1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE

Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N

0

– liczby naturalne z zerem właściwym; I=N

0

, X

∈R, X-przestrz./zbór,

Φ–rodzina indeksowana; Φ

i

=A

i

=[i,i+1], i=0,1,...; A

0

=[0,1], A

1

=[1,2], ...; przykł: (brak)

Rodzina indeksowana zbioru: niech I≠

∅ będzie rodziną indeksów. Funkcję Φ: I→ρ(x) ; i→Φ(i)=Φ

i

nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.

Sumą uogólnioną podzbio. rodziny

Φ nazyw: ∪(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φ

i

}

Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny

Φ nazyw.: ∩(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φ

i

} przykł: I=N

0

, X

∈R, Φ

i

=A

i

–[i,i+1), i=0, 1, ...;

∪(i∈I)A

i

=[0,+

∞)=R

+

=

Φ;

∩(i∈I)A

i

=[0,+

∞)=R

+

=

Φ; Własności sumy i iloczynu uog.: 1) Prawa de Morgana (∪(i∈I)Φ

i

)’=

∩( i∈I)Φ

i

’ ; (

∩(i∈I))’=∪(i∈I)Φ

i

’ ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla

różnicy zbiorów: A\

∪(t∈T) A

t

=

∩(t∈T) (A\A

t

) ; A\

∩(t∈T) A

t

=

∪(t∈T) (A\A

t

) 3) Własności: a) (x

∈∪(t∈T) A

t

)

⇔ (t∈T) (x∈A

t

) ; b) (x

∈∩(t∈T) A

t

)

⇔ (t∈T) (x∈A

t

) ; c)

(x

∉∪(t∈T) A

t

)

⇔ (t∉T) (x∈A

t

) ; d) (x

∉∩(t∈T) A

t

)

⇔ (t∉T) (x∈A

t

) ; e) A

∨ ∪(t∈T) A

t

=

∪(t∈T) (A∨A

t

) ; f)

∪(t∈T) (A

t

B

t

)

⊂ ∪(t∈T) A

t

∪(t∈T) B

t

; g)

∩(t∈T) A

t

∨

∩(t∈T) B

t

⊂ ∩(t∈T) (At∨Bt);

2. RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI
Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A

1

× A

2

×...×A

n

= {(a

1

, a

2

, ...a

n

):a

i

∈A

i

, i=1,2,...,n} Relacja: Niech X≠

∅≠Y,

wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X

×Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R⊂X×Y nazywamy

zbiór D

R

={x:X, (y

∈Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór D

R

-1

={y:Y, (x

∈X) xRy};

Relację R

⊂X×X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna (x∈X) xRx inaczej- [(x,x)∈R], 2. Jest symetryczna (x∈X) xRy⇒yRx

inacz- [(x,y)

∈R⇒(x,y)∈R], 3. Jest przechodnia (x,y∈X) xRy yRz⇒xRz inacz- [(x,y)∈R (y,z)∈R ⇒(x,z)∈R], przykład: (brak)

Zasada abstrakcji: Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie:

ϕ:X→P(x), x→ϕ(x)=(notujemy)=[x] {y∈X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow.

cały podzb.), ma własn: 1. (x

∈X) ϕ(x)≠∅, 2. (y∈X) (x∈X) y∈ϕ(x)=[x], 3. (x∈X) [[x]=[y] ([x] [y]≠0)]; [x] – klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x; „ ” – czyt.

albo kroją się te klasy,

3. RELACJA CZĘŚCIOWEGO I LINIOWEGO PORZĄDKU
Df. Mowimy że relacja ≤ jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja ≤ ma własn: 1. (x

∈X) x∈X (zwrotność), 2. (x,y∈X) [x≤y y≤x ⇒ x=y]

(antysymetria), 3. (x,y,z

∈X) [x≤y x≤z ⇒ x≤z] (przechodniość); Przykł: Relacja ≤ w R: X≠∅, P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: (

A

,

B

∈P(x)) [A≤B ⇔ A⊂B], spełnia 1.

A≤A (A

⊂A),itd. dla ‘≤’ i ‘⊂’ pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli D

R

=A i R jest relacją częściowo porządkującą.

Df. Mówimy że relacja częściowego porządku ≤ w zbiorze X porządkuje x liniowo, jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. (x,y

∈X) x≤y ∨ y≤x;

Element największy (najmniejszy) A

⊂X, Df. Elem. x

o

∈A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: (x∈A) x≤x

0

, najmn: (x

∈A) x

0

≤x;

Element maksymalny: x

0

∈A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x

0

≤x x

0

≠x). Element minimalny: x

0

∈A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x

0

≥x x

0

≠x).

Kresy zbiorów: X

≠0, (X, ≤), ∅≠A⊂X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli (a∈X) (x∈A) x≤a; ograniczone z dołu jeżeli (b∈X) (x∈A) b≤x; Zbiór

oraniczonym nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem.
nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA).

4. FUNKCJE
Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek (x,y,z) ((x,y)

∈f (x,z)∈f ⇒ y=z) nazywamy funkcją. F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja

R

⊂X×Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli (x∈X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: X→Y.

Zbiór X to dziedzina f-cji (D

f

), każdy element x

∈X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (D

f

-1

). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.

Def. Odwzorowanie f: X

→Y nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: (x1,x2) x

1

≠x

2

⇒ f(x

1

)≠f(x

2

) (odwzorowanie różnowartościowe)

Def. Odwzorowanie f: X

→Y nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: (y∈Y) (x∈X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie

f: X

→Y nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

Obrazy i przeciwobrazy: f: X

→Y, (X≠∅≠Y), A⊂X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y∈Y: (x∈A) y=f(x)}.

Przeciwobrazem zbioru B

⊂Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f

-1

(B):={x

∈X: f(x)∈B}; Własności obrazów i przeciwobr.: 1. f(∪(t∈T) A

t

)=

∪(t∈T) f(A

t

),

A={A

t

⊂X: t∈T}, 2. f(∩(t∈T) A

t

)

⊂ ∪(t∈T) f(A

t

), 3. f

-1

(

∪(t∈T) B

t

)=

∪(t∈T) f(B

t

), 4. a) f

-1

(

∩(t∈T) B

t

)

⊂ ∪(t∈T) f

-1

(b

t

); b) f(A

1

)\f(A

2

)

⊂ f(A

1

\A

2

), f

-1

(B

1

\B

2

) = f

-1

(B

1

)\f

-1

(B

2

),

f(f

-1

(B)=B o ile B

⊂f(x), f

-1

(f(A))

⊃A;

Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y

∈Y przyporządkowujemy jedyny elem.

x

∈X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f

–1

, tj. f

–1

:Y

→X, gdzie

(x

∈X, y∈Y) y=f(x)⇔ x= f

–1

(y); Z tego wynika że: f

-1

(f(x))=x i f

-1

(f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.

