istnieją zbiory
otwarte
m
n
R
U
+
⊂
i
n
R
W
⊂
takie, że
U
y
x
y
W
x
∈
∃
∀
∈
)
,
(
!
i
0
y
x
=
)
,
(
f
, czyli równanie
0
y
x
=
)
,
(
f
określa dokładnie jedną funkcję
m
n
R
W
R
g
→
⊃
:
taką, że
b
a
=
)
(
g
i
0
))
(
,
(
=
∀
∈
x
x
x
g
f
W
.
Ponadto g jest klasy
1
W
C
i
x
y
A
A
g
1
)
(
−
−
=
′
a
.
Np.
3
=
n
2
=
m
−
+
−
=
+
−
+
=
3
1
1
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
6
cos
)
,
,
,
,
(
3
4
2
)
,
,
,
,
(
:
1
x
x
y
y
y
y
y
x
x
x
f
x
x
y
e
y
y
x
x
x
f
f
y
)
7
,
2
,
3
(
=
a
)
1
,
0
(
=
b
0
)
,
(
=
b
a
f
! Czy ten układ równań ( równanie wektorowe)
=
−
+
−
=
=
+
−
+
=
0
2
6
cos
)
,
,
,
,
(
0
3
4
2
)
,
,
,
,
(
3
1
1
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
1
x
x
y
y
y
y
y
x
x
x
f
x
x
y
e
y
y
x
x
x
f
y
określa w otoczeniu punktu
a funkcje uwikłaną?
Pochodna
−
−
−
=
=
1
6
3
2
1
0
2
0
4
1
]
,
[
)
,
(
'
y
x
f
A
A
b
a
i
0
20
det
≠
=
y
A
Wniosek. W pewnym otoczeniu punktu (a,b) równanie
0
y
x
=
)
,
(
f
określa w otoczeniu punktu
a
funkcję uwikłaną
2
3
:
R
W
R
g
→
⊃
taką, że
b
a
=
)
(
g
i
−
−
=
−
−
=
′
6
1
5
6
2
1
20
3
5
1
4
1
2
6
3
1
20
1
)
7
,
2
,
3
(
x
g
A
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
6
Ekstrema lokalne funkcji rzeczywistych
Def. Funkcja
R
E
X
f
→
⊃
:
(
E
∈
°
x
- otwarty,
−
X
przestrzeń metryczna) ma w punkcie
°
x
minimum lokalne
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
≥
∀
∃
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
, a minimum lokalne właściwe
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
>
∀
∃
°
≠
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
.
Def. Funkcja
R
E
X
f
→
⊃
:
(
E
∈
°
x
- otwarty,
−
X
przestrzeń metryczna) ma w punkcie
°
x
maksimum lokalne
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
≤
∀
∃
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
, a minimum lokalne właściwe
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
<
∀
∃
°
≠
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
.
Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum )
Jeżeli funkcja
R
E
X
f
→
⊃
:
ma w punkcie
E
∈
°
x
ekstremum lokalne i istnieje w
°
x
pochodna cząstkowa
)
(
°
∂
∂
x
i
x
f
(
n
i
,...,
1
=
) , to
0
)
(
=
°
∂
∂
x
i
x
f
dla
n
i
,...,
1
=
.
Dowód. dla minimum
<
<
>
>
=
°
−
+
°
0
0
0
0
)
(
)
(
t
t
t
f
t
f
i
dla
dla
x
e
x
i
)
(
°
∂
∂
x
i
x
f
istnieje. Stąd
)
(
°
∂
∂
x
i
x
f
=0.
Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli f : R
n
⊃
E
∋
x
→
f(x)
∈
R
•
jest klasy
2
E
C (tzn. ma drugie pochodne cząstkowe ciągłe w E)
•
0
)
(
0
=
∂
∂
x
i
x
f
, i=1,...,n
•
d
2
f(x
0
,
∆
x) > 0 (<0) ,
∀
∆
x
≠
0
to f ma w punkcie x
0
minimum (maksimum) lokalne właściwe
Dowód. Z wzoru Taylora dokładnie jak dla funkcji jednej zmiennej mamy
)
),
(
(
)
(
)
(
0
0
0
2
!
