P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

dr in˙z. Mirosław Jan Nowakowski

Poszerzenie mi˛

edzytorza

Ostatnie zmiany: 3 marca 2014 r., 10:28

Wszelkie prawa zastrze˙zone

Spis tre´sci

1. Definicja

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Poszerzenie mi˛

edzytorza na prostej i jego optymalizacja

. . . . . . . . . . . . . .

2

2.1.

Sformułowanie problemu optymalizacyjnego

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2.

Ogólne uwagi do przedstawionych algorytmów

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3.

Stosowana posta´c krzywej przej´sciowej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.4.

Modele poszerze´

n mi˛

edzytorza na prostej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4.1. Dwa łuki odwrotne ze wstawk ˛

a prost ˛

a (typ 1)

. . . . . . . . . . . . . .

7

2.4.2. Dwa łuki kołowe z krzywymi przej´sciowymi (typ 2)

. . . . . . . . . .

9

2.4.3. Cztery krzywe przej´sciowe bez przechyłki (typ 3)

. . . . . . . . . . . . 13

3. Poszerzenie mi˛

edzytorza przy wyj´sciu z łuku

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.

Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.

Rozwi ˛

azanie układu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.

Uwagi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Definicja

Poszerzeniem mi˛

edzytorza nazywamy zwi˛

ekszenie rozstawu torów na szlakach

lub stacjach, a tak˙

ze układ geometryczny słu˙

z ˛

acy temu celowi. Z projektowaniem

nowych poszerze´

n mamy bardzo cz˛

esto do czynienia przy modernizacji linii

kolejowych, np. gdy wyst˛

epuje potrzeba przygotowania miejsca dla peronów

wyspowych dwukraw˛

edziowych. Układ mo˙ze by´c realizowany:

o

w torach poło˙zonych na prostej;

o

na przej´sciu mi˛

edzy łukiem a prost ˛

a (na wyj´sciu z łuku);

o

w torach poło˙zonych na łuku.

W niniejszym opracowaniu zajmiemy si˛

e dwoma pierwszymi przypadkami.

Przedstawiono je na rysunkach

1

i

2

. Oba układy poło˙zone s ˛

a przy ko´

ncach peronu

na przystanku SKM Gda´

nsk-Zaspa.

1

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

Rys. 1. Przykład poszerzenia mi˛edzytorza na prostej

Rys. 2. Przykład poszerzenia mi˛edzytorza na wyj´sciu z łuku

2. Poszerzenie mi˛

edzytorza na prostej i jego optymalizacja

2.1. Sformułowanie problemu optymalizacyjnego

Poszerzenie mi˛edzytorza na prostej o warto´s´c p najcz˛e´sciej wykonuje si˛e za pomoc ˛

a

układu geometrycznego jednego z poni˙zszych typów:

2

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

Typ 1 to układ dwóch przeciwnie skierowanych łuków kołowych o promieniach

R

1

i R

2

(najcz˛

e´sciej R

1

= R

2

) bez przechyłki, poł ˛

aczonych wstawk ˛

a prost ˛

a

o długo´sci w (w szczególnym przypadku w

= 0);

Typ 2 to układ dwóch przeciwnie skierowanych łuków kołowych o promieniu

R

z przechyłk ˛

a h i czterema krzywymi przej´sciowymi o długo´sci L;

Typ 3 to układ czterech krzywych przej´sciowych o długo´sci L, daj ˛

acy w efekcie

dwa przeciwnie skierowane łuki paraboliczne.

Za funkcj˛

e celu optymalnego projektu poszerzenia mi˛

edzytorza przyjmujemy

stosunek jego całkowitej długo´sci L

c

do warto´sci poszerzenia p

Z

=

L

c

p

,

(1)

która powinna osi ˛

agn ˛

a´c warto´s´c minimaln ˛

a przy danej pr˛

edko´sci poci ˛

agów

pasa˙

zerskich V

p

, danej pr˛

edko´sci poci ˛

agów towarowych V

t

, oraz przy zachowaniu

nast˛

epuj ˛

acych warunków:

a ¶ a

p

(2a)

a

n

¶ a

t

(tylko przy typie 2)

(2b)

ψ ¶ ψ

d op

(2c)

f ¶ f

d op

(tylko przy typie 2)

(2d)

k ¾ k

min

(tylko przy typach 1 i 2)

(2e)

w ¾ w

min

(tylko przy typie 1)

(2f)

h

∈ 〈h

min

, h

ma x

〉

(tylko przy typie 2)

(2g)

L

c

¶ L

ma x

(2h)

gdzie:

a

niezrównowa˙

zone przyspieszenie wyst˛

epuj ˛

ace w ruchu poci ˛

agów pasa-

˙zerskich,

a

p

dopuszczalna warto´s´c przyspieszenia niezrównowa˙

zonego w ruchu

poci ˛

agów pasa˙zerskich,

a

n

niezrównowa˙zone przyspieszenie wyst˛epuj ˛

ace w ruchu poci ˛

agów towaro-

wych,

a

t

dopuszczalna warto´s´c przyspieszenia niezrównowa˙

zonego w ruchu

poci ˛

agów towarowych,

ψ

szybko´s´c przyrostu przyspieszenia,

ψ

d op

dopuszczalna szybko´s´c przyrostu przyspieszenia,

f

pr˛

edko´s´c podnoszenia si˛

e koła na rampie przechyłkowej,

f

d op

dopuszczalna pr˛

edko´s´c podnoszenia si˛

e koła na rampie przechyłkowej

(w praktyce zast˛

epowana najcz˛

e´sciej przez parametr m okre´slaj ˛

acy

dopuszczalne pochylenie rampy przechyłkowej),

k

długo´s´c cz˛

e´sci kołowej łuku,

w

długo´s´c wstawki prostej mi˛

edzy łukami,

h

przechyłka toru w łuku,

L

ma x

maksymalna dopuszczalna długo´s´c układu.

