Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech funkcja
R
D
R
f
n
→
⊃
:
(D– otwarty) posiada pochodną cząstkową
i
x
f
∂
∂
w każdym punkcie
D
∈
x
. Jest więc określona funkcja
i
x
f
∂
∂
: R
n
⊃
D
∋
)
(x
x
i
x
f
∂
∂
→
Jeżeli powyższa funkcja ma pochodną cząstkową po j-tej zmiennej
)
(x
∂
∂
∂
∂
i
j
x
f
x
w punkcie
x, to
nazywamy ją drugą pochodną cząstkową funkcji f po zmiennych
j
i
x
x ,
i oznaczamy
)
(
)
(
2
x
x
i
j
x
x
i
j
f
x
x
f
′′
=
∂
∂
∂
.
Uwaga: Jeżeli
j
i
=
to będziemy stosować
)
(
2
2
x
i
x
f
∂
∂
(pochodna czysta)
Jeżeli
j
i
≠
to
)
(
)
(
2
2
x
x
j
i
i
j
x
x
f
x
x
f
∂
∂
∂
≠
∂
∂
∂
(pochodna mieszana)
Tw.(Schwarza)
(Malec s.92)
Jeżeli pochodne
)
(
2
x
i
j
x
x
f
∂
∂
∂
i
)
(
2
x
j
i
x
x
f
∂
∂
∂
są ciągłe w punkcie
x
, to są
równe.
Podobnie definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Pochodne mieszane, które różnią się
jedynie kolejnością różniczkowania, jeżeli są ciągłe to są sobie równe.
Przykład
Funkcja
=
≠
+
−
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
)
,
(
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
jest ciągła w punkcie (0,0) i jej pochodne
cząstkowe są równe
y
y
x
f
−
=
∂
∂
)
,
0
(
;
x
x
y
f
=
∂
∂
)
0
,
(
. Stąd
1
)
0
,
0
(
2
−
=
∂
∂
∂
x
y
f
a
1
)
0
,
0
(
2
=
∂
∂
∂
y
x
f
, gdyż
i
j
x
x
f
∂
∂
∂
2
i
j
i
x
x
f
∂
∂
∂
2
nie są ciągłe w punkcie
Różniczki wyższych rzędów
Oznaczenia
)
,...,
(
0
0
1
0
n
x
x
=
x
∆
x=(
∆
x
1
,...,
∆
x
n
)
→
)
,
(
:
0
δ
x
Ot
f
R
Różniczką funkcji f w punkcie
x dla przyrostu
∆
x nazywamy wyrażenie
df(
x
0
,
∆
x)=
i
n
i
x
f
x
i
∆
∑
=
∂
∂
)
(
0
1
x
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2
Jeżeli przy ustalonym
∆
x funkcja d(
⋅
,
∆
x) :
→
)
,
(
0
δ
x
Ot
R ma różniczkę , to nazywamy ją
drugą
różniczką funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy d
2
f (
x
0
,
∆
x).
Przykład. Wyprowadzić wzór na drugą różniczkę funkcji dwóch zmiennych.
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
))
,
(
),
,
((
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
d
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
∆
=
∆
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
∂
∂
=
=
∆
∆
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
]
)
,
(
)
,
(
[
]
)
,
(
)
,
(
[
))
,
(
),
,
((
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
d
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
f
x
x
x
x
2
1
2
1
1
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
Druga różniczka funkcji wielu zmiennych w danym punkcie jest formą kwadratową przyrostów
j
i
n
j
i
i
j
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
d
∆
∆
∂
∂
∂
=
∆
∆
∑
=
)
(
)
,...,
(
),
,...,
((
1
,
2
1
1
2
x
Uwagi o zapisie macierzowym drugiej różniczki.
[
]
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∆
∆
=
∆
∆
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
d
M
L
M
L
M
L
L
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
))
,.