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
=
−
θ
f
d
f
f
>0
∀
∆
x
≠
0, gdy d
2
f(x
0
,
∆
x) > 0, gdyż z ciągłości
pochodnych rzędu drugiego, dla ustalonych przyrostów druga różniczka jest funkcją ciągłą w x
0
więc
z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku
)
,
(
0
0
2
x
x
x
−
f
d
i
)
),
(
(
0
0
0
2
x
x
x
x
x
−
−
+
θ
f
d
mają ten
sam znak dla
∀
∆
x
≠
0
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
7
Uzupełnienia z algebry
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R liczb rzeczywistych. Formą dwuliniową nad V
nazywamy funkcję
R
V
V
Q
→
×
:
spełniającą warunki:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
w
v
w
v
w
v
v
Q
Q
Q
+
=
+
)
,
(
)
,
(
w
v
w
v
Q
Q
λ
λ
=
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
w
v
w
v
w
w
v
Q
Q
Q
+
=
+
)
,
(
)
,
(
w
v
w
v
Q
Q
λ
λ
=
dla dowolnych wektorów
1
v
,
2
v
,
1
w
,
2
w
i dowolnej liczby rzeczywistej
λ
.
Niech
}
,...,
{
1
n
B
e
e
=
będzie bazą przestrzeni V. Niech
=
n
x
x
M
1
x
i
=
n
y
y
M
1
y
oznaczają współrzędne
wektorów
v
i
w
w bazie B tzn.
i
n
i
i
x e
v
∑
=
=
1
i
j
n
j
i
y
e
w
∑
=
=
1
.
Wówczas
∑
∑
=
=
=
=
n
j
i
j
i
ij
n
j
i
j
i
j
i
y
x
a
y
x
Q
Q
1
,
1
,
)
,
(
)
,
(
e
e
w
v
, czyli wartość formy dwuliniowej dla dowolnej
pary wektorów jest jednoznacznie wyznaczona przez jej wartości na parach wektorów bazowych
)
,
(
j
i
ij
Q
a
e
e
=
; i,j=1,…,n , które tworzą symetryczną (
ji
ij
a
a
=
) macierz kwadratową
[ ]
=
=
nn
n
n
ij
a
a
a
a
a
A
L
M
O
M
L
1
1
11
.
Przy ustalonej bazie B przestrzeni V możemy traktować formę dwuliniową jako funkcję
R
R
R
Q
n
n
→
×
:
określoną w przestrzeni współrzędnych wzorem
∑
=
=
n
j
i
j
i
ij
y
x
a
Q
1
,
)
,
( y
x
,
który można także zapisać jako
Ay
x
y
x
T
=
)
,
(
Q
lub
y
Ax
y
x
,
)
,
(
=
Q
gdzie
⋅
⋅
,
oznacza klasyczny iloczyn skalarny w R
n
.
Przyjmując w szczególności
y
x
=
otrzymujemy z formy dwuliniowej tzw. formę kwadratową
n zmiennych rzeczywistych
n
x
x ,...,
1
,czyli funkcję
j
n
j
i
i
ij
n
n
x
x
a
x
x
Q
R
∑
=
=
=
=
→
∋
1
,
1
)
,...,
(
)
,
(
)
(
:
ϕ
ϕ
ϕ
x
x
x
x
przy czym a
ij
= a
ji
Oczywiście forma kwadratowa ma przy ustalonej bazie przestrzeni V ma dokładnie jedną
reprezentację macierzową
x
Ax
Ax
x
x
,
)
(
=
=
T
ϕ
, gdzie A jest macierzą symetryczną.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
8
Przykład . Forma kwadratowa 3 zmiennych
.
]
,
,
[
2
2
2
)
,
,
(
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
2
1
3
2
23
3
1
13
2
1
12
2
3
33
2
2
22
2
1
11
3
1
,
3
2
1
=
=
+
+
+
+
+
=
=
∑
=
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
x
j
j
i
i
ij
ϕ
Problem. Jak zmienia się macierz formy gdy zmienimy bazę przestrzeni V.