5. CIAŁA LICZBOWE
Ciało jest tpo zespół (A,□,○) złożony ze zb. A, 1. działania □, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. ō, c) każdemu elem. a ze zb. A
przyporządkowuje elem. odwrotny ā ; 2. oraz działania ○, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. □, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral.
ŏ rózny od ō, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od ō przyporządkowuje elem. odwrotny ă. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie □ to
dodaw. i ○ mnożenie. Łączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(

×). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a

Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ((a,b)

∈Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem.

przeciw. ((a,b)

∈Z) (-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz.

×

. (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr.

(a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz.

×

wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr. ((a,b)≠(0,0)) ((a,b)

-1

) (a,b)(a,b)

-1

= (a,b)

-1

(a,b)=(1,0) 9. przemien.

×

(a,b)(c,d)=(c,d)(a,b) (zob. więcej Liczb. zesp. 6)

6. LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb
rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. (własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:
(a,b)=(c,d)Ùa=c

∧b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);

Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby:
|z|=

√(a

2

+b

2

); Wł: 1. ||z

1

|-|z

2

||≤ |z1

±z2|≤|z

1

|+|z

2

| 2. |z

1

z

2

|=|z

1

||z

2

| 3. |z

1|

/z

2

|=|z

1

|/|z

2

|

Tw. Licz. zesp. jest

⇔ =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0)Ù(|Z|=0).

Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (ž), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy) x-iy; Wł: 1. z

⋅sp(z)= x

2

+y

2

= |z|

2

2. sp(z

1

+z

2

)=sp(z

1

)+sp(z

2

) 3. j.w.(

⋅) 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) y=((z-sp(z))/2i)

Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez z

n

, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.

Ineterpret. geometr. licz. zesp.: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy
część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z≠0 mamy z=

√( x

2

+y

2

)

⋅ ((x/√( x

2

+y

2

))+ i(y/

√( x

2

+y

2

)))= r(cos

Φ+ i sinΦ)), r=|z|

Def. Argumentem liczby z=x+jy

≠0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/|z|, sinΦ=y/|z|, gdzie |z|=√(x

2

+y

2

)>0

jest modułem liczby z.
Def. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z (n

∈N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosΦ+ isinΦ)≠0 i n∈N to istnieje dokładnie n różnych

pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: z

k

=

n

√r (cos((Φ+2kπ)/n)+ isin((Φ+2kπ)/n)), k∈Z=0, 1,…, n-1, r=|z|.

W przypadku n=2 piszemy

√z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym. Def. (Wzór Eulera). Potęgę e

x

o podstawie w i wykładniku z= x+jy, należącym do ciała liczb

zespolonych , określamy: e

jy

:=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. e

x

=e

x

e

jy

= e

x

(cosy+jsiny), 2. sinz= (e

zi

-e

-zi

)/z 3. cosz= (e

zi

+e

-zi

)/z 4. lnz={ln|z|+ i(

Φ+2kπ), k∈Z};

Wrór de Moivre’a (cos

Φ+ isinΦ)

n

= cos n

Φ+ isin nΦ, n∈N; z

n

=n|z| (cos n

Φ+ isin nΦ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosΦ+ isinΦ)

n

= cos

n

Φ+ (

n

1

)icos

n-1

ΦsinΦ-

(

n

2

)cos

n-2

Φsin

2

Φ+ …+ i

n

sin

n

Φ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cosnΦ= cos

n

Φ- (

n

2

)cos

n-2

Φ⋅ sin

2

Φ+…, sinnΦ= (

n

1

)cos

n-1

Φ⋅ sinΦ– (

n

3

)cos

n-3

Φ⋅ sin

3

Φ+…;

7. PRZESTRZEŃ LINIOWA
Def: Przestrz. liniowa na R: Niech A będzie zb.. zaś „+” i „

⋅” działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz.

wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1. ukł. złoż. ze zb. A i działania „+” stanowi grupę abelową 2. dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni
A i dow. liczb rzeczyw.

α i β zachodzą równości a) α(x+y)= αx+αy b) (α+β)x= αx+βx c) (αβ)x= α(βx) d) 1⋅x=x; Przykł: R

n

- zb. wszystk. ciągów (x

1

, ...,x

n

), gdzie x

1

, ...,x

n

są

licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x

1

, ...,x

n

)+ (y

1

, ...,y

n

)= (x

1

+y

1

, ...,x

n

+y

n

), mnoż:

α(x

1

, ...,x

n

)= (

αx

1

, ...,

αx

n

), Układ taki (R

n

,+,

⋅) stanowi przestrz. liniową.

8. PRZESTRZEŃ METRYCZNA I
Metryka– Określenie metryki: X

≠∅, d: X

2

→R

+

, (x,y)

→d(x,y); F-cję d: X

2

→R

+

nazywamy metryką, gdy ma własn: 1. d(x,y)=0

⇔ x=y (jednozn) 2. d(x,y)=d(y,x) (symetr.)