Przy modernizacji linii, dla projektowanego poszerzenia mi˛

edzytorza zazwyczaj

dana jest warto´s´c poszerzenia p, a czasem L

ma x

. Dane s ˛

a te˙z warto´sci dopuszczalne

3

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

parametrów kinematycznych, które przy tego typu układach — ze wzgl˛

edu na

trudno´sci w ich utrzymaniu — maj ˛

a cz˛

e´sciowo warto´sci odmienne, ni˙

z przy

projektowaniu pojedynczych łuków kołowych (tabele

1

i

2

). Znane s ˛

a te˙z warto´sci

minimalne niektórych parametrów geometrycznych (tabela

3

).

Tab. 1. Dopuszczalne warto´sci przyspieszenia niezrównowa˙zonego a

p

przy projektowaniu

poszerze´

n mi˛edzytorzy

Rodzaj układu torowego

a

p

[m/s

2

]

Poszerzenia mi˛

edzytorzy w trudnych warunkach terenowych

0,45

Poszerzenia mi˛

edzytorzy w dogodnych warunkach terenowych

0,30

Tab. 2. Dopuszczalna szybko´s´c zmian przyspieszenia niezrównowa˙zonego

ψ

d op

przy projekto-

waniu poszerze´

n mi˛edzytorzy

Rodzaj układu torowego

ψ

d op

[m/s

3

]

Poszerzenie mi˛

edzytorzy za pomoc ˛

a krzywych przej´sciowych w trud-

nych warunkach terenowych

0,5

Poszerzenie mi˛

edzytorzy za pomoc ˛

a krzywych przej´sciowych w do-

godnych warunkach terenowych

0,3

Tab. 3. Warto´sci parametrów geometrycznych przyjmowane na liniach magistralnych i pierw-

szorz˛ednych

Rodzaj parametru geometrycznego

Warto´s´c

Minimalna długo´s´c wstawki prostej w

min

w dogodnych warunkach

terenowych

[m]

sup



V

p

1,8

; 30



Minimalna długo´s´c wstawki prostej w

min

w trudnych warunkach

terenowych

[m]

sup



V

p

2,5

; 30



Minimalna długo´s´c łuku kołowego k

min

[m]

sup



V

p

2,5

; 30



Parametr m zwi ˛

azany z dopuszczalnym pochyleniem rampy przechył-

kowej w dogodnych warunkach terenowych

100

Parametr m zwi ˛

azany z dopuszczalnym pochyleniem rampy przechył-

kowej w trudnych warunkach terenowych

125

Minimalna graniczna warto´s´c przechyłki h

ut rz

min

[mm]

30

W praktyce optymalizacja poszerzenia mi˛edzytorza na prostej polega na wyborze

jednego z wariantów typowych. Je˙

zeli wzgl˛

edy eksploatacyjne nie preferuj ˛

a

okre´slonego typu układu, to — zgodnie z wzorem (

1

) — do realizacji nale˙zy wybra´c

model umo˙zliwiaj ˛

acy uzyskanie najmniejszej długo´sci całkowitej poszerzenia L

c

.

4

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

2.2. Ogólne uwagi do przedstawionych algorytmów

W dotychczasowych opracowaniach — zarówno krajowych, jak i zagranicznych —

przy geometrycznym rozwi ˛

azywaniu ró˙znego typu poszerze´

n mi˛edzytorzy na prostej

(tak˙

ze modeli pomini˛

etych w niniejszym opracowaniu), stosowano powszechnie

ró˙

znego rodzaju przybli˙

zenia. W efekcie uzyskiwano znaczne uproszczenie wielu

wzorów, kosztem mo˙

zliwej do zaakceptowania — jak wówczas uwa˙

zano —

dokładno´sci oblicze´

n.

Zdaniem autora tego typu podej´scie do zagadnienia nie znajduje obecnie uza-

sadnienia. W warunkach gospodarki rynkowej, gdy powszechna stała si˛

e kontrola

jako´sci przeprowadzanych w torze prac budowlanych lub modernizacyjnych, przy-
bli˙zenia przyj˛ete na etapie projektowania powoduj ˛

a powstawanie konfliktów mi˛edzy

inwestorem i wykonawc ˛

a. O ´zródło niedokładno´sci stwierdzonych podczas pomia-

rów po-realizacyjnych wykonawca i projektant cz˛esto wzajemnie si˛e oskar˙zaj ˛

a. St ˛

ad

zapewne popularno´s´c stosowania do poszerze´

n mi˛

edzytorzy modeli matematycznie

najprostszych, w których obliczaniu nie s ˛

a stosowane ˙zadne przybli˙zenia. Ponadto

dost˛

epna obecnie powszechnie technika obliczeniowa umo˙

zliwia projektantowi

łatwe przeprowadzenie nawet najbardziej skomplikowanych oblicze´

n. Nie ma zatem

znaczenia, czy np. formuła wpisana do komórki arkusza kalkulacyjnego ma długo´s´c
jednego, czy kilkunastu centymetrów — wa˙zne jest jedynie, by była ona poprawna.

Wreszcie współczesny sprz˛et geodezyjny i metody pomiarów pozwalaj ˛

a na uzyskanie

precyzji tyczenia w pełni wykorzystuj ˛

acej dokładno´s´c oblicze´

n.