,
,
,
(
),
,...,
((
x
x
x
x
Wzór na m-tą różniczkę funkcji n zmiennych
f
x
x
f
d
m
n
x
x
m
n
)
,...,
(
1
1
∆
∆
∂
∂
∂
∂
+
+
=
Zadanie. Napisać wzór na drugą różniczkę funkcji trzech zmiennych i trzecią różniczkę funkcji
dwóch zmiennych
Wzór Taylora
Jeżeli funkcja f : R
n
⊃
Ot(
x
0
,
δ
)
∋
x
→
f(
x)
∈
R ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu m w
)
,
(
0
δ
x
Ot
,
to istnieje
θ
∈
(0,1) takie , że dla każdego x
∈
Ot(x
0
,
δ
) prawdziwy jest wzór
m
m
m
r
f
d
f
d
df
f
f
+
−
+
+
−
+
−
+
=
−
−
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
0
0
1
)!
1
(
1
0
0
2
!
2
1
0
0
!
1
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
gdzie
)
),
(
(
0
0
0
!
1
x
x
x
x
x
−
−
+
=
θ
f
d
r
m
m
m
Uwaga: punkt „pośredni”
)
(
0
0
x
x
x
c
−
+
=
θ
leży wewnątrz odcinka o końcach x
0
, x
Dow. Parametryzujemy odcinek
)
(
)
(
0
0
x
x
x
x
−
+
=
t
t
;
]
1
,
0
[
∈
t
i tworzymy funkcję jednej zmiennej
))
(
(
)
(
0
0
x
x
x
−
+
=
t
f
t
ϕ
. Mamy więc rzeczywistą funkcję
ϕ
określoną na domkniętym odcinku
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
3
]
1
,
0
[
spełniającą założenia twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej. Stosując do niej wzór
Maclaurina otrzymujemy
m
m
m
m
m
m
1
)
(
!
1
1
)!
1
(
)
0
(
...
)
0
1
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
1
(
1
1
θ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
−
+
+
−
′
+
=
−
−
⇔
⇔
)
1
,
(
!
1
)
1
,
0
(
)!
1
(
1
...
)
1
,
0
(
!
1
1
)
0
(
)
1
(
1
θ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
m
m
d
m
d
m
d
+
−
+
+
+
=
−
Ale
(
)
)
(
)
(
),
(
)
,
(
0
0
0
0
t
t
t
t
f
d
t
t
d
k
k
x
x
x
−
+
=
ϕ
. Stąd
)
,
(
)
1
,
0
(
0
0
x
x
x
−
=
f
d
d
k
k
ϕ
itd.
Szczególny przypadek
2
=
m
+
−
−
∂
∂
∂
∂
+
=
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
)
(
),...,
(
!
1
1
)
,...,
(
)
,...,
(
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
M
x
x
[
]
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
−
+
0
0
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
0
0
1
1
)
~
(
)
~
(
)
~
(
)
~
(
,...,
!
2
1
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
M
O
Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x,y)=e
x
siny w punkcie (0,0) (wzór Maclaurina) dla m=4.
Odp.
4
3
6
1
2
2
1
sin
r
y
y
x
xy
y
y
e
x
+
−
+
+
=
Zastosowanie różniczki w teorii błędów
Dana jest funkcja f wielu zmiennych. Wektorowy argument funkcji nie jest znany lecz dysponujemy
jego pomiarem x obarczonym błędem Niech x+
∆
x oznacza prawdziwą nieznaną wartość argumentu a
błąd bezwzględny pomiaru (wektorowego) nie przekracza b (
∆
x
≤
b nierówność wektorowa).
Wówczas
i
n
i
i
b
x
f
df
f
f
|
)
(
|
|
)
,
(
|
|
)
(
)
(
|
1
∑
=
∂
∂
=
≈
−
+
∆
∆
x
x
x
x
x
x
.
Wytłumaczenie przybliżonego charakteru wzoru , kiedy to przybliżenie jest „dobre” i jak postąpić gdy przybliżenia nie jest zadowalające
.
Przykład. Oszacować metodą różniczki zupełnej błąd jaki popełniamy obliczając objętość
prostopadłościanu o krawędziach 4.1, 3.2, 8.4 zmierzonych odpowiednio z dokładnością 0.1, 0.1,
0.2. Odp. (błąd bezwzględny
≤
8.756, błąd względny 8% (wytłumaczyć jak rozumiemy błąd
względny)
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
4
Funkcje uwikłane
Przykład 1.Rozważmy równanie
0
)
,
(
=
y
x
f
np.