3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)
Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y

∈R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ |x-y|=0 ⇔ x-y=0 ⇔x=y,

2. d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),
3. D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);
Kule w p.m. x

0

∈X, r>0; Kulą otwartą o środku x

0

i promieniu r nazywamy zbiór: Kº(x

0

,r) {x

∈X: d(x

0

,x)<r}; Kulą domkniętą o środku x

0

i prom. R nazywamy zbiór:

K¯(x

0

,r) { x

∈X: d(x

0

,x) ≤r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A

⊂X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: (x∈A) (Kº(x,ε)) Kº(x,ε)⊂A; Każdy pkt. o własności zbiou

otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrzem zbioru A i oznacza symb. „Aº” lub „intA”; Zbiór jest
domknięty

⇔ gdy zbiór A⊂Aº (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) ⇔ ma własn: ((x

n

)

⊂A) x

n

→x ⇒ x∈A; Brzeg: (X,d), A⊂X, ∂A A¯\Aº =

A¯ A’¯, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P conajm. jedn. pkt

∉ A i jedn. ∈

A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór A¯={x

∈W: ((x

n

)

⊂A) lim x

n

=x};

Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy „clA” lub „Ā”; (więcej zobacz Granice)
Ciągi zbieżne w p.m.: (X,d) x

n

∈X Df. Ciągiem (x

n

) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x

∈X jeżeli ma on własn.:

(

ε>0) (n

0

∈N) (n>n

0

) d(x

n

,x)<

ε ;lim(x→0) n

n

=x, x

n

–(n

→∞)→x, d(x

n

,x) –(n

→∞)→0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {x

n

=x, n=1,2,...;

lim(n

→∞) x

n

=x} 2. ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli Xn

→X to dla dowolnego podciągu Xn

k

ciągu Xn: lim(k

→∞) Xn

k

=X

9. PRZESTRZEN METRYCZNA II
Warunek zbieżności ciągu (Cauchy’ego) : Mówimy że ciąg (x

n

) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli ma własn:

(

ε>0) (n

0

∈N) (n>n

0

)

(m

∈N) d(x

n

,x

n+m

)<

ε, d(x

n

,x

n+m

)–(n

→∞)→0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego: (ε>0) (n

0

∈N) (n>n

0

) d(x

n

,x)<

ε (x

n

→x);

d(x

n

,x

n+m

)

≤d(x

n

,x)+d(x

n+m

,x)<

ε/2+ε/2 dla n>n

0

; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: (x

⊃ (xn)∈(c)) lim(n→∞) x

n

= x

∈X, {{gdzie (x

n

)

∈(c)

oznacza: x

n

spełnia war. Cauchy’ego}} Przykł: 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2. (R,||) 3. (r

2

,d

ε

) d

ε

(P,Q)=

√((x

P

-x

Q

)

2

+ (y

P

-y

Q

)

2

), P(x

P

,y

P

),

Q(x

Q

,y

Q

) 3. (R

n

,d), x=(x

1

, ..., x

n

). y=(y

1,

..., y

n

), d(x,y)=

√(

(i=1)

Σ

(n)

(x

i

-y

i

)

2

)

Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)

→(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0≤α<1, to

1. (sp(x)

∈X) sp(x)=f(sp(x)) 2. dla dowolon. x

0

∈X ciąg kolejnych przybliżeń (x

n

) startujacy z pktu x

0

jest zbież. do sp(x), 3. zachodzi oszacowanie d(sp(x),x

n

)

≤(α

n

/(1-

α)) d(x

0

,f(x

0

)) Dowód: Wykazać że (x

n

) spełnia war. Cauchy’ego: d(x

1

,x

2

)= d(f(x

0

),f(x

1

))

≤ L d(x

0

,x

1

) ,, d(x

2

,x

3

)= d(f(x

1

),f(x

2

))

≤ L d(x

1

,x

2

) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(x

n

,x

n+1

)

≤

L

n

d(x

0

,x

1

) ;; d(x

n

,x

n+p

)

≤ d(x

n

,x

n+1

)+ d(x

n+1

,x

n+p

)

≤ d(x

n

,x

n+1

)+ d(x

n+1

,x

n+2

)+ …+ d(x

n+p-1

,x

n+p

)

≤ L

n

d(x

0

,x

1

)+ L

n+1

d(x

0

,x

1

)+ …+ L

n+p-1

d(x

0

,x

1

)= (L

n

+ L

n+1

+ …+ L

n+p-1

) d d(x

0

,x

1

)=

L

n

((1-L

p

)/ (1-L)) d(x

n

,x

1

)

≤ L

n

(1/ (1-L)) d(x

0

,x

1

);; L

n

→0 ponieważ L<1 →0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to

lim(n

→∞) X

n

= sp(x)

∈X.

10. PRESTRZEŃ METRYCZNA III
Zbieżność „po współrzędnych” w R

n

:

Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]

→R ; f

n

→f ;; sup([a,b]) |f

n

(x)- f(x)|

→0 ;; (ε>0) (n

0

∈N) (n>n

0

) (x

∈[a,b]) |f

n

(x)- f(x)|<

ε ;. Zbieżność niemal

jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (f

n

) taki że f: (a,b)

→R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym

[

α,β]⊂(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:

11. PRZESTRZEŃ METR. IV, GRANICE, CIĄGŁOŚĆ F-CJI
Definicja granicy lim(x

→x

0

) f(x) f-cji f: (X,d)

→(Y, ρ)

Def (Heinego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x

0

granicę g co zapisujemy lim(x

→x

0

)f(x)=g)

⇔ gdy dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach ze zbioru D

f

\{x

0

} i zbieżnego do

punktu x

0

ciąg (f (x

n

)) jest zbieżny do punktu g.; lim(x

→x

0

) f(x)=g

⇔ ((x

n

)

∈D

f

\{x

0

}) x

n

→x

0

, f(x

n

)

→g .;

Def (Cauchy’ego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x

0

granicę g

⇔ gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<|x-x

0

|< r

⇒|f(x)-g|< ε;

lim(x

→x

0

) f(x)=g

⇔ (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x

0

)< δ

⇒ d(f(x),g) <ε; Własności: działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(x→x

0

) f(x)=g, lim(x

→x

0

)=p, i x

0

jest pktem

skupienia zbio. D

f

D

h

, to: 1,2,3. lim(x

→x

0

) [f(x)

±×h(x)]= g±×p; 4. lim(x→x

0

) [f(x)/h(x)]=g/p, p≠0; 5. Jeż. lim(x

→x

0

) f(x)=g oraz lim(y

→g) h(y)=p, to lim(x→x

0

) h[f(x)]=p;.

Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x

0

∈D

f

:

Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x

0

⇔ gdy dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach ze zbioru D

f

i zbieżnego do punktu x

0

ciąg (f(x

n

)) jest

zbieżny do punktu f(x

0

).

Def (Cauchy’ego): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x

0

⇔ gdy (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x

0

)<

δ ⇒ ρ(f(x

0

)-f(x))<

ε.