Z tych wzgl˛

edów w niniejszym opracowaniu za zasad˛

e przyj˛

eto unikanie

wprowadzania jakichkolwiek przybli˙

ze´

n przy rozwi ˛

azywaniu poszczególnych

matematycznych modeli poszerze´

n mi˛edzytorzy. Dodatkow ˛

a zalet ˛

a takiego podej´scia

jest mo˙zliwo´s´c stosowania tych samych algorytmów, jakie s ˛

a wykorzystywane przy

obliczeniach pojedynczych łuków poziomych (z krzywymi przej´sciowymi lub bez).

2.3. Stosowana posta´c krzywej przej´sciowej

Przy rozwi ˛

azywaniu typów poszerze´

n. w których wyst˛

epuj ˛

a krzywe przej´sciowe,

obowi ˛

azuje stosowanie krzywej przej´sciowej w postaci paraboli trzeciego stopnia

z dokładnym obliczaniem odci˛etej ´srodku łuku kołowego x

s

oraz przesuni˛eciem łuku

do wewn ˛

atrz n (rysunek

3

). Jest to ta sama krzywa przej´sciowa, któr ˛

a zastosowano

w projekcie łuku poziomego wykonywanym na semestrze 5-tym.

Przypomnijmy, ˙ze równanie tej paraboli ma posta´c

y

=

x

3

6

· R · L

,

(3)

gdzie:

R

promie´

n łuku kołowego

[m];

L

długo´s´c krzywej przej´sciowej

[m];

x

, y

współrz˛

edne prostok ˛

atne wzgl˛

edem pocz ˛

atku krzywej przej´sciowej

[m].

Podstawowe charakterystyki k ˛

atowe i liniowe krzywej przej´sciowej, to:

5

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

³uk ko³owy

³uk paraboli

pkp

kkp

M

kkp'

L

x

T

R

R

S

y

x

s

y

k

n

P

K

T

pkp

T

kkp

Rys. 3. Krzywa przej´sciowa w postaci paraboli trzeciego stopnia

o

k ˛

at nachylenia stycznej do krzywej

ξ w ko´ncu krzywej przej´sciowej kkp,

obliczany ze wzoru

tg

ξ =

d

dx

‚

x

3

6

· R · L

Œ







x

=L

=

x

2

2

· R · L






x

=L

=

L

2

· R

;

(4)

o

odci˛

eta ´srodka łuku kołowego obliczana ze wzoru

x

s

= L − R · sin ξ ;

(5)

o

rz˛

edna ko´

nca krzywej przej´sciowej obliczana ze wzoru

y

k

=

‚

x

3

6

· R · L

Œ







x

=L

=

L

2

6

· R

;

(6)

o

przesuni˛

ecie łuku do wewn ˛

atrz wyra˙zane wzorem

n

= y

k

− R · (1 − cos ξ) ;

(7)

o

długo´s´c stycznej do krzywej w jej pocz ˛

atku, to znaczy w pkp, obliczana ze wzoru

T

pkp

= PM = L −

y

k

tg

ξ

= L −

L

2

6

· R

L

2

· R

= L −

L

3

=

2

3

· L ;

(8)

o

długo´s´c stycznej do krzywej w jej ko´

ncu, to znaczy w kkp, obliczana ze wzoru

T

kkp

= MK =

L

3 cos

ξ

.

(9)

6

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

2.4. Modele poszerze´

n mi˛

edzytorza na prostej

2.4.1. Dwa łuki odwrotne ze wstawk ˛

a prost ˛

a (typ 1)

Pierwszym i zarazem najprostszym modelem matematycznym poszerzenia mi˛

edzy-

torza jest układ zbudowany z dwóch łuków odwrotnych przedzielonych wstawk ˛

a

prost ˛

a (rysunek

4

). W układzie tym nie stosuje si˛

e przechyłki.

Przyjmuj ˛

ac za znane warto´sci R

1

, R

2

, p oraz w, zgodnie z rysunkiem

4

, odległo´s´c

mi˛

edzy ´srodkami okr˛

egów wynosi

S

1

S

2

=

p(R

1

+ R

2

)

2

+ w

2

.

(10)

Całkowit ˛

a długo´s´c poszerzenia wyznaczamy z trójk ˛

ata S

1

M S

2

:

L

c

=

p(R

1

+ R

2

)

2

+ w

2

− (R

1

+ R

2

− p)

2

,

(11)

K ˛

at zwrotu trasy w wierzchołkach W

1

oraz W

2

jest równy

γ = α − β ,

(12)

przy czym zachodz ˛

a równo´sci:

w

O

M

B

C

P

K

S

1

c

L

p

Z

β

α

2

S

T

1

2

T

R

1

2

R

W

1

2

W

K'

R

1

2

R

γ

γ

Rys. 4. Poszerzenie mi˛edzytorza za pomoc ˛

a dwóch łuków odwrotnych ze wstawk ˛

a prost ˛

a

7

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

α = arc sin

MS

2

S

1

S

2

= arc sin

L

c

p(R

1

+ R

2

)

2

+ w

2

(13)

β = arc sin

ZS

2

S

1

S

2

= arc sin

w

p(R

1

+ R

2

)

2

+ w

2

(14)

Znaj ˛

ac warto´s´c k ˛

ata

γ mo˙zna obliczy´c długo´sci stycznych dla obu łuków:

T

1

= R

1

· tg

γ
2

(15)

T

2

= R

2

· tg

γ
2

(16)

W ten sposób mamy wyznaczone podstawowe charakterystyki k ˛

atowe i liniowe

układu.

