M A T U R Y

KATOWICE

n

BIELSKO-BIAŁA

KAL, BBL

8

GAZETA WYBORCZA KATOWICE

n

BIELSKO-BIAŁA

Czwartek 13 maja 2004

www.gazeta.pl/katowice

EGZAMIN DOJRZAŁOŚCI z matematyki

Maturzysto, sprawdź, jak napisałeś

Zadanie 1. (1a, 1b – 10 pkt., 1c – 2 pkt.)

Dana jest funkcja f(x) = x

2

– 2mx + 2m

2

– m – 2.

a) Dla m = 1 podaj postać kanoniczną funkcji f. Wykres funkcji f prze-
kształcono symetrycznie względem początku układu współrzędnych
otrzymując wykres funkcji g. Podaj zbiór wartości funkcji g oraz wy-
znacz największą i najmniejszą jej wartość

w przedziale

b) Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=0 ma różne
pierwiastki x

1

,x

2

spełniające warunek (x

1

–1)

2

+ (x

2

–1)

2

4?

c) Wyznacz wszystkie liczby całkowite m, dla których f(m) jest
kwadratem liczby całkowitej.

Zadanie 2. (10 pkt.)
Punkty A = (1,2) i C = (3,4) są przeciwległymi wierzchołkami rombu
ABCD. Wierzchołek B rombu należy do prostej o równaniu x – 3y –
1 = 0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu. Oblicz
pole rombu ABCD oraz długość promienia okręgu opisanego na
trójkącie ABC.

Zadanie 3. (10 pkt.)
Ciąg (a

n

) określony jest wzorem a

n

=n

2

+ n. Zbadaj na podstawie

definicji monotoniczność ciągu (a

n

).

a) Wyrazy drugi i trzeci ciągu (a

n

) są odpowiednio równe trzeciemu

i drugiemu wyrazowi ciągu geometrycznego (b

n

).

Który wyraz ciągu (b

n

) jest równy liczbie

?

b) Wyrazy czwarty i piąty ciągu (a

n

) są odpowiednio równe

trzynastemu i osiemnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego (c

n

).

Wyznacz wszystkie wyrazu ciągu (c

n

) , które spełniają warunek

Zadanie 4. (10 pkt.)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma

długość 10, a kosinus kąta między sąsiednimi ścianami

bocznymi tego ostrosłupa jest równy

a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od jego ściany
bocznej.
Zadanie 5. (10 pkt.)
Ze zbioru {-2, -1, 0, 1, 2} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie
liczby x i y. Niech A, B, C będą następującymi zdarzeniami:
A – iloczyn wylosowanych liczb nie jest liczbą ujemną,

B – liczby x i y spełniają warunek

C – punkt o współrzędnych (x,y) należy do trójkąta o wierzchołkach
K = (0, –4), L = (2, 2), M = (–2,2). Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzeń: A, B, C A’

B

ODPOWIEDZI

ZADANIE 1.
f(x) = x

2

– 2mx + 2m

2

– m – 2

a) dla m = 1; f(x) = x

2

– 2 x – 1 postać kanoniczna: f(x) = (x-1)

2

– 2

W – wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g, W = (– 1,2).

zatem funkcja g przyjmuje w danym przedziale wartość największą
2 dla x = –1

więc wartością najmniejszą funkcji g w podanym przedziale jest

b) x

2

– 2mx + 2m

2

– m – 2 = 0

(1)

(2)

(1)

(2)

c) f(m) = m

2

– m – 2

m

2

– m – 2 = a

2

; gdzie m,

dla każdego

2

9

4

1

2

2

+

+

=

a

m

,

2

9

4

1

2

1

+

−

=

a

m

C

a

∈

0

9

4

0

2

2

2

2

>

∆

+

=

∆

=

−

−

−

a

a

m

m

C

a

∈

)

2

,

1

1

)

2

,

1

(

1

2

2

2

2

)

(

2

2

)

(

4

)

1

(

)

1

(

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

〈

∈

⇔

≥

∧

−

∈

≥

−

−

=

⋅

=

+

≤

+

−

−

+

≤

−

+

−

m

m

m

m

m

m

x

x

m

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

)

2

;

1

(

0

8

4

4

2

−

∈

〉

+

+

−

m

m

m







≤

−

+

−

〉

∆

4

)

1

(

)

1

(

0

2

2

2

1

x

x

3

2

2

−

−

)

3

(

)

2

2

(

3

2

2

)

3

(

7

2

4

)

2

2

(–

g

g

g

g

〉

−

−

−

=

−

=

3

;

2

2

1

−

∈

−

1

+

≤

y

x

16

9

–

36

–

2

3

2

2

<

+

n

n

c

c

1

3

2

2

a

a

a

+

≤

3

,

2

2

−

U

M A T U R Y

KATOWICE

n

BIELSKO-BIAŁA

KAL, BBL

www.gazeta.pl/katowice

Czwartek 13 maja 2004

GAZETA WYBORCZA KATOWICE

n

BIELSKO-BIAŁA

7

Jeżeli

to istnieje

takie, że 4a

2

+9=c

2

4a

2

– c

2

= – 9

(2a–c)(2a+c)=–9
Ponieważ a i c są liczbami całkowitymi, to (2a–c) i (2a+c) też są
całkowite.

lub

lub

lub

lub

lub

Po rozwiązaniu układów równań otrzymujemy, że dla

spełnione są warunki zadania.