Tw. F-cja f jest ciągła w punkcie x

0

będącym punktem skupienia dziedziny Df

⇔ gdy lim(x→x

0

) f(x)=f(x

0

).

Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła

⇔ gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: F-cja f: (X,d)

→(Y,ρ) jest jednost. ciągła na X gdy: (ε>0) (δ>0) (x

1

,x

2

∈X) d(x

1

,x

2

)

≤δ ⇒ρ(f(x

1

),f(x

2

))<

ε;

Def. (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)

→(Y,ρ) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: (0≤L) (x

1

,x

2

∈X) ρ(f(x

1

),f(x

2

))

≤ L⋅d(x

1

,x

2

). F-cja, która spoełnia war.

Lipsch. jest jednostajnie ciągła:

(1)

ρ(f(x

1

),f(x

2

))

≤ L⋅d(x

1

,x

2

)< L

⋅δ ;; d(x

1

,x

2

)<

δ - jednostajność ;;

(2)

ρ(f(x

1

),f(x

2

))<

ε - jednostajność:: z

(1)

i

(2)

wynika, że L

⋅δ=ε ⇒ δ=ε/L

12. WŁASNOŚCI F-CJI CIĄGŁYCH NA ZB. ZWARTYM
Zbiory zwarte: Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (x

n

)

⊂A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: (Xn⊂A) (Xn

k

) Xn

k

–

(k

→∞)→ x∈A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy:

(Xn

⊂X) (Xn

k

) Xn

k

–(k

→∞)→ x∈X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.

Tw. (Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)

→(Y,ρ) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,ρ), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód:

~ (

ε>0) (δ>0) (x

1

,x

2

∈X) [d(x

1

,x

2

)<

δ ⇒ρ(f(x

1

),f(x

2

))<

ε];;

E(

ε>0) (δ>0) (x

1

,x

2

∈X) [d(x

1

,x

2

)<

δ ⇒ρ(f(x

1

),f(x

2

))≥

ε];;

δ

1

=1, x

1

,y

1

d(x

1

,y

1

)<1

ρ(f(x

1

),f(y

1

))≥

ε;;

δ

2

=1/2, x

2

,y

2

d(x

2

,y

2

)<1/2

ρ(f(x

2

),f(y

2

))≥

ε;; ...

δ

n

=1/n, x

n

,y

n

d(x

n

,y

n

)<1/n

ρ(f(x

n

),f(y

n

))≥

ε;; (x

n

),(y

n

)

⊂X;;

(Xn

k

),Xn

k

–(n

→∞)→ sp(x) – zbieżny;; d(x

nk

,y

nk

)<1/n

k

ρ(f(x

nk

),f(y

nk

))≥

ε;;

(Xn

k

),Xn

k

–(m

→∞)→ sp(y);; d(x

nkm

,y

nkm

)<1/n

km

ρ(f(x

nkm

),f(y

nkm

))≥

ε;;

x

n

→sp(x), y

n

→sp(y) ⇒ d(x

n

,y

n

)

→ d(sp(x),sp(y));;

d(x

nkm

0

,y

nkm

)

→ d(sp(x)

0

,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;

f(xn

km

)

→f(sp(x)), f(yn

km

)

→f(sp(y)) ⇒ d(f(xn

km

),f(yn

km

))

→ d(f(sp(x)),f(sp(y)));;

d(f(xn

km

)

0

,f(yn

km

))

→ d(f(sp(x))

0

,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;

a więc f(xn

km

)-f(yn

km

)= 0 ~(≥

ε);;.

Tw. (Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)

→(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.<a,b>) jest f-cją ograniczona (na

tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c

1

i c

2

że f(c

1

)= inf(a

≤x≤b) f(x)), f(c

2

)= sup(a

≤x≤b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż

funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru
swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tgx x

∈(-π/2,π/2). Jeż

f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x

∈(a,b) tylko inf(a,b) x=a, sup(a,b) x=b.

13. CIĄGI RZECZYWISTE I
Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy’ego zbieżności ciągu: Liczba x jest granicą ciągu (x

n

)

⇔ gdy: lim(n→∞) x

n

=x

⇔ (ε>0) (n

0

) (m>n

0

) (k>n

0

) (|x

m

-x

k

|<

ε);

Własn. c. zbież. do gran wł. w R – 1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi x

n

i y

n

: a,b,c. lim(n

→∞) (x

n

±×y

n

)= lim

(n

→∞)

x

n

±× lim

(n

→∞)

x

n

d. lim

(n

→∞)

(x

n

/y

n

)= (lim

(n

→∞)

x

n

)/

(lim

(n

→∞)

y

n

), y

n

≠0, lim

(n

→∞)

y

n

≠0; e. jeż. (n

0

) (n

0

≤n) x

n

<y

n

to lim

(n

→∞)

x

n

≤ lim

(n

→∞)

y

n

2. ciągi stałe są zbież. (x

n

=x, n=1,2... to lim(n

→∞)x

n

=x) 3. ciąg ma conawyż. jedn. granicę

4. dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5. Tw. dla a>0

n

√a→n,

n

√n→1 6. w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z

R 7. Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (x

n

) i (y

n

) są zbież. w R i lim

(n

→∞)

x

n

= lim

(n

→∞)

y

n

oraz ciąg (z

n

) ma własn.: (n

0

∈N) (n>n

0

) x

n

≤z

n

≤y

n

, to ciąg (z

n

) jest zbież. oraz lim

(n

→∞)

x

n

=

lim

(n

→∞)

y

n

= lim

(n

→∞)

z

n

Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n)

n

Tw. (o ciągu ograniczonym) 8. c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9. ciąg zbieżny jest ogranicz. 10. c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny (tw. Balzano -Weierstr. ) 11.
każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy’ego.
Tw. (O ciągu monotonicznym) Ciąg x

n

nazyw.: 1. rosną. jeż. (n

∈N) (x

n

<x

n+1

) 2. malej. jeż. (n

∈N) (x

n

>x

n+1

) 3. niemalej. (n

∈N) (x

n

≤x

n+1

) 4. nierosn. (n

∈N) (x

n

>=x

n+1

)

14. CIĄGI RZECZYWISTE II
Zupełność przetrz. metryczn. R: Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn:

(x

⊃x

n

∈(c)) lim(n→∞)x

n

=x

∈X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.