Na rysunku

4

przedstawiono ogólny przypadek modelu, w którym łuki mog ˛

a

mie´c ró˙

zne promienie. W praktyce takie ró˙

znicowanie promieni ma uzasadnienie

jedynie w torach stacyjnych, po których odbywaj ˛

a si˛

e jedynie jazdy manewrowe

(prowadzone z mał ˛

a pr˛

edko´sci ˛

a). Je˙

zeli dwa łuki odwrotne ze wstawk ˛

a prost ˛

a

zamierzamy zastosowa´c w torach głównych na stacjach lub na szlakach, nie ma
uzasadnienia dla ró˙znicowania promieni w obu łukach. Po przyj˛

eciu R

1

= R

2

wzory

(

11

) – (

16

) ulegn ˛

a uproszczeniu i przybior ˛

a posta´c:

L

c

=

p

4Rp

+ w

2

− p

2

(17)

γ = arc sin

L

c

p

4R

2

+ w

2

− arc sin

w

p

4R

2

+ w

2

(18)

T

= R · tg

γ
2

(19)

S ˛

a to zale˙

zno´sci wył ˛

acznie geometryczne, nie uwzgl˛

edniaj ˛

ace warunków kine-

matycznych wynikaj ˛

acych ze wzorów (

2a

), (

2c

), (

2e

) oraz (

2f

). Aby uzyska´c układ

nie tylko poprawny geometrycznie, ale tak˙

ze spełniaj ˛

acy narzucone ograniczenia

wynikaj ˛

ace z dopuszczalnych warto´sci parametrów fizycznych, a przy tym o jak

najmniejszej długo´sci, post˛

epujemy w nast˛

epuj ˛

acej kolejno´sci.

1. Korzystaj ˛

ac z zale˙

zno´sci przedstawionych w tabeli

3

wyznaczamy minimaln ˛

a

długo´s´c wstawki prostej mi˛edzy łukami w

min

oraz oraz minimaln ˛

a długo´s´c cz˛e´sci

kołowej łuku k

min

1

. Długo´s´c wstawki prostej w przyjmujemy zaokr ˛

aglaj ˛

ac warto´s´c

w

min

w gór˛

e z dokładno´sci ˛

a do 1 m).

2. Obliczamy minimalny promie´

n łuku R

min

. Musimy przy tym uwzgl˛

edni´c

dwa warunki. Pierwszy dotyczy zachowania dopuszczalnego przyspieszenia
niezrównowa˙zonego w ruchu poci ˛

agów pasa˙zerskich w łuku bez przechyłki:

1

Dla linii kategorii innych ni˙

z magistralne i pierwszorz˛

edne nale˙

zy skorzysta´c z wła´sciwych

przepisów.

8

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

R

a

min

=

V

2

p

12,96

· a

p

,

(20)

natomiast drugi — dopuszczalnej szybko´sci zmian przyspieszenia przy przeje´z-
dzie z jednego łuku w drugi:

R

ψ

min

=



















0,0214

· V

3

p

ψ

d op

· b

dla b

< w,

0,0428

· V

3

p

ψ

d op

· (w + b)

dla b ¾ w.

(21)

gdzie b — długo´s´c bazy sztywnej wagonu (wg przepisów UIC b

= 20 m)

2

.

Do dalszych oblicze´

n przyjmujemy promie´

n:

R

= sup

¦

R

a

min

; R

ψ

min

©

(22)

zaokr ˛

aglony w gór˛

e, np. do najbli˙zszej wielokrotno´sci 50 m.

3. Za pomoc ˛

a wzorów (

17

) oraz (

18

) obliczamy całkowit ˛

a długo´s´c układu L

c

i k ˛

at

zwrotu

γ.

4. Obliczamy długo´s´c łuku kołowego stosuj ˛

ac — przy k ˛

atach podawanych w stop-

niach — wzór

k

=

πRγ

◦

180

◦

,

(23)

a nast˛

epnie sprawdzamy warunek minimalnej długo´sci cz˛

e´sci kołowej łuku.

Je˙zeli warunek ten nie jest zachowany, czyli k

< k

min

, odpowiednio zwi˛

ekszamy

promie´

n łuku i powtarzamy obliczenia. Poprawne rozwi ˛

azanie uzyskujemy

metod ˛

a iteracyjn ˛

a. Tego typu problemy w praktyce mog ˛

a wyst ˛

api´c jedynie wtedy,

gdy obliczany układ przeznaczony jest dla torów stacyjnych. W torach głównych,
gdzie z reguły stosowane s ˛

a promienie łuków R ¾ 4000 m, warunek minimalnej

długo´sci cz˛

e´sci kołowej łuku jest spełniany praktycznie zawsze.

2.4.2. Dwa łuki kołowe z krzywymi przej´sciowymi (typ 2)

W poszerzeniach mi˛

edzytorza typu 2 (rysunek

5

) na styku prostych z łukami

wykonane s ˛

a krzywe przej´sciowe w postaci parabol trzeciego stopnia. W efekcie

otrzymujemy układ zbudowany z dwóch łuków kołowych i czterech krzywych
przej´sciowych. W poszerzeniach tego typu wykonywana jest przechyłka.

Przy wyznaczaniu długo´sci poszerzenia tego typu nale˙

zy zauwa˙

zy´c, ˙

ze jest to

szczególny przypadek poszerzenia typu 1, w którym na ka˙zdym poł ˛

aczeniu prostej

z łukiem wykonano krzywe przej´sciowe. Krzywe te o długo´sci x

s

le˙z ˛

a na odcinkach

prostych, a pozostał ˛

a cz˛

e´sci ˛

a — na łukach. W szczególnym wypadku, w ´srodkowej

cz˛

e´sci układu, wstawka prosta o długo´sci w

= BC (rysunek

5

) została całkowicie

zast ˛

apiona przez dwa odcinki krzywych przej´sciowych o długo´sci x

s

ka˙zdy. Ponadto

wprowadzenie krzywych przej´sciowych powoduje, ˙ze ka˙zdy z łuków jest odsuni˛

ety

2

Wzór (

21

) nale˙

zy uwzgl˛

ednia´c jedynie przy obliczaniu poszerze´

n zlokalizowanych w torach

szlakowych oraz torach głównych na stacjach.