Oczywiście przechodząc od starej bazy
}
,...,
{
1
n
B
e
e
=
do nowej
}
,...,
{
'
'
1
'
n
B
e
e
=
określamy macierz
przejścia
[ ]
ij
p
=
P
formułą
i
n
i
ij
j
p e
e
∑
=
=
1
'
; j=1,…,n. Związek miedzy współrzędnymi wektora v w
starej i nowej bazie jest zadany równością
'
Px
x
=
. Wstawiając powyższe do równości
'
'
'
'
'
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
A
x
x
x
v
v
x
x
Ax
x
T
T
=
=
=
=
Q
Q
Q
otrzymujemy
'
'
'
'
'
'
'
)
(
)
(
)
(
x
A
x
x
AP
P
x
Px
A
Px
T
T
T
T
=
=
a stąd
AP
P
A
T
=
'
.
Formę kwadratową
ϕ
nazywamy
•
nieujemną
-
gdy
∀
x
∈
R
n
ϕ
(x)
≥
0
•
niedodatnią
-
gdy
∀
x
∈
R
n
ϕ
(x)
≤
0
•
dodatnią
-
gdy
∀
x
∈
R
n
,x
≠
0 :
ϕ
(x) > 0
•
ujemna
-
gdy
∀
x
∈
R
n
,x
≠
0 :
ϕ
(x) < 0
•
dodatnio określoną
-
gdy
∃
c>0
∀
x
∈
R
n
:
2
)
(
x
x
c
≥
ϕ
•
ujemnie określoną
-
gdy
∃
c>0
∀
x
∈
R
n
:
2
)
(
x
x
c
−
≤
ϕ
•
nieokreśloną
-
gdy
∃
x
∈
R
n
ϕ
(x) > 0 i
∃
y
∈
R
n
ϕ
(y) < 0
Uwaga. W przypadku definiowania form kwadratowych na nieskończenie wymiarowej przestrzeni
liniowej unormowanej należy odróżniać pojęcia.
dodatniość formy
i
dodatnia określoność formy
ujemność formy
i
ujemna określoność formy
W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych pojęcia te pokrywają się. Jest to konsekwencją
zwartości sfery jednostkowej w przestrzeni skończenie wymiarowej.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
9
Badanie określoności formy kwadratowej jest szczególnie proste, gdy macierz tej formy jest macierzą
diagonalną. Mówimy wtedy, że forma kwadratowa jest w postaci kanonicznej. Istnieje wiele metod
sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Poniżej omówimy metodę Jakobiego,
wykorzystującą tzw. przekształcenie trójkątne.
Niech
[ ]
=
=
nn
n
n
ij
a
a
a
a
a
A
L
M
O
M
L
1
1
11
będzie macierzą formy kwadratowej w pewnej bazie B.
Def. Minorami wiodącymi (odpowiednich stopni) macierzy
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
nazywamy
następujące wyznaczniki
11
1
a
D
=
,
22
21
12
11
2
a
a
a
a
D
=
,...,
nn
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
L
M
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
=
.
Załóżmy, że wszystkie minory wiodące są różne od 0.
Szukać będziemy nowej bazy
}
,...,
{
'
'
1
'
n
B
e
e
=
postaci
n
nn
n
n
p
p
p
p
p
e
e
e
e
e
e
e
e
+
+
=
+
=
=
L
M
1
1
'
2
22
1
12
'
2
1
11
'
1
,co odpowiada trójkątnej macierzy przejścia
nn
n
n
p
p
p
p
p
p
L
M
O
M
M
L
L
0
0
0
2
22
1
12
11
.
W nowej bazie forma kwadratowa ma postać
'
1
,
'
'
'
)
,
(
j
n
j
i
i
j
i
x
x
Q
∑
=
e
e
. Szukać będziemy takiej bazy, aby
0
)
,
(
'
'
=
j
i
Q
e
e
dla
j
i
≠
.