0
1
2
2
=
−
+
y
x
i niech
)
,
( b
a
spełnia
0
)
,
(
=
y
x
f
,
czyli
0
)
,
(
=
b
a
f
Pytanie: Czy dla dowolnego
]
1
,
1
[
−
∈
x
istnieje taki
)
(x
y
, że
0
))
(
,
(
=
x
y
x
f
i
b
a
y
=
)
(
?
Niech (a,b)=(0,1). Wówczas funkcja
2
1
)
(
x
x
y
−
=
; -1
≤
x
≤
1 spełnia powyższe warunki. Ale spełnia
je także funkcja
)
(
]
1
,
1
[
]
1
,
1
[
1
1
)
(
2
2
Q
R
x
Q
x
x
x
x
y
−
∩
−
∈
∩
−
∈
−
−
−
=
. Dokładając warunek ciągłości funkcji y(x)
eliminujemy ten przypadek.
Jeżeli (a,b)=(1,0), to nie istnieje funkcja y(x) będąca rozwiązaniem problemu, ale istnieje funkcja x(y)
spełniająca warunki zadania.
Powód.
W punkcie (1,0) nie istnieje styczna Ax+By+C=0 dająca się rozwikłać ze względu na y ale
daje się rozwikłać ze względu na x.
Przykład 2
.
Wersja liniowa twierdzenia o funkcji uwikłanej
n
n
R
x
x
∈
=
T
1
)
,...,
(
x
m
m
R
y
y
∈
=
T
1
)
,...,
(
y
Rozważmy układ m równań z
m
n
+
niewiadomymi w postaci blokowej
[ ]
[ ]
0
y
x
B
A
=
,
, gdzie A jest macierzą o wymiarach (m,n) a B macierzą o wymiarach (m,m)
Załóżmy, że B jest macierzą odwracalną (
0
det
≠
B
). Wówczas
Ax
B
x
y
B
0
By
Ax
1
1
)
(
−
−
−
=
=
+
Idea. Jeżeli rozważymy równanie
0
y
x
=
)
,
(
f
z funkcją
1
)
,
( b
a
Ot
C
f
∈
)
)
,
(
(
0
b
a
=
f
, to funkcja ta
zachowuje się w tym otoczeniu podobnie do pochodnej
)
,
(
'
b
a
f
, która jest odwzorowaniem
liniowym. Badanie tego odwzorowania (pochodnej) dostarczy informacji o nieliniowej funkcji
uwikłanej
)
(x
g
y
=
określonej równaniem
f(x,y)=0 o wykresie leżącym w otoczeniu punktu
(a,b).
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
5
Twierdzenie o funkcji uwikłanej – wersja I
( Prosty dowód Leja F. Rachunek różniczkowy i całkowy)
.
Jeżeli
•
funkcja
f(x,y) ma ciągle pochodne cząstkowe
x
f
∂
∂
i
y
f
∂
∂
w otoczeniu punktu (
x
0
,
y
0
)
•
f(x
0
,
y
0
)=0 i
0
)
,
(
0
0
≠
∂
∂
y
x
y
f
to
1.
dla każdej dostatecznie małej liczby
ε
>0 istnieje taka liczba
δ
>0 , że każdej wartości x z
przedziału (
x
0
-
δ
,
x
0
+
δ
) odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie
y(x) równania f(x,y)=0 należące
do przedziału (
y
0
-
ε
,
y
0
+
ε
)
2.
funkcja
y(x) jest ciągła w przedziale (x
0
-
δ
,
x
0
+
δ
) i ma w nim ciągłą pochodną wyrażoną wzorem
)
,
(
)
,
(
)
(
'
y
x
y
x
x
y
y
f
x
f
∂
∂
∂
∂
−
=
, gdzie y=y(x)
Tw
.(o funkcji uwikłanej)-wersja II. Jeżeli
m
m
n
R
E
R
f
→
⊃
+
:
jest klasy
1
E
C
(E – otwarty),
E
b
a
∈
)
,
(
i
0
b
a
=
)
,
(
f
oraz
]
,
[
)
,
(
'
y
x
f
A
A
b
a
=
, gdzie
y
A
- odwracalna, to istnieją zbiory
otwarte
m
n
R
U
+
⊂
i
n
R
W
⊂
takie, że
U
y
x
y
W
x
∈
∃
∀
∈
)
,
(
!
i
0
y
x
=
)
,
(
f
, czyli równanie
0
y
x
=
)
,
(
f
określa dokładnie jedną funkcję
m
n
R
W
R
g
→
⊃
:
taką, że
b
a
=
)
(
g
i
0
))
(
,
(
=
∀
∈
x
x
x
g
f
W
.