ZADANIE 2.

A(1,2) C (3,4) romb ABCD

S – środek

x = 4
y = 1

B = (4,1)

D=(0,5)
Pole rombu ABCD

R – promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

ZADANIE 3.

badamy znak różnicy

zatem (an) jest ciągiem rosnącym

a) (bn) – ciąg geometryczny

b) (cn) – ciąg arytmetyczny

ZADANIE 4.

a)

,

z tw. cosinusów dla

a>0, b>0

Z tw. Pitagorasa dla

b)

ZADANIE 5.
{– 2, – 1, 0, 1, 2}

Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, więc
korzystamy z definicji klasycznej prawdopodobieństwa.

K = (0,-4), L = (2,2), M = (–2,2)
pr ML : y = 2
pr KL : y= 3x – 4
pr KM : y = –3x – 4

B

ARBARA

C

ZUCZEŁO

, B

OŻENA

S

PYRA

,

D

ANUTA

S

ZCZEREK

III LO

W

K

ATOWICACH

(

)(

)( )(

)

{

}

25

4

))

'

(

(

4

'

2

,

1

;

1

,

1

;

2

,

2

;

1

,

2

'

5

3

25

15

)

(

15

=

∩

=

∩

−

−

−

−

=

∩

=

=

=

B

A

P

B

A

B

A

C

P

C

( )

{

}

{

}

4

3

4

3

2

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

:

,

−

−

≥

∧

−

≥

∧

≤

∧

−

−

∈

=

x

y

x

y

y

y

x

y

x

C

( )

{

}

{

}

( )

{

}

{

}

25

19

)

(

19

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

1

:

,

25

17

)

(

17

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

0

;

,

=

=

−

−

∈

∧

+

≤

=

=

=

−

−

∈

∧

≥

⋅

=

B

P

B

y

x

y

x

y

x

B

A

P

A

y

x

y

x

y

x

A

( )

}

{

{

}

25

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

:

,

=

Ω

−

−

∈

=

Ω

y

x

y

x

4

7

3

2

7

2

6

8

~

3

2

1

=

=

∆

∆

x

x

S

SS

SOS

[ ]

[ ]

2

3

336

3

7

288

7

2

28

j

P

j

V

H

c

=

=

=

=

SOC

∆

a = 12
h = 8



















−

=

=

=

4

2

1

2

1

4

5

2

2

a

c

h

cb

ah

b

a

b

a

b

a

4

5

16

9

1

2

2

=











 +

=

BED

∆

b

p

c

P

P

P

+

=

H

P

V

p

⋅

=

3

1

( ) ( )

{ }

{ }

0

;

2

;

4

3

,

2

,

1

0

\

0

)

4

(

0

48

12

2

6

4

36

6

2

4

2

5

30

20

3

2

1

2

3

2

2

3

2

2

1

13

18

5

18

4

13

=

−

=

−

=

∈

∈

∧

<

−

<

−

=

−

=

<

−

−

=

−

=

=

=

−

=

=

=

=

+

+

c

c

c

n

N

n

n

n

n

n

n

c

n

c

c

c

n

c

c

r

r

c

c

a

c

a

c

n

n

n

n

n

7

8

3

2

1

24

8

3

2

2

1

24

24

2

1

12

6

1

1

3

2

1

1

2

3

3

2

2

3

=

=













⋅

=

+













⋅

=

=

=

=

=

=

=

=

−

−

n

a

a

a

b

b

b

b

q

a

b

a

b

n

n

n

2

2

1

+

=

−

+

n

a

a

n

n

n

n

a

a

−

+

1

2

3

2

1

2

+

+

=

+

=

+

n

n

a

n

n

a

n

n

4

2

5

4

2

1

4

=

=

=

⋅

⋅

=

∆

∆

R

P

P

P

C

B

C

A

B

A

R

ABCD

ABC

ABC

[ ]

2

8

2

4

2

2

2

j

P

D

B

C

A

D

B

C

A

P

ABCD

ABCD

=

=

=

⋅

=

[ ]

1

,

3

),

(

−

=

=

→

→

BA

C

T

D

BA

AC

)

3

1

3

1

;

(

0

1

3

:

−

=

⇒

=

−

−

∈

x

x

B

y

x

l

B

{

}

3

,

2

,

1

,

2

−

−

∈

m







=

+

−

=

−

1

c

a

2

9

c

a

2







−

=

+

=

−

1

2

9

2

c

a

c

a







=

+

−

=

−

3

2

3

2

c

a

c

a







−

=

+

=

−

3

2

3

2

c

a

c

a







−

=

+

=

−

9

2

1

2

c

a

c

a







=

+

−

=

−

9

2

1

2

c

a

c

a

C

c

∈

C

m

m

∈

2

1

,

16

9

cos

10

−

=

α

=

c