Granice niewłaściwe: Ciąg x

≡n≡ nazyw. rozbieżnym do „±∞” lub zbież. do granicy niewł. „±∞” jeżeli: lim

(n

→∞)

x

n

=+(-)

∞ ⇔ (M) (n

0

) (n>n

0

) x

n

>(<)M

15. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ I
Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy

∆x→0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f‘(x

0

), f‘(x

0

)=lim(

∆x→0) [f(x

0

+

∆x) - f(x

0

)]/

∆x.

Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x

0

i dla przyrostu

∆x zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x

0

+

∆x)-f(x

0

)]/

∆x.

Tw. (O reprezentacji przyrostu): Jeżlei f: Ux

0

→X ma pochodna f’(x

0

) w p. x

0

to słuszny jest wzór:

∆f(x

0

)=f(x

0

+

∆x)-f(x

0

)= f’(x

0

)dx+

ω(∆x) gdzie ω jest f_cją taką że ω(0)=0,

lim(

∆x→0) ω(∆x)/∆x=0 Dowód: ∆f(x

0

)=f’(x

0

)

∆x+ (∆f(x

0

)- f’(x

0

)

∆x)

(

ω(∆x))

;; lim(

∆x→0) ((∆f(x

0

)- f’(x

0

)

∆x)/∆x)= lim(∆x→0) [(∆f/∆x)⋅( x

0

)- f’(x

0

)]=0.;

Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Tw. jeż. f-cja f: Ux

0

→R ma poczhodą w p. x

0

, to f-cja f jest ciągła w p. x

0

, Dowód: lim(

∆x→0) f(x

0

+

∆x)= f(x

0

).

16. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ II
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R

⊃Ux

0

–f

→f(Ux

0

)–g

→R, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x

0

, a f-cja g ma pochodną w punkcie y

0

= f(x

0

) to istnieje poch. fcji g

⋅f w x

0

:

g’[f(x

0

)]* f’(x

0

)= (g

⋅f)’(x

0

).

Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreœlamy następująco: f

(n)

(x)= [f

(n-1)

](x), n=1,2,...przy czym [f

(0)

]’(x)=f‘(x).

Def: Zakładamy że ist. pochodna f

(n-1)

(x) f-cji f: R

⊃Ux

0

→R dla x∈Ux

0

. Oznaczamy

Φ(x)=f

n-1

(x). Jeż. istnieje

Φ’(x

0

), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji

Φ) nazywamy n-ta poch.

f-cji f w p. x

0

lub poch. n-tego rzędu w p. x

0

, f

n

(x

0

), n=0,1,...;

Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R

⊃D

f

–na

→D

f

-1

⊂R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w D

f

: f’(x)

≠0, x∈D

f

to f-cja odwrotna f

-1

ma poch. w D

f

-1

y

f

-1

’(x

0

)=1/f’(f

-1

(x

0

));

Tw. (O pochodneej sumy, ilocz. ilorazu) f-cji: Dane sa f-cje f,g: Ux

o

→R takie że isnieje f’(x

0

) i g’(x

0

), wtedy: 1. (f(x

0

)

±g(x

0

))’= f’(x

0

)

± g’(x

0

) 2. [f(x

0

)g(x

0

)]’= f’(x

0

)g(x

0

)+

f(x

0

)g’(x

0

) 3. [f(x

0

)/g(x

0

)]’= {[f’(x

0

)g(x

0

)- f(x

0

)g’(x

0

)]/ g

2

(x

0

)}

17. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
Tw. (Rolle’a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale <a;b> i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c

∈(a;b), że f ‘(c)=0. Dowód: A) f(x)=const

f’(x)=0 B) f(x)≠const. x

∈<a,b> istnieje supf(x)>f(a)∨ inff(x<f(a), z tw. Weiestr. f(c)=inff(x)), c≠a, c≠b:: [f(c+ ∆x)-f(c)]/∆x ={≥0 dla ∆x>0, ≤0 dla ∆x<0}, Ponieważ

c+

∆x∈<a,b>, z założ. wiemy że istnieje poch. f’(c) więc 0≤f

-

‘(c)= f’(c)= f

+

’(c)

≤0 czyli f’(c)=0;.

Tw. (Lagrange’a): Jeżeli f-cja f:[x

0

,x]

→R jest ciągła na przedziale domkn. <x

0

,x> ist f’(x) dla x

∈(x

0

,x), to istnieje taki punkt c

∈(x

0

,x), że f(x)-f(x

0

)= f’(c)(x-x

0

). Wnioski: 1)

Jeż. f-cja f: R

⊃D

f

→R ma w D

f

poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R

⊃(a,b)→R istnieje f’(x)=0, x∈(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x∈<a;b>

f’(x)=0 to dla każdego x

∈<a;b> f(x)- f(x

0

)=0(x-x

0

)

⇒ f(x)=f(x

0

). Jeżeli f’(x

0

)=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego

x

∈ (a;b) f‘(x)>0 to: a) x<x

0,

f(x)-f(x

0

)=f‘(x)(x-x

0

)<0; f(x)-f(x

0

)<0

⇒f(x)<f(x

0

) b) x

0

<x, f(x)-f(x

0

)=f(x

0

)(x-x

0

)>0

⇒ f(x)>f(x

0

). Jeżeli f‘(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to

f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f ‘(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.
Tw. (Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux

0

→R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux

0

oraz ma pochodną rzędu n w Ux

0

, to (x

∈Ux

0

) oraz x≠x

0

istnieje liczba ς

∈(0,1) taka że

f(x)=

K=0

Σ

n-1

[(f

K

(x

0

)/k!)* (x-x

0

)

K

]+ [(f

(n)

(c))/n!)* (x-x

0

)

n

]

reszta Lagrangea

, c=x

0

+ς(x-x

0

) Dowód: (dla przypadku 2

≤n) –dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange’a

o wart. średniej.;; Obieram dowol. x

∈Ux

0

, obierając dowolną licz. λ

∈R definiujemy f-cję φ=φ

x,λ

: Ux

0

→R, t→φ(t);; φ(t) f(x)-

K=0

Σ

n-1

[(f

K

(t)/k!)* (x-t)