Ponadto g jest klasy
1
W
C
i
x
y
A
A
g
1
)
(
−
−
=
′
a
.
Np.
3
=
n
2
=
m
−
+
−
=
+
−
+
=
3
1
1
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
6
cos
)
,
,
,
,
(
3
4
2
)
,
,
,
,
(
:
1
x
x
y
y
y
y
y
x
x
x
f
x
x
y
e
y
y
x
x
x
f
f
y
)
7
,
2
,
3
(
=
a
)
1
,
0
(
=
b
0
)
,
(
=
b
a
f
! Czy ten układ równań ( równanie wektorowe)
=
−
+
−
=
=
+
−
+
=
0
2
6
cos
)
,
,
,
,
(
0
3
4
2
)
,
,
,
,
(
3
1
1
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
1
x
x
y
y
y
y
y
x
x
x
f
x
x
y
e
y
y
x
x
x
f
y
określa w otoczeniu punktu
a funkcje uwikłaną?
Pochodna
−
−
−
=
=
1
6
3
2
1
0
2
0
4
1
]
,
[
)
,
(
'
y
x
f
A
A
b
a
i
0
20
det
≠
=
y
A
Wniosek. W pewnym otoczeniu punktu (a,b) równanie
0
y
x
=
)
,
(
f
określa w otoczeniu punktu
a
funkcję uwikłaną
2
3
:
R
W
R
g
→
⊃
taką, że
b
a
=
)
(
g
i
−
−
=
−
−
=
′
6
1
5
6
2
1
20
3
5
1
4
1
2
6
3
1
20
1
)
7
,
2
,
3
(
x
g
A
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
6
Ekstrema lokalne funkcji rzeczywistych
Def. Funkcja
R
E
X
f
→
⊃
:
(
E
∈
°
x
- otwarty,
−
X
przestrzeń metryczna) ma w punkcie
°
x
minimum lokalne
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
≥
∀
∃
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
, a minimum lokalne właściwe
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
>
∀
∃
°
≠
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
.
Def. Funkcja
R
E
X
f
→
⊃
:
(
E
∈
°
x
- otwarty,
−
X
przestrzeń metryczna) ma w punkcie
°
x
maksimum lokalne
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
≤
∀
∃
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
, a minimum lokalne właściwe
⇔
)
(
)
(
)
(
)
(
°
<
∀
∃
°
≠
°
∈
⊂
°
x
x
x
x
x
x
x
f
f
Ot
E
Ot
.
Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum )
Jeżeli funkcja
R
E
X
f
→
⊃
:
ma w punkcie
E
∈
°
x
ekstremum lokalne i istnieje w
°
x
pochodna cząstkowa
)
(
°
∂
∂
x
i
x
f
(
n
i
,...,
1
=
) , to
0
)
(
=
°
∂
∂
x
i
x
f
dla
n
i
,...,
1
=
.
Dowód. dla minimum
<
<
>
>
=
°
−
+
°
0
0
0
0
)
(
)
(
t
t
t
f
t
f
i
dla
dla
x
e
x
i
)
(
°
∂
∂
x
i
x
f
istnieje. Stąd
)
(
°
∂
∂
x
i
x
f
=0.
Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli f : R
n
⊃
E
∋
x
→
f(x)
∈
R
•
jest klasy
2
E
C (tzn. ma drugie pochodne cząstkowe ciągłe w E)
•
0
)
(
0
=
∂
∂
x
i
x
f
, i=1,...,n
•
d
2
f(x
0
,
∆
x) > 0 (<0) ,
∀
∆
x
≠
0
to f ma w punkcie x
0
minimum (maksimum) lokalne właściwe
Dowód. Z wzoru Taylora dokładnie jak dla funkcji jednej zmiennej mamy
)
),
(
(
)
(
)
(
0
0
0
2
!