9

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

Lc

n

R

R

O

W1

A

B

P

γ

ξ

ξ α

kkp1

kkp2

S1

pkp2

To

pkp1

xs

x s

D

K

n

R

R

p

W2

C

To

kkp3

kkp4

pkp3

pkp4

S2

xs

x s

L

γ

Rys. 5. Poszerzenia mi˛edzytorza za pomoc ˛

a dwóch łuków odwrotnych z krzywymi przej´sciowymi

i z przechyłk ˛

a

od stycznej o dodatkow ˛

a warto´s´c równ ˛

a przesuni˛

eciu łuku do wewn ˛

atrz n. Wobec

tego mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze całkowita długo´s´c poszerzenia omawianego typu wynosi

L

c

= 2x

s

+

p(2R + 2n)

2

+ (2x

s

)

2

− (2R + 2n − p)

2

=

= 2x

s

+

p

4p

(R + n) + 4x

2

s

− p

2

,

(24)

natomiast k ˛

at zwrotu w wierzchołkach W

1

i W

2

jest równy

γ = arc sin

L

c

− 2x

s

p

4

(R + n)

2

+ 4x

2

s

− arc sin

2x

s

p

4

(R + n)

2

+ 4x

2

s

.

(25)

Ostatni interesuj ˛

acy nas parametr geometryczny to długo´s´c cz˛

e´sci kołowej łuku,

któr ˛

a — zakładaj ˛

ac, ˙ze k ˛

aty s ˛

a podane w stopniach — wyznaczamy ze wzoru

k

=

πRα

◦

180

◦

,

(26)

gdzie

α = γ − 2ξ .

Przyst˛

epuj ˛

ac do rozwi ˛

azania układu mamy dane:

o

warto´s´c poszerzenia p

[m];

o

przechyłk˛

e minimaln ˛

a z uwagi na utrzymanie układu h

ut rz

min

[mm];

o

sposób obliczania minimalnej długo´sci cz˛

e´sci kołowej łuku k

min

;

o

maksymaln ˛

a szybko´s´c poci ˛

agów pasa˙zerskich V

p

[km/h];

o

szybko´s´c poci ˛

agów towarowych V

t

[km/h];

o

dopuszczalne przyspieszenie w ruchu poci ˛

agów pasa˙zerskich a

p

[m/s

2

];

10

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

o

dopuszczalne przyspieszenie w ruchu poci ˛

agów towarowych a

t

[m/s

2

];

o

dopuszczaln ˛

a szybko´s´c przyrostu przyspieszenia

ψ

d op

[m/s

3

];

o

dopuszczaln ˛

a szybko´s´c podnoszenia si˛

e koła po szynie podan ˛

a najcz˛

e´sciej

w postaci niemianowanego parametru m.

Aby uzyska´c układ poprawny geometrycznie i spełniaj ˛

acy narzucone ogranicze-

nia, post˛

epujemy w przedstawionej ni˙zej kolejno´sci.

1. Obliczamy minimalny promie´

n łuku i odpowiadaj ˛

ac ˛

a mu przechyłk˛

e:

R

min

=

V

2

p

− V

2

t

12,96

· (a

p

+ a

t

)

(27)

h

=

V

2

p

· a

t

+ V

2

t

· a

p

0,00654

· (V

2

p

− V

2

t

)

(28)

Je˙

zeli h

> 150 mm, zmniejszamy a

t

do warto´sci wynikaj ˛

acej z przekształcenia

wzoru (

28

), do którego podstawiamy h

= 150 [mm]:

a

t

=

0, 981

(V

2

p

− V

2

t

) − V

2

t

· a

p

V

2

p

(29)

Tak obliczon ˛

a warto´s´c a

t

, po zaokr ˛

agleniu w dół do pełnych 0,01 m

/s

2

, podsta-

wiamy ponownie do wzoru (

27

), obliczaj ˛

ac ostateczn ˛

a warto´s´c promienia R

min

.

Na koniec zaokr ˛

aglamy uzyskan ˛

a warto´s´c w gór˛

e do najbli˙zszej wielokrotno´sci

np. 50 m. Przechyłk˛

e natomiast do dalszych oblicze´

n zaokr ˛

aglamy w gór˛

e do

najbli˙zszej wielokrotno´sci 5 mm.

2. Obliczamy długo´s´c krzywej przej´sciowej, stosuj ˛

ac ogólne wzory wła´sciwe dla

wariantu z ramp ˛

a przechyłkow ˛

a:

L

= sup

¦

L

ψ
min

; L

f

min

; L

n

min

© = sup

¨

a

p

· V

p

3,6

· ψ

d op

;

V

p

· h

m

; 0,7

·

p

R

min

«

,

(30)

któr ˛

a do dalszych oblicze´

n równie˙z zaokr ˛

aglamy w gór˛e, np. do pełnych metrów.

3. Posługuj ˛

ac si˛

e wzorami (

24

) – (

26

) obliczamy całkowit ˛

a długo´s´c układu L

c

, k ˛

at

zwrotu

γ oraz długo´s´c cz˛e´sci kołowej łuku k.