K

]- λ((x-t)

n

)/n! ,t

∈Ux

0

,

Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji φ do przedź. ([x

0

,x] lub [x,x

0

]); φ(x)=0; Dobieram λ aby φ

λ

(x

0

)=0, Z tw. Rolla: poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące

do przedz. o końc. (x) i (x

0

) takie że φ’(c)=0;;

φ’(t)= (-1)

K=0

Σ

n-1

[(f

K+1

(t)/k!)* (x-t)

K

]+

K=0

Σ

n-1

[(f

K

(t)/ (k-1)!)* (x-t)

K-1

]+ [λ(x-t)

n-1

/(n-1)!]= (-1)

K=0

Σ

n-1

[(f

K+1

(t)/ k!)* (x-t)

K

]+

K=0

Σ

n-2

[(f

K+1

(t)/ k!)* (x-t)

K

]+ [λ(x-t)

n-1

/ (n-1)!]= (-1)

⋅

[(f

n

(t)/ (n-1)!)* (x-t)

n-1

]+ [λ(x-t)

n-1

/ (n-1)!]= (-1)

⋅ [(f

n

(c)/ (n-1)!)* (x-c)

n-1

]+ [λ(x-c)

n-1

/ (n-1)!]=0;; (x-c)

n-1

/ (n-1)!

⋅ [λ- f

n

(φ)]=0;; λ=f

n

(φ), c=x

0

+ ς(x-x

0

), ς

∈(0,1);;.

Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x

0

=0 otrzymamy

K=0

Σ

n-1

[(f

(K)

(0)) /k!]*x

K

+R

n

, gdzie R

n

=[f

(n)

C/n!]* x

n

. Punkt c jest położony między 0 i x.

18. CAŁKA RIEMANNA I
Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale <a;b>: R

n

=

k=1

Σ

n

f(c

k

)*

∆x

k

,

δ

n

=max(1

≤k≤n)∆x

k

– średnica przedziału,

∆x

k

=x

k

-x

k-1

, k=1, 2, ..,n – długość prezdz. częściowego;

Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (R

n

) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru

punktów pośrednich c

i

, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem

a

∫

b

f(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R

całkowalna na przedziale domkniętym <a,b>;
Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]

→R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],

Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji: Całka ozn. Riemanna z f-cji f na [a,b] isnieje

⇔ gdy istnieją całki Darboux i są sobie równe (S

n

→S;; s

n

→s) i s=S

19. CAŁKA RIEMANNA II
Liniowość całki Riemanna: Tw. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]

→R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]→R: x→(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na

tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość:

a

∫

b

[f(x)+g(x)]dx=

a

∫

b

f(x)dx+

a

∫

b

g(x)dx (addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja

αf: [a,b]→R

,

α∈R(jednorodność całki) : x→(αf)(x)=αf(x);;

R(a,b) – zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)

→R,

f

→T(f)=

a

∫

b

f(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(

αf)=αT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;

Tw. (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale <a,b> i przekształca go na przedz. <

α,β> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C

1

<a;b> 3)

zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział

<α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej

a

∫

b

g[h(x)]h’(x)dx=

α

∫

β

g(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1.

φ:<

α,β> -na→<a,b> ma choch w <α,β> 2. f:<a,b>→R ma f. pierwotną na <a,b> to ∫(f⋅φ)f’(t)dt= (F⋅Φ)(t)+c, t∈<a,b>;

Tw. (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C

1

na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór

∫u(x)*v’(x)dx = u(x)*v(x) -∫u’(x)*v(x)dx ,

który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
Tw. (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C

1

<a;b>

to

a

∫

b

U(x)*V’(x)dx= U(x)*V(x)



a

b

-

a

∫

b

U’(x)*V(x)dx.

Tw. (O jednostajnej ciągłości) F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także
całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz

a

∫

b

[f(x)+g(x)]dx=

a

∫

b

f(x)dx+

a

∫

b

g(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i

a

∫

b

Af(x)dx= A

a

∫

b

f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6)
Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7)
Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to

a

∫

c

f(x)dx +

c

∫

b

f(x)dx=

a

∫

b

f(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na

przedziale <a;b>, wówczas f(x)

≤g(x); dla x∈<a,b>⇒

a

∫

b

f(x)dx

≤

a

∫

b

g(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale <a;b>, wówczas: m

≤f(x)≤M dla x∈<a,b>⇒ m⋅(b-a)≤

a

∫

b

f(x)dx

≤M⋅(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale <a;b>, to

a

∫

b

f(x)dx=

∅ (b) -∅ (a). 11) Jeż. f-cja f:<a,b> jest R-

całkow. i jest f-cja ograniczoną na <a,b> poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x

∉A, to

a

∫

b

f(x)dx=0,;

20. CAŁKA RIEMANNA III
Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. <a,b>jedynie nieujemne wart.: 0

≤f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka

a

∫

b

f(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. <a,b>. Tę wspólną granicę lims

n

= limS

n

=

a

∫

b

f(x)dx

nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności a

≤x≤b, 0≤y≤f(x), Takie oznaczenie pola figury jest

zgone z określeniem pola figury płaskiej.
Tw. Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> f-cje f

1

i f

2

spełniają na tym przedziale nierówność f

1

(x)

≤ f

2

(x) to pole

D figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i

x= b wyraża się wzorem

D=

a

∫

b

[f

2

(x)-f

1

(x)]dx.

Tw. Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t

∈<α,β.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <α,β>, to

pole

D fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką |D|=

α

∫

β

|y(t)|*x’(t)dt., gdy postać wyraźna: to jej pole

P=

a

∫

b

|f(x)|dx, gdy postać bigunowa: Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(φ), φ

∈<α,β>, 0<β-α<2π, przy czym f(φ) jest ciągła, nieujem. na przedz. <α,β> to pole:

P=1/2

a

∫

b

r

2

dφ;

Tw. Łuk AB określony równaniem wyraźnym y= f(x) a

≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C

1

<a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l=

a

∫

b

√(1+f ’

2

(x)) dx.

Tw. Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t

∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C

1

<

α,β> to jej długość l wyraża się całką l=

α

∫

β

√([x’(t)]

2

+[y‘(t)]

2

)dt ; długość wyraźną postacią: L=

a

∫

b

√(1+[f(x)]

2

)dx, gdy w post, biegunowej: (r-nia jak przy polu) L=

a

∫

b

√(f

2

(φ)+[f’(φ)]

2

)dφ;

Tw. Objętość

V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> f-cji f, wyraża się całką V =∏

a

∫

b

f

2

(x)dx.