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
=
−
θ
f
d
f
f
>0
∀
∆
x
≠
0, gdy d
2
f(x
0
,
∆
x) > 0, gdyż z ciągłości
pochodnych rzędu drugiego, dla ustalonych przyrostów druga różniczka jest funkcją ciągłą w x
0
więc
z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku
)
,
(
0
0
2
x
x
x
−
f
d
i
)
),
(
(
0
0
0
2
x
x
x
x
x
−
−
+
θ
f
d
mają ten
sam znak dla
∀
∆
x
≠
0
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
7
Uzupełnienia z algebry
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R liczb rzeczywistych. Formą dwuliniową nad V
nazywamy funkcję
R
V
V
Q
→
×
:
spełniającą warunki:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
w
v
w
v
w
v
v
Q
Q
Q
+
=
+
)
,
(
)
,
(
w
v
w
v
Q
Q
λ
λ
=
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
w
v
w
v
w
w
v
Q
Q
Q
+
=
+
)
,
(
)
,
(
w
v
w
v
Q
Q
λ
λ
=
dla dowolnych wektorów
1
v
,
2
v
,
1
w
,
2
w
i dowolnej liczby rzeczywistej
λ
.
Niech
}
,...,
{
1
n
B
e
e
=
będzie bazą przestrzeni V. Niech
=
n
x
x
M
1
x
i
=
n
y
y
M
1
y
oznaczają współrzędne
wektorów
v
i
w
w bazie B tzn.
i
n
i
i
x e
v
∑
=
=
1
i
j
n
j
i
y
e
w
∑
=
=
1
.
Wówczas
∑
∑
=
=
=
=
n
j
i
j
i
ij
n
j
i
j
i
j
i
y
x
a
y
x
Q
Q
1
,
1
,
)
,
(
)
,
(
e
e
w
v
, czyli wartość formy dwuliniowej dla dowolnej
pary wektorów jest jednoznacznie wyznaczona przez jej wartości na parach wektorów bazowych
)
,
(
j
i
ij
Q
a
e
e
=
; i,j=1,…,n , które tworzą symetryczną (
ji
ij
a
a
=
) macierz kwadratową
[ ]
=
=
nn
n
n
ij
a
a
a
a
a
A
L
M
O
M
L
1
1
11
.
Przy ustalonej bazie B przestrzeni V możemy traktować formę dwuliniową jako funkcję
R
R
R
Q
n
n
→
×
:
określoną w przestrzeni współrzędnych wzorem
∑
=
=
n
j
i
j
i
ij
y
x
a
Q
1
,
)
,
( y
x
,
który można także zapisać jako
Ay
x
y
x
T
=
)
,
(
Q
lub
y
Ax
y
x
,
)
,
(
=
Q
gdzie
⋅
⋅
,
oznacza klasyczny iloczyn skalarny w R
n
.
Przyjmując w szczególności
y
x
=
otrzymujemy z formy dwuliniowej tzw. formę kwadratową
n zmiennych rzeczywistych
n
x
x ,...,
1
,czyli funkcję
j
n
j
i
i
ij
n
n
x
x
a
x
x
Q
R
∑
=
=
=
=
→
∋
1
,
1
)
,...,
(
)
,
(
)
(
:
ϕ
ϕ
ϕ
x
x
x
x
przy czym a
ij
= a
ji
Oczywiście forma kwadratowa ma przy ustalonej bazie przestrzeni V ma dokładnie jedną
reprezentację macierzową
x
Ax
Ax
x
x
,
)
(
=
=
T
ϕ
, gdzie A jest macierzą symetryczną.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
8
Przykład . Forma kwadratowa 3 zmiennych
.
]
,
,
[
2
2
2
)
,
,
(
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
2
1
3
2
23
3
1
13
2
1
12
2
3
33
2
2
22
2
1
11
3
1
,
3
2
1
=
=
+
+
+
+
+
=
=
∑
=
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
x
j
j
i
i
ij
ϕ
Problem. Jak zmienia się macierz formy gdy zmienimy bazę przestrzeni V.