4. Sprawdzamy, czy jest zachowany warunek minimalnej długo´sci cz˛

e´sci kołowej

łuku, to znaczy czy k ¾ k

min

. Je˙

zeli tak — rozwi ˛

azanie układu uznajemy za

znalezione. Jednak w wi˛

ekszo´sci wypadków warunek ten spełniony nie jest

(bardzo cz˛

esto k

< 0), co zmusza nas do dalszego poszukiwania poprawnego

rozwi ˛

azania.

5. Wydłu˙zenie cz˛

e´sci kołowej łuku mo˙zemy uzyska´c skracaj ˛

ac krzyw ˛

a przej´sciow ˛

a.

Jest to mo˙

zliwe po zmniejszeniu przechyłki, co wi ˛

a˙

ze si˛

e ze zwi˛

ekszeniem

promienia łuku. Najkrótsz ˛

a krzyw ˛

a przej´sciow ˛

a otrzymamy przyjmuj ˛

ac h

= h

ut rz

min

.

Jednocze´snie musimy pami˛

eta´c o zachowaniu warunku L ¾ L

ψ
min

. Wobec tego

minimaln ˛

a warto´s´c przechyłki, przy której uzyskamy maksymalne w danych

warunkach skrócenie krzywej przej´sciowej obliczamy ze wzoru:

h

ψ

min

=

L

ψ
min

· m

V

p

,

(31)

11

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

po czym sprawdzamy, czy tak uzyskana przechyłka nie jest mniejsza od przechyłki
uznanej za graniczn ˛

a minimaln ˛

a ze wzgl˛

edu na łatwo´s´c utrzymania układu,

przyjmuj ˛

ac ostatecznie

h

00

min

= sup

¦

h

ψ

min

; h

ut rz

min

©

(32)

Uzyskany wynik zaokr ˛

aglamy w gór˛

e do najbli˙zszej wielokrotno´sci 5 mm.

6. Obliczamy nowy promie´

n minimalny:

R

00

min

=

11,8

· V

2

p

h

00

min

+ 153 · a

p

,

(33)

zaokr ˛

aglaj ˛

ac uzyskany wynik — tak jak poprzednio — w gór˛

e do pełnych 50 m,

a nast˛

epnie powtarzamy obliczenia przedstawione w punktach

2

–

4

, uzyskuj ˛

ac

w efekcie nowe warto´sci L

00

, L

00
c

,

α

00

oraz k

00

.

7. Je˙

zeli spełniony jest warunek k

00

¾ k

min

, wyznaczanie podstawowych para-

metrów poszerzenia uznajemy za zako´

nczone. Je˙

zeli nadal warto´s´c k

00

< 0

uznajemy, ˙

ze w danych warunkach układu typu 2 do poszerzenia mi˛

edzytorza

zastosowa´c si˛

e nie da. Je˙

zeli natomiast 0

< k

00

< k

min

, podejmujemy ostatni ˛

a

prób˛

e znalezienia rozwi ˛

azania. Poniewa˙z krzywej przej´sciowej bardziej skróci´c

nie mo˙

zna, wychodz ˛

ac z niedoboru długo´sci cz˛

e´sci kołowej łuku wyznaczamy

współczynnik zwi˛

ekszaj ˛

acy promie´

n:

% =

k

min

k

00

,

(34)

gdzie k

00

— długo´s´c cz˛e´sci kołowej łuku obliczona w punkcie

6

, a wi˛ec w drugiej

iteracji.

8. Obliczamy nowy promie´

n łuku kołowego

R

000

min

= % · R

00

min

,

(35)

zaokr ˛

aglaj ˛

ac uzyskan ˛

a warto´s´c w przyj˛

ety wcze´sniej sposób.

9. Przedstawione zwi˛ekszenie promienia do warto´sci R

000

min

doprowadzi do ˙z ˛

adanego

zwi˛

ekszenia długo´sci cz˛

e´sci kołowej łuku pod warunkiem, ˙

ze zachowamy

obliczon ˛

a w drugiej iteracji długo´s´c krzywej przej´sciowej L

00

. Poniewa˙z ró˙znica

mi˛

edzy R

000

min

a R

00

min

mo˙

ze by´c znaczna, musimy sprawdzi´c, czy jest to mo˙

zliwe

ze wzgl˛

edu na dokładno´s´c tyczenia. W tym celu obliczamy minimaln ˛

a długo´s´c

krzywej przej´sciowej ze wzgl˛

edu na minimalne przesuni˛

ecie łuku do wewn ˛

atrz:

L

n

min

= 0, 7 ·

p

R

000

min

.

(36)

Je˙zeli L

n

min

¶ L

00

przyjmujemy L

000

= L

00

i obliczamy L

000
c

oraz

α

000

. W przeciwnym

wypadku uznajemy, ˙

ze zastosowanie analizowanego modelu poszerzenia jest

w danej sytuacji niemo˙zliwe.

Przy kształtowaniu poszerze´

n typu 2 nale˙

zy zwróci´c uwag˛

e na odmienny od

standardowego sposób kształtowania przechyłki w ´srodkowej cz˛

e´sci układu, to

znaczy na długo´sci dwóch ´srodkowych krzywych przej´sciowych (stykaj ˛

acych si˛

e

pocz ˛

atkami i przeciwnie skierowanych). Na odcinku tym przechyłka jest wykonana

za pomoc ˛

a odpowiedniej zmiany poło˙zenia wysoko´sciowego obu toków szynowych

(rysunek

6

).

12

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

h

KP

KP

KP

KP

£

£

1

2

Rys. 6. Kształtowanie przechyłki na długo´sci poszerzenia wykonanego z pomoc ˛

a dwóch łuków

kołowych i czterech krzywych przej´sciowych. KP — krzywa przej´sciowa, Ł — łuk kołowy,
h — przechyłka, 1 — zewn˛etrzny tok szynowy, 2 — wewn˛etrzny tok szynowy.

