M A T U R A
STOŁECZNA
1 WAW
GAZETA WYBORCZA STOŁECZNA
Czwartek 8 maja 2003
www.gazeta.pl/warszawa
8
Rozwiązania
Zadanie 1.
Żądamy, aby mianownik naszej funkcji był róż-
ny od zera,
(m + 2) x
4
+ 6 (m + 2) x
2
+ m
2
≠ 0
Jest to równanie dwukwadratowe dla każdego
m
≠ –2.
Równanie to nie ma pierwiastków, gdy równanie
kwadratowe (dokonujemy podstawienia x
2
=t) nie
ma pierwiastków lub ma pierwiastki ujemne.
Po podstawieniu równanie przyjmuje postać:
(m + 2) t
2
+ 6 (m + 2) t+ m
2
≠ 0
∆ = [6(m + 2)]
2
– 4m
2
(m + 2) =
= –4 (m + 2) (m
2
– 9 m – 18)
Szukamy pierwiastków wyrażenia w drugim na-
wiasie.
I.
∆ < 0
m
∈(–2; m
1
)
∪ (m
2
; +
∞)
II.
∆ ≥ 0
t
1
. t
2
> 0
Korzystamy ze wzorów Viete’a
= m>–2 i m
≠ 0
t
1
+ t
2
< 0
Korzystamy ze wzorów Viete’a
Część wspólna II
Dla m = –2 równanie ma postać
4 = 0
zatem dla m = –2 nie ma rozwiązania
Odp. Warunki zadania spełnione są dla
Zadanie 2.
Zbiór A
Zbiór B
A
∩ B (część wspólna zbiorów)
Zadanie 3.
Przyjmijmy oznaczenia boków prostokąta: 2x i 2y.
Na pole figury składa się pole prostokąta i pola
dwóch kół
4x + 4y = 4p
⇒ x + y = p ⇒ y = p – x; x ∈(0; p)
Przedstawmy pole figury jako funkcję zmiennej x
P(x) =
Πx
2
+
Π (p – x)
2
+ 4x (p – x) =
= (2
Π – 4)x
2
+ (4p – 2
Πp) x + Πp
2
Jest to funkcja kwadratowa, a jej dziedzina to
Dp = (0; p). Ponieważ 2
Π – 4 > 0, to funkcja kwa-
dratowa przyjmuje wartość najmniejszą (w wierz-
chołku) dla
Zatem prostokąt jest kwadratem o boku „p”
Zadanie 4.
|
AC
|
= a
∆ AOS ≡ ∆ BOS
‡ SAO = ‡ SBO = α
‡ AOS = ‡ BOS = 90°
Odcinek SO jest wspólnym bokiem
∆ AOS i
∆ BOS.
Analogicznie wykazujemy, że
∆ BOS ≡ ∆ COS
czyli również
∆ AOS ≡ ∆ COS.
Z przystawania wynika, że
|
AO
|
=
|
BO
|
=
|
CO
|,
czyli O jest środkiem okręgu opisanego na pod-
stawie, a zatem w przypadku trójkąta prostokątne-
go leży w połowie przeciwprostokątnej
|
AO
|
=
|
BO
|
=
|
CO
| =
Również z przystawania wynika, że
|
AS
|
=
|
BS
|
=
|
CS
|.
Pole ściany bocznej ACS.
z twierdzenia Pitagorasa
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa
Zadanie 5.
a) Podany zbiór posiada 2n + 5 elementów, w tym
jest n + 2 liczb parzystych i n + 3 nieparzystych.
A – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech
liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą.
A
′ – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech
liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
b) Moc
Ω nie ulega zmianie
B – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech
liczb, których suma jest liczbą parzystą.
Suma trzech liczb jest parzysta, jeśli wylosujemy
trzy liczby parzyste lub jedną parzystą i dwie nie-
parzyste.
Zadanie 5*.