Oczywiście przechodząc od starej bazy
}
,...,
{
1
n
B
e
e
=
do nowej
}
,...,
{
'
'
1
'
n
B
e
e
=
określamy macierz
przejścia
[ ]
ij
p
=
P
formułą
i
n
i
ij
j
p e
e
∑
=
=
1
'
; j=1,…,n. Związek miedzy współrzędnymi wektora v w
starej i nowej bazie jest zadany równością
'
Px
x
=
. Wstawiając powyższe do równości
'
'
'
'
'
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
A
x
x
x
v
v
x
x
Ax
x
T
T
=
=
=
=
Q
Q
Q
otrzymujemy
'
'
'
'
'
'
'
)
(
)
(
)
(
x
A
x
x
AP
P
x
Px
A
Px
T
T
T
T
=
=
a stąd
AP
P
A
T
=
'
.
Formę kwadratową
ϕ
nazywamy
•
nieujemną
-
gdy
∀
x
∈
R
n
ϕ
(x)
≥
0
•
niedodatnią
-
gdy
∀
x
∈
R
n
ϕ
(x)
≤
0
•
dodatnią
-
gdy
∀
x
∈
R
n
,x
≠
0 :
ϕ
(x) > 0
•
ujemna
-
gdy
∀
x
∈
R
n
,x
≠
0 :
ϕ
(x) < 0
•
dodatnio określoną
-
gdy
∃
c>0
∀
x
∈
R
n
:
2
)
(
x
x
c
≥
ϕ
•
ujemnie określoną
-
gdy
∃
c>0
∀
x
∈
R
n
:
2
)
(
x
x
c
−
≤
ϕ
•
nieokreśloną
-
gdy
∃
x
∈
R
n
ϕ
(x) > 0 i
∃
y
∈
R
n
ϕ
(y) < 0
Uwaga. W przypadku definiowania form kwadratowych na nieskończenie wymiarowej przestrzeni
liniowej unormowanej należy odróżniać pojęcia.
dodatniość formy
i
dodatnia określoność formy
ujemność formy
i
ujemna określoność formy
W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych pojęcia te pokrywają się. Jest to konsekwencją
zwartości sfery jednostkowej w przestrzeni skończenie wymiarowej.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
9
Badanie określoności formy kwadratowej jest szczególnie proste, gdy macierz tej formy jest macierzą
diagonalną. Mówimy wtedy, że forma kwadratowa jest w postaci kanonicznej. Istnieje wiele metod
sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Poniżej omówimy metodę Jakobiego,
wykorzystującą tzw. przekształcenie trójkątne.
Niech
[ ]
=
=
nn
n
n
ij
a
a
a
a
a
A
L
M
O
M
L
1
1
11
będzie macierzą formy kwadratowej w pewnej bazie B.
Def. Minorami wiodącymi (odpowiednich stopni) macierzy
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
nazywamy
następujące wyznaczniki
11
1
a
D
=
,
22
21
12
11
2
a
a
a
a
D
=
,...,
nn
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
L
M
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
=
.
Załóżmy, że wszystkie minory wiodące są różne od 0.
Szukać będziemy nowej bazy
}
,...,
{
'
'
1
'
n
B
e
e
=
postaci
n
nn
n
n
p
p
p
p
p
e
e
e
e
e
e
e
e
+
+
=
+
=
=
L
M
1
1
'
2
22
1
12
'
2
1
11
'
1
,co odpowiada trójkątnej macierzy przejścia
nn
n
n
p
p
p
p
p
p
L
M
O
M
M
L
L
0
0
0
2
22
1
12
11
.
W nowej bazie forma kwadratowa ma postać
'
1
,
'
'
'
)
,
(
j
n
j
i
i
j
i
x
x
Q
∑
=
e
e
. Szukać będziemy takiej bazy, aby
0
)
,
(
'
'
=
j
i
Q
e
e
dla
j
i
≠
.
Łatwo zauważyć, że gdy
0
)
,
(
'
=
j
i
Q
e
e
dla j=1,…,i-1, to
0
)
,
(
'
'
=
j
i
Q
e
e
dla j=1,…,i-1.
Rzeczywiście
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
'
1
'
'
'
=
=
=
∑
∑
=
=
j
k
k
i
kj
j
k
k
kj
i
j
i
Q
p
p
Q
Q
e
e
e
e
e
e
.
Warunki
0
)
,
(
'
=
j
i
Q
e
e
dla i=1,…,n; j=1,…,i-1 wyznaczają wektory
'
i
e
z dokładnością do stałej.