2.4.3. Cztery krzywe przej´sciowe bez przechyłki (typ 3)

W poszerzeniu typu 3 zarówno wstawki proste, jak i kołowe cz˛e´sci łuków zast ˛

apione

s ˛

a czterema krzywymi przej´sciowymi o odpowiednio dobranej długo´sci. Mamy

wi˛

ec w tym przypadku do czynienia z dwoma przyległymi do siebie łukami

parabolicznymi (biparabolami) odwrotnego kierunku (rysunek

7

). Jest to zatem

szczególny przypadek poszerzenia typu 2, w którym długo´s´c cz˛

e´sci kołowej łuku

k

= 0 . W układzie takim — podobnie jak w poszerzeniu typu 1 — nie stosuje si˛e

przechyłki.

Rozwi ˛

azanie tego zagadnienia w sposób matematycznie ´scisły jest skomplikowa-

ne. Równie nieefektywne jest stosowanie w takim układzie paraboli korygowanej
metod ˛

a prof. H. Bałucha. Łatwiejsze i mniej pracochłonne jest zastosowanie paraboli

trzeciego stopnia z dokładnymi wzorami na x

s

oraz n i doj´scie do ´scisłego wyniku

za pomoc ˛

a iteracji.

Punktem wyj´scia jest przybli˙

zona metoda rozwi ˛

azania zadania. Przy danym

promieniu R oraz warto´sci poszerzenia p, długo´s´c krzywych przej´sciowych L w po-
staci paraboli trzeciego stopnia wynika jednoznacznie z interpretacji geometrycznej

p

n

R

R

R

R

R

R

Lc

xs

To

x s

ξ

A

B

C

D

P

K

S1

W1

W2

O

K'

L

L

T o

ξ

γ

W2'

pkp1

pkp2 = pkp3

pkp4

kkp3 = kkp4

kkp1 = kkp2

Rys. 7. Poszerzenie mi˛edzytorza wykonane za pomoc ˛

a czterech krzywych przej´sciowych (dwóch

łuków parabolicznych odwrotnych) bez przechyłki

13

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

pochodnej w ko´

ncu krzywej przej´sciowej oraz faktu, ˙

ze w łuku parabolicznym

warto´s´c k

= 0:

L

= 2 · R · tg

γ
2

.

(37)

Przy mo˙zliwym do przyj˛ecia — ze wzgl˛edu na małe warto´sci k ˛

ata

γ — zało˙zeniu,

˙ze długo´s´c stycznej T

0

jest równa długo´sci krzywej przej´sciowej L , otrzymujemy:

L

≈

p

2

· sin γ

(38)

Przyrównuj ˛

ac zale˙zno´sci (

37

) i (

38

) oraz podstawiaj ˛

ac

tg

γ
2

=

sin

γ

1

+ cos γ

(39)

otrzymujemy trójmian kwadratowy

4

· R · cos

2

γ + p · cos γ − 4 · R + p = 0 ,

(40)

którego rozwi ˛

azanie w zakresie liczb dodatnich ma posta´c

γ = arc cos

4

· R − p

4

· R

(41)

Odpowiednie wykorzystanie tych zale˙zno´sci umo˙zliwia dokładne wyznaczenie

parametrów poszerzenia. Kolejno´s´c post˛

epowania przy rozwi ˛

azywaniu poszerzenia

tego typu jest nast˛

epuj ˛

aca:

1. Wyznaczamy minimalny promie´

n łuku kołowego posługuj ˛

ac si˛

e wzorem

wynikaj ˛

acym z dopuszczalnego przyspieszenia niezrównowa˙zonego w łuku bez

przechyłki:

R

min

=

V

2

p

12,96

· a

p

,

(42)

zaokr ˛

aglaj ˛

ac otrzymany wynik w gór˛

e, np. do wielokrotno´sci 50 m.

2. Obliczamy k ˛

at

γ według wzoru (

41

) oraz długo´s´c krzywej przej´sciowej L ze

wzoru (

37

) (˙zadnej z uzyskanych warto´sci nie mo˙zna zaokr ˛

agla´c!).

3. Sprawdzamy, czy obliczona długo´s´c krzywej przej´sciowej spełnia warunek

L ¾ L

min

= sup

¦

L

ψ
min

, L

n

min

©

,

(43)

gdzie

L

ψ
min

= 0,0214 ·

V

3

R

· ψ

d op

,

L

n

min

= 0, 7 ·

p

R

.

Je˙

zeli warunek (

43

) nie jest spełniony, to przyjmuj ˛

ac L

= L

ψ
min

zaokr ˛

aglone

w gór˛

e do 1 m obliczamy now ˛

a warto´s´c k ˛

ata

γ

γ = arc sin

p

2

· L

,

(44)

14

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

i ponownie obliczamy now ˛

a warto´s´c promienia

R

=

p

4

· 1 − cos γ

,

(45)

którego — z uwagi na to, ˙

ze jego warto´s´c wynika z zale˙

zno´sci czysto

geometrycznych — nie mo˙zemy ju˙z zaokr ˛

agla´c.

4. Obliczamy pozostałe charakterystyki łuku parabolicznego:

y

k

=

L

2

6

· R

,

n

= y

k

− R ·



1

− cos

γ
2

‹

,

x

s

= L − R · sin

γ
2

,

T

s

= (R + n) · tg

γ
2

,

T

0

= T

s

+ x

s

.