Łatwo zauważyć, że gdy
0
)
,
(
'
=
j
i
Q
e
e
dla j=1,…,i-1, to
0
)
,
(
'
'
=
j
i
Q
e
e
dla j=1,…,i-1.
Rzeczywiście
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
'
1
'
'
'
=
=
=
∑
∑
=
=
j
k
k
i
kj
j
k
k
kj
i
j
i
Q
p
p
Q
Q
e
e
e
e
e
e
.
Warunki
0
)
,
(
'
=
j
i
Q
e
e
dla i=1,…,n; j=1,…,i-1 wyznaczają wektory
'
i
e
z dokładnością do stałej.
Przyjmijmy więc, że
1
)
,
(
'
=
i
i
Q
e
e
. Wówczas
ii
i
ii
i
i
i
p
p
Q
Q
=
=
)
,
(
)
,
(
'
'
'
e
e
e
e
. Aby wyznaczyć postać
kanoniczną formy wystarczy wyliczyć przekątną
ii
p
; i=1,…,n macierzy przejścia.
1
)
,
(
1
'
1
=
e
e
Q
⇒
1
)
,
(
1
1
11
=
e
e
p
Q
⇒
1
11
11
=
a
p
⇒
1
11
1
1
11
D
a
p
=
=
=
=
1
)
,
(
0
)
,
(
2
'
2
1
'
2
e
e
e
e
Q
Q
⇒
=
1
0
22
12
22
21
12
11
p
p
a
a
a
a
⇒
2
1
22
D
D
p
=
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
10
=
=
0
)
,
(
0
)
,
(
'
1
'
n
n
k
Q
Q
e
e
e
e
M
⇒
=
1
0
1
1
1
11
M
M
L
M
O
M
L
kk
k
kk
k
k
p
p
a
a
a
a
⇒
k
k
D
D
kk
p
1
−
=
, k=1,…,n , przy czym
1
:
0
=
D
.
W nowej bazie
}
,...,
{
'
'
1
'
n
B
e
e
=
forma kwadratowa ma postać
2
'
1
1
i
n
i
D
D
x
i
i
∑
−
−
.
Jako wniosek dostajemy.
Twierdzenie. (kryterium Sylvestera).
Forma kwadratowa
Ax
x
x
T
=
)
(
ϕ
jest dodatnia (dodatnio określona)
⇔
D
i
>0 i=1,…,n.
Forma kwadratowa
Ax
x
x
T
=
)
(
ϕ
jest ujemna (ujemnie określona)
⇔
(-1)
i
D
i
>0 i=1,…,n.
Jeżeli wszystkie minory wiodące D
i
są różne od 0 i zmieniają się inaczej niż w powyższych
przypadkach , to forma jest nieokreślona.
Przykład. W bazie kanonicznej w R
3
dana jest forma kwadratowa
.
1
0
2
0
1
2
2
]
,
,
[
4
3
2
)
,
,
(
3
2
1
2
3
2
3
3
2
1
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
=
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ϕ
Minory wiodące są równe
2
1
=
D
,
4
1
2
3
2
3
2
1
2
−
=
=
D
,
.
1
0
2
0
1
2
2
4
17
2
3
2
3
3
−
=
=
D
Macierz przejścia do nowej bazy jest postaci
=
33
23
22
13
12
11
0
0
0
p
p
p
p
p
p
P
. Kolejne jej kolumny są
rozwiązaniami układów równań
[ ][ ]
1
2
11
=
p
=
1
0
1
2
22
12
2
3
2
3
p
p
=
1
0
0
.
1
0
2
0
1
2
2
33
23
13
2
3
2
3
p
p
p
Stąd uzyskujemy macierz przejścia
−
−
=
17
1
17
12
17
8
2
1
0
0
8
0
6
P
i kanoniczną postać formy
.
8
)
,
,
(
2
'
3
17
1
2
'
2
2
'
1
2
1
'
3
'
2
'
1
x
x
x
x
x
x
+
−
=
ϕ
Forma ta jest więc nieokreślona.