Przyjmijmy więc, że
1
)
,
(
'
=
i
i
Q
e
e
. Wówczas
ii
i
ii
i
i
i
p
p
Q
Q
=
=
)
,
(
)
,
(
'
'
'
e
e
e
e
. Aby wyznaczyć postać
kanoniczną formy wystarczy wyliczyć przekątną
ii
p
; i=1,…,n macierzy przejścia.
1
)
,
(
1
'
1
=
e
e
Q
⇒
1
)
,
(
1
1
11
=
e
e
p
Q
⇒
1
11
11
=
a
p
⇒
1
11
1
1
11
D
a
p
=
=
=
=
1
)
,
(
0
)
,
(
2
'
2
1
'
2
e
e
e
e
Q
Q
⇒
=
1
0
22
12
22
21
12
11
p
p
a
a
a
a
⇒
2
1
22
D
D
p
=
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
10
=
=
0
)
,
(
0
)
,
(
'
1
'
n
n
k
Q
Q
e
e
e
e
M
⇒
=
1
0
1
1
1
11
M
M
L
M
O
M
L
kk
k
kk
k
k
p
p
a
a
a
a
⇒
k
k
D
D
kk
p
1
−
=
, k=1,…,n , przy czym
1
:
0
=
D
.
W nowej bazie
}
,...,
{
'
'
1
'
n
B
e
e
=
forma kwadratowa ma postać
2
'
1
1
i
n
i
D
D
x
i
i
∑
−
−
.
Jako wniosek dostajemy.
Twierdzenie. (kryterium Sylvestera).
Forma kwadratowa
Ax
x
x
T
=
)
(
ϕ
jest dodatnia (dodatnio określona)
⇔
D
i
>0 i=1,…,n.
Forma kwadratowa
Ax
x
x
T
=
)
(
ϕ
jest ujemna (ujemnie określona)
⇔
(-1)
i
D
i
>0 i=1,…,n.
Jeżeli wszystkie minory wiodące D
i
są różne od 0 i zmieniają się inaczej niż w powyższych
przypadkach , to forma jest nieokreślona.
Przykład. W bazie kanonicznej w R
3
dana jest forma kwadratowa
.
1
0
2
0
1
2
2
]
,
,
[
4
3
2
)
,
,
(
3
2
1
2
3
2
3
3
2
1
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
=
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ϕ
Minory wiodące są równe
2
1
=
D
,
4
1
2
3
2
3
2
1
2
−
=
=
D
,
.
1
0
2
0
1
2
2
4
17
2
3
2
3
3
−
=
=
D
Macierz przejścia do nowej bazy jest postaci
=
33
23
22
13
12
11
0
0
0
p
p
p
p
p
p
P
. Kolejne jej kolumny są
rozwiązaniami układów równań
[ ][ ]
1
2
11
=
p
=
1
0
1
2
22
12
2
3
2
3
p
p
=
1
0
0
.
1
0
2
0
1
2
2
33
23
13
2
3
2
3
p
p
p
Stąd uzyskujemy macierz przejścia
−
−
=
17
1
17
12
17
8
2
1
0
0
8
0
6
P
i kanoniczną postać formy
.
8
)
,
,
(
2
'
3
17
1
2
'
2
2
'
1
2
1
'
3
'
2
'
1
x
x
x
x
x
x
+
−
=
ϕ
Forma ta jest więc nieokreślona.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
pochodne czastkowe wyzszych rzedow
wlasnosci rozniczki pochodne i rozniczki wyzszych rzedow
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
Pochodne wyższych rzędów
Zestaw 14 Pochodne wyższych rzędów
pochodne wyższych rzędów (2)
pochodne wyższych rzedów II
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
JEDNORODNE RÓWNANIA LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW ROZWIĄZANIA
AM23 w06 Pochodne czastkowe id Nieznany
pochodna cząstkowa zad + roz
03 Pochodna czastkowa
4.2. Pochodne czastkowe
zagadnienia, punkt 13, XIII Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna
Pochodna cząstkowa, Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych względem wybranej zmiennej, to "
AM23 w07 Pochodne cząstkowe zastosowania
04 Pochodne cząstkowe (2)
więcej podobnych podstron