Tw. Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t

∈<α,β> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C

1

<

α,β>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t)

nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem

V= ∏

α

∫

β

y

2

(t)*x’(t)dt.

Tw. Pole

S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C

1

<a;b> wyraża się całką

S=2∏

a

∫

b

f(x)√(1+f ’

2

(x)) dx.

20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F’ jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x

∈X

F’(x)=f (x).
F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy
całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.
PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
Tw. 1.1. (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci
F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja
pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem

∫f (x) dx.

Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór

∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na

przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
Tw. (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [

∫f(x)dx]’= f(x); ∫f(x)dx= F(x)+C, F’(x)= f(x); [∫f(x)dx]’= (F(x)+C)’= F’(x)+f(x).

Tw. (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf’(x)dx=f(x)+C
Tw. (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.
Tw. (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw. F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.
DF: Wzór rekurencyjny: In=

∫x

n

e

x

dx = x

n

e

x

- nI

n - 1

.

21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz: Niech f-cja f: <a,

∞)→R jest R-całkow. na każdym przedziale <a;b>⊂<a,+∞), tedy rodzine całek I

f

(a,

∞)=

a

∫

b

f(x)dx b

∈(a,∞), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach <a,∞> i oznaczamy

a

∫

∞

f(x)dx

Def.1b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł.

a

∫

∞

f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b

→+∞)

a

∫

b

f(x)dx

Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: Niech Rodzinę całek (

a

∫

α

f(x)dx) a<

α<b, lim(x→b

-

)f(x)=

±∞, nazyw. całk. niewł f-cji nieogr. f w przedz. <a,b>

Def.2b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł.

a

∫

b

f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(

α→b

-

)

a

∫

α

f(x)dx

Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł.: 1. Keż. f,g: <a,

∞)→R są R-całkow. na każdym przedz. <a,β>⊂<a,∞) oraz (a≤A) (x>A)f(x)≤g(x) to a) ze zbież. całk.

a

∫

∞

g(x)dx

wynika zbieżn.

a

∫

∞

f(x)dx b) odwrotnie: ze zb.

a

∫

∞

f(x)dx

⇒

a

∫

∞

g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest

a

∫

∞

|f(x)|dx to mowim. że cał. niewł.

a

∫

∞

f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna, także zbież w

zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest

a

∫

∞

f(x)dx i jednocześnie

a

∫

∞

|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że

a

∫

∞

f(x)dx jest warunkowo zbieżna. 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli

a) f-cja f: <a,

∞)→R jest R-całk. w każd. <a,b>⊂<a,∞) oraz (k>0) (a≤b)|

a

∫

b

f(x)dx|

≤k b) f-cja g: <a,∞)→R jest monotonicznie zbież. do 0 to

a

∫

b

f(x)g(x)dx jest zbież.

Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 1. Jeż. zbież. jest

a

∫

∞

|f(x)|dx to mówimy że całk niewł.

a

∫

∞

f(x)dx jest bezwzgl. zbież. (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż.

a

∫

∞

f(x)dx jest

zbież. i jednocześ.

a

∫

∞

|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk.

a

∫

∞

f(x)dx jest warunkowo zbież.;

22. CAŁKI EULERA
Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (

β-eulera): β(a,b)

0

∫

1

x

a-1

(1-x)

b-1

dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (

Γ-eulera): Γ(a)

0

∫

∞

x

a-1

e

-x

dx, a>0

Własn: 1. całka

β a) β(a,b)=β(a,b) b) β(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]β⋅ (a,b-1) c) β(n,a)= [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ ((a+1) ⋅..⋅(a+n-1))] d) β(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) β(a,1-a)= [-π/sinaπ],

0<a<1 f)

β(1/2,1/2)=π 2. całka Γ a) Γ(a,b)= lim(n→∞) n

a

⋅ [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ (a(a+1)⋅...⋅(a+n-1))] b) Γ(a+1)= aΓ(a) c) Γ(n+1)= n! d) β(a,b)= [Γ(a)Γ(b)]/ [Γ(a+b)] e) Γ(a)Γ(1-a)=

π/sinaπ f) Γ(1/2)=√π;

23. SZEREGI LICZBOWE
Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((a

n

),(s

n

)) Tradycyjnie te parę notujemy

(k=1)

Σ

(n)

a

k

, (s

n

)- ciąg sum częściowych,

Def. (zbieżności szeregu) Szereg

(k=1)

Σ

(

∞)

a

k

jest zbież

⇔ gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer.

(k=1)

Σ

(n)

a

k

jest

rozbież.
Tw. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Jeż.

(k=1)

Σ

(

∞)

a

k

jest zbież. to lin(n

→∞)a

n

=0 Dowód: Szereg

(k=1)

Σ

(

∞)

a

k

jest zbież

⇔ lim(n→∞)s

n

=s

∈R, (s

n

)- spełnia war. (Cauch.)

⇔

(

ε>0) (n

0

∈N) (n>n

0

)

(m

∈N) |s

n+m

-s

n

|<

ε ⇒ |s

n

-s

n-1

|

→0;; |

(k=1)

Σ

(k)

a

k

-

(k=1)

Σ

(n-1)

a

k

|=|a

n

|

Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg

(n=1)

Σ

(

∞)

|a

n

|, Dowód:

(n=1)

Σ

(

∞)

a’

n

- utworzony z wyrazów dodatn.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

::

(n=1)

Σ

(

∞)

a’’

n

- utworzony z wyrazów ujemn.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

;; (s

n

)-ciąg sum

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

;; (s’

n

)-ciąg sum

(n=1)

Σ

(

∞)

a’

n

;; (s’’

n

)-ciąg sum

(n=1)

Σ

(

∞)

a’’

n

;; (s*)- suma

(n=1)

Σ

(

∞)

|a

n

|;; s’

n

≤s* oraz s’’

n

≤s*,

więc (s’

n

) i ( s’’

n

) są rosnące więc sa zbiezne, więc

(n=1)

Σ

(

∞)

a’

n

i

(n=1)

Σ

(

∞)

a’’

n

są zbieżne;; S’-suma

(n=1)

Σ

(

∞)

a’

n

; S’’ suma

(n=1)

Σ

(

∞)

a’’

n

; S-suma

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

;; S

n

=S’

m

-S’’

r

i n=m+r, jeżeli

n

→∞to m,r→∞;; limS

n

= limS’

m

- limS’’

r

=S’-S’’ czyli szereg

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

jest zbieżny i jego sumą jest liczba S’-S’’. ;;

Tw. (szereg zespolony) szer. zesp.