5. Maj ˛

ac wyznaczone charakterystyki k ˛

atowe i liniowe łuku parabolicznego

obliczamy całkowit ˛

a długo´s´c poszerzenia

L

c

= 2 · T

0

· (1 + cos γ) .

(46)

6. Przyst˛

epuj ˛

ac do usuni˛

ecia niedokładno´sci zwi ˛

azanej z zastosowanym na

pocz ˛

atku przybli˙

zonym wzorem (

38

), obliczamy warto´s´c k ˛

ata

γ wynikaj ˛

ac ˛

a

z długo´sci stycznej T

0

:

γ = arc sin

p

2

· T

0

(47)

Tak otrzymana warto´s´c ró˙zni si˛

e nieco od warto´sci obliczonej w punkcie

2

.

7. Korygujemy warto´s´c k ˛

ata

γ obliczan ˛

a w punkcie

2

według wzoru

γ

i

+1

= γ

i
pkt

2

+

γ

i
pkt

6

− γ

i
pkt

2

2

.

(48)

8. Powtarzamy obliczenia przedstawione w punktach

2

oraz

4

–

7

(warto´s´c

promienia w procesie iteracji nie zmienia si˛

e), a˙

z do uzyskania ˙

z ˛

adanej

dokładno´sci oblicze´

n.

3. Poszerzenie mi˛

edzytorza przy wyj´sciu z łuku

3.1. Wprowadzenie

Na linii dwutorowej rozstaw d torów na prostej (mierzony mi˛edzy osiami torów) jest
stały i zale˙

zy od kategorii linii oraz planowanej pr˛

edko´sci maksymalnej poci ˛

agów.

W łuku poziomym wierzchołki główne obu torów — W

z

oraz W

w

— le˙z ˛

a wówczas tak,

jak pokazano na rysunku

8

a. Je˙zeli na podej´sciu do stacji lub przystanku osobowego,

na którym wymagane jest zwi˛

ekszenie rozstawu torów, nast˛

epuje zmiana kierunku

linii, to wymagane poszerzenie mo˙

zna uzyska´c przez odpowiednie przesuni˛

ecie

jednego z wierzchołków głównych układu (rysunek

8

b).

15

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

Ww

Wz

w

P

Pz

Kz

Kw d

K'

W'

Ww

Wz

P'

w

P

Pz

Kz

Kw

d

p

a)

b)

Rys. 8. Poszerzenia mi˛edzytorza przy wyj´sciu z łuku. a) — poło˙zenie torów bez zmiany ich

rozstawu; b) — poło˙

zenie torów przy zwi˛

ekszeniu ich rozstawu na jednej z prostych

przyległych do łuku o warto´s´c p.

3.2. Rozwi ˛

azanie układu

Przyst˛

epuj ˛

ac do rozwi ˛

azania układu mamy dane:

o

parametry geometryczne łuku poziomego na linii dwutorowej, tzn. promienie
łuków w torze zewn˛

etrznym R

z

i wewn˛

etrznym R

w

, długo´sci krzywych przej-

´sciowych L

z

i L

w

, rozstaw torów na prostej d oraz współrz˛

edne wierzchołków

głównych dla obu torów W

z

oraz W

w

;

o

azymuty stycznych AZ

1

oraz AZ

2

;

o

˙z ˛

adan ˛

a warto´s´c zmiany rozstawu torów p;

o

informacj˛

e o tym, który z torów ma zosta´c przesuni˛

ety w celu potrzymania

zwi˛

ekszenia ich rozstawu na prostej.

Przy tak sformułowanych danych (rysunek

9

) rozwi ˛

azanie zadania sprowadza

si˛e do obliczenia warto´sci przesuni˛ecia jednego z wierzchołków układu, a nast˛epnie
obliczenia współrz˛

ednych przesuni˛

etego wierzchołka i pozostałych parametrów

łuku, którego poło˙zenie ulega zmianie.

K'

W'

Ww

Wz

P'

w

P

Pz

Kz

Kw

d

p

AZ1

AZ2

γ

Rys. 9. Obliczanie przesuni˛ecia wierzchołka głównego jednego z łuków, niezb˛ednego do

uzyskania zmiany rozstawu torów

16

P

omoce

dydaktyczne

K

ATEDRA

T

RANSPORTU

S

ZYNOWEGO

, P

OLITECHNIKA

G

DA ´

NSKA

Z rysunku wynika jednoznacznie, ˙ze

∆W = W

0

W

w

=

p

sin

γ

.

(49)

gdzie

γ — k ˛

at zwrotu trasy (obliczony z ró˙znicy azymutów stycznych).

Maj ˛

ac dane współrz˛

edne wierzchołka W

0

oraz warto´s´c i kierunek jego przesu-

ni˛

ecia, mo˙

zemy wyznaczy´c wszystkie pozostałe współrz˛

edne punktów głównych

przesuwanego łuku, zgodnie ze standardow ˛

a dla takiego układu procedur ˛

a przed-

stawion ˛

a na semestrze 5-tym.

3.3. Uwagi

Poszerzenie mi˛

edzytorza na wyj´sciu z łuku nie ma nic wspólnego z poszerzeniem

skrajni na łuku wyst˛

epuj ˛

acym w projekcie łuku poziomego na linii dwutorowej

przy promieniu łuku R ¶ 4000 m. Przy obliczeniach omawianego wy˙zej układu
przyjmujemy, ˙ze:

o

ró˙znica promieni w torze wewn˛

etrznym i zewn˛

etrznym jest równa rozstawowi

torów na prostej przed poszerzeniem (warto´s´c d na rysunkach

8

i

9

);

o

długo´sci krzywych przej´sciowych w torze wewn˛

etrznym i zewn˛

etrznym s ˛

a

jednakowe.

17