M A T U R Y
KATOWICE
n
BIELSKO-BIAŁA
KAL, BBL
8
GAZETA WYBORCZA KATOWICE
n
BIELSKO-BIAŁA
Czwartek 13 maja 2004
www.gazeta.pl/katowice
EGZAMIN DOJRZAŁOŚCI z matematyki
Maturzysto, sprawdź, jak napisałeś
Zadanie 1. (1a, 1b – 10 pkt., 1c – 2 pkt.)
Dana jest funkcja f(x) = x
2
– 2mx + 2m
2
– m – 2.
a) Dla m = 1 podaj postać kanoniczną funkcji f. Wykres funkcji f prze-
kształcono symetrycznie względem początku układu współrzędnych
otrzymując wykres funkcji g. Podaj zbiór wartości funkcji g oraz wy-
znacz największą i najmniejszą jej wartość
w przedziale
b) Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=0 ma różne
pierwiastki x
1
,x
2
spełniające warunek (x
1
–1)
2
+ (x
2
–1)
2
4?
c) Wyznacz wszystkie liczby całkowite m, dla których f(m) jest
kwadratem liczby całkowitej.
Zadanie 2. (10 pkt.)
Punkty A = (1,2) i C = (3,4) są przeciwległymi wierzchołkami rombu
ABCD. Wierzchołek B rombu należy do prostej o równaniu x – 3y –
1 = 0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu. Oblicz
pole rombu ABCD oraz długość promienia okręgu opisanego na
trójkącie ABC.
Zadanie 3. (10 pkt.)
Ciąg (a
n
) określony jest wzorem a
n
=n
2
+ n. Zbadaj na podstawie
definicji monotoniczność ciągu (a
n
).
a) Wyrazy drugi i trzeci ciągu (a
n
) są odpowiednio równe trzeciemu
i drugiemu wyrazowi ciągu geometrycznego (b
n
).
Który wyraz ciągu (b
n
) jest równy liczbie
?
b) Wyrazy czwarty i piąty ciągu (a
n
) są odpowiednio równe
trzynastemu i osiemnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego (c
n
).
Wyznacz wszystkie wyrazu ciągu (c
n
) , które spełniają warunek
Zadanie 4. (10 pkt.)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma
długość 10, a kosinus kąta między sąsiednimi ścianami
bocznymi tego ostrosłupa jest równy
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od jego ściany
bocznej.
Zadanie 5. (10 pkt.)
Ze zbioru {-2, -1, 0, 1, 2} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie
liczby x i y. Niech A, B, C będą następującymi zdarzeniami:
A – iloczyn wylosowanych liczb nie jest liczbą ujemną,
B – liczby x i y spełniają warunek
C – punkt o współrzędnych (x,y) należy do trójkąta o wierzchołkach
K = (0, –4), L = (2, 2), M = (–2,2). Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzeń: A, B, C A’
B
ODPOWIEDZI
ZADANIE 1.
f(x) = x
2
– 2mx + 2m
2
– m – 2
a) dla m = 1; f(x) = x
2
– 2 x – 1 postać kanoniczna: f(x) = (x-1)
2
– 2
W – wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g, W = (– 1,2).
zatem funkcja g przyjmuje w danym przedziale wartość największą
2 dla x = –1
więc wartością najmniejszą funkcji g w podanym przedziale jest
b) x
2
– 2mx + 2m
2
– m – 2 = 0
(1)
(2)
(1)
(2)
c) f(m) = m
2
– m – 2
m
2
– m – 2 = a
2
; gdzie m,
dla każdego
2
9
4
1
2
2
+
+
=
a
m
,
2
9
4
1
2
1
+
−
=
a
m
C
a
∈
0
9
4
0
2
2
2
2
>
∆
+
=
∆
=
−
−
−
a
a
m
m
C
a
∈
)
2
,
1
1
)
2
,
1
(
1
2
2
2
2
)
(
2
2
)
(
4
)
1
(
)
1
(
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
〈
∈
⇔
≥
∧
−
∈
≥
−
−
=
⋅
=
+
≤
+
−
−
+
≤
−
+
−
m
m
m
m
m
m
x
x
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
;
1
(
0
8
4
4
2
−
∈
〉
+
+
−
m
m
m
≤
−
+
−
〉
∆
4
)
1
(
)
1
(
0
2
2
2
1
x
x
3
2
2
−
−
)
3
(
)
2
2
(
3
2
2
)
3
(
7
2
4
)
2
2
(–
g
g
g
g
〉
−
−
−
=
−
=
3
;
2
2
1
−
∈
−
1
+
≤
y
x
16
9
–
36
–
2
3
2
2
<
+
n
n
c
c
1
3
2
2
a
a
a
+
≤
3
,
2
2
−
U