(n=0)

Σ

(

∞)

z

n

jest zbież.

⇔ gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw.

(n=0)

Σ

(

∞)

x

n

i części urojonej

(n=0)

Σ

(

∞)

y

n

24. SZEREGI LICZBOWE II
Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn.) Dane sa szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

;

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

; (a

n,

b

n

≥0, n=1,2,...), Jeżeli (n

0

∈N) (n

0

≤n) a

n

≤b

n

, to: a) jeżeli szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

b

n

jest zbież, to zbież. jest też szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

; b) jeż. szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

jest rozbież. to rozbież jest szr.

(n=1)

Σ

(

∞)

b

n

;

Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego) Dany jest szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

; Oznaczamy

α=lim

n

sup

n

√(|a

n

|). Jeżeli 1)

α<1 to

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

jest zbieżny 2)

α>1 to

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

jest rozbież.

3)

α=1 to przypadek wątpliwy;

Tw. Jeż. szeregi

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

i

(n=1)

Σ

(

∞)

b

n

są zbieżne to zbieżne są tez szeregi:

(n=1)

Σ

(

∞)

(a

n

+b

n

) oraz

(n=1)

Σ

(

∞)

δa

n

i

(n=1)

Σ

(

∞)

(a

n

+b

n

)=

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

+

(n=1)

Σ

(

∞)

b

n

; i

(n=1)

Σ

(

∞)

δa

n

=

δ

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

Tw. (Kryterium ilorazowe d’Alamberte’a) Dany jest szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

wtedy a) jeżeli limsup|a

n+1

/a

n

|<1 to szer. jest zbireż. b) jeż limsup|a

n+1

/a

n

|

≥ dal n≥n

0

to szer. jest rozb.

Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat.) Jeż. dany jest szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,

∞]→R

+

\{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f

monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x

0

≥1 c) f(n)=a

n

, n=1,2,... to: szereg

(n=1)

Σ

(

∞)

a

n

jest zbież. (rozbież)

⇔ gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł.

1

∫

∞

f(x)dx

25. SZEREGI LICZBOWE III
Szereg naprzemienny: szereg

(n=1)

Σ

(

∞)

(-1)

n+1

a

n

, a

n

>0, nazyw. szer. naprzem.

Tw. (Kryterium Leibnitza) Jeż. a

n

monotonicznie dąży do 0, to szer.

(n=1)

Σ

(

∞)

(-1)

n+1

a

n

jest zbież. oraz |R

n

|

≤a

n+1

, n=1,2,...

Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym, przykładowo szereg anharmoniczny

(n=1)

Σ

(

∞)

(-1)

n

/n

**Tw: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
**Tw. Jeżeli wyrazy szeregów

Σ(od n=1 do ∞) a

n

oraz

Σ (od n=1 do ∞) b

n

są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona

nierówność a

n

<=b

n

to z e zbieżności szeregu b

n

wynika zbieżność a

n

i odwrotnie.

26. SZEREGI FUNKCYJNE I
Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (f

n

) n

∈N

0

; f

n

: R

⊃D→R, x→f

n

(x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (s

n

) n

∈N

0

: S

n

:D

→R,

x

→S

n

(x)

(k=0)

Σ

(n)

f

n

(x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((f

n

),(S

n

)) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

(x), x

∈D

Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest zbież. punktowo w D, jeż. szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

(x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)

Def. (Zbieżność jednostajna): szer. f.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest zbież. jednost. do supS

na D jeż. sup(x

∈D) |S

n

(x)- S(x)|

→0 Piszemy wtedy że S

n

S(x) („ ” jednostajnie dąży),

(

ε>0) (n

0

) (n>n

0

) (x

∈D) |S

n

(x)- S(x)|<

ε

Def. (niemal jednost. zbież) Jeż. szereg f-cyjny

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]

⊂D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.

Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

określony na D ma własn: a) (n

0

∈N) (n

0

≤n) (x∈D) |f

n

(x)|

≤a

n

, b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

jest zbież. to: szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.

Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) jeż. (f

n

)n

∈N

0

jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.

Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to:

a

∫

b

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

(x)dx=

(n=0)

Σ

(

∞)

a

∫

b

f

n

(x)dx

Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

mają ciągłe pochodne w (a,b), szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer.

(n=0)

Σ

(

∞)

f ’

n

jest zbież. jednost.

(niemal jednost. zbież) to ma pochodną (

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

(x))’=

(n=0)

Σ

(

∞)

f

n

’(x)

27. SZEREGI FUNKCYJNE II POTEGOWE
(*)(*)

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

(x-x

0

)

n

; (*)

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

x

n

, a

n

- współczynnik szer. potęgowego.

Promień zbieżn szer. potęgow. R R sup{r

≥0

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

r

n

} jest zbieżny, |x|<r

Tw (Cauchy’ego- Hadamarda) Jeżeli limsup(

n

√|a

n

|) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy

λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R

+

\{0}}

Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n

→∞)|a

n+1

/a

n

|=

λ to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy λ=+∞, 1/λ gdy 0<λ<+∞, ∞ gdy λ=0}.

Tw. Jeżeli szereg

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

x

n

ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale

[-a,a]

⊂(-R;R)).

Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Dla dowoln x

∈(-R,R)

0

∫

x

(

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

t

n

)dt=

(n=0)

Σ

(

∞)

(a

n

/n+1)x

n+1

; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.

Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Jeż. x

∈(-R,R) to (

(n=0)

Σ

(

∞)

x

n

)’=

(n=1)

Σ

(

∞)

x

n-1

; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.

Szer. potęgow. zesp: (*)(*)

(n=0)

Σ

(

∞)

z

n

(z-z

0

)

n

; (*)

(n=0)

Σ

(

∞)

a

n

z

n

, Jeż.

λ=lim

n

sup

n

√|a

n

|, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|

≤a, a<z, gdzie R= {0 gdy

λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R}