W tym zadaniu korzystamy z zadania 5a
A
n
– zdarzenie opisane tak jak zdarzenie B w
zadaniu 5a
B
n
– zdarzenie opisane tak jak zdarzenie A w za-
daniu 5a
P
RZYKŁADOWE ODPOWIEDZI OPRACOWAŁY
B
EATA
K
OWALCZYK
-K
OZŁOWSKA I
A
NNA
M
AKOWSKA
,
NAUCZYCIELKI MATEMATYKI Z
LIV P
RYWATNEGO
LO S
IÓSTR
N
AZARETANEK
,
EGZAMINATORKI
OKE
W
W
ARSZAWIE
7
4
)
27
28
7
(
)
3
2
(
)
5
2
(
)
3
2
(
)
5
2
(
2
)
9
8
2
(
lim
)
/
(
lim
)
3
2
(
)
5
2
(
9
8
2
)
(
)
(
)
3
2
(
)
5
2
(
2
27
28
7
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
2
2
2
2
=
=
+
+
×
+
+
+
+
×
+
+
=
=
+
+
+
+
=
=
Ç
+
+
+
+
=
=
Ç
=
®µ
®µ
n
n
n
n
n
n
n
n
B
A
P
n
n
n
n
B
P
B
A
P
n
n
n
n
A
P
B
P
B
P
B
A
P
B
A
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
6
)
3
2
(
)
4
2
(
)
5
2
(
3
5
2
+
+
+
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=
W
n
n
n
n
)
3
2
(
)
5
2
(
9
8
2
)
3
2
(
)
4
2
(
)
5
2
(
)
18
16
4
(
)
2
(
)
(
;
2
)
3
(
)
2
(
6
)
2
(
)
1
(
2
3
1
2
3
2
2
2
2
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
=
÷÷ø
ö
ççè
æ +
÷÷ø
ö
ççè
æ +
+
÷÷ø
ö
ççè
æ +
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
B
P
n
n
n
n
n
n
n
n
B
)
3
2
(
)
5
2
(
2
27
28
7
)
3
2
(
)
5
2
(
2
)
1
(
)
3
(
1
6
)
3
2
(
)
2
(
2
)
5
2
(
6
)
1
(
)
2
(
)
3
(
1
)
(
)
(
1
)
(
2
+
+
+
+
=
+
+
+
+
-
=
=
+
+
+
×
+
+
+
-
=
¢
-
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
P
A
P
A
P
6
)
1
(
)
2
(
)
3
(
!
3
!
!
)
3
(
3
3
+
+
+
=
×
+
=
÷÷
ø
ö
ççè
æ +
=
¢
n
n
n
n
n
n
A
6
)
3
2
(
)
4
2
(
)
5
2
(
+
+
+
=
ø
è
n
n
n
=
-
+
+
=
÷÷ø
ö
ççè
æ
+
=
W
=
!
3
)!
3
5
2
(
)!
5
2
(
3
5
2
n
n
n
)
sin
cos
4
2
(
cos
4
2
2
a
a
a
+
-
=
a
=
+
-
×
a
a
a
tg
a
a
4
cos
8
cos
4
2
2
2
2
2
a
a
cos
8
cos
4
2
2
2
-
=
a
=
-
×
=
D
a
a
cos
2
cos
2
1
2
2
2
1
2
a
a
P
a
a
a
cos
2
cos
2
1
4
2
cos
4
2
2
2
2
-
=
-
=
a
a
a
SF
a
a
a
tg
4
2
1
tg
2
tg
2
2
a
SO
a
P
a
SO
a
SO
ACS
=
=
=
Þ
=
D
2
a
p
p
p
x
a
b
x
D
Î
=
-
P
-
P
=
-
=
2
)
4
2
(
2
)
4
2
(
czyli
2
{ }
0
)
2
-
µ
+
á-
Î
m
{ }
0
2
17
3
9
;
2
17
3
9
-
+
-
Î
m
{ }
2
0
)
2
(
)
2
(
6
2
1
-
-
Î
Þ
Þ
<
+
+
-
Þ
-
=
+
R
m
m
m
a
b
t
t
0
2
2
2
1
Þ
>
+
Þ
=
×
m
m
a
c
t
t
2
17
3
9
;
2
17
3
9
2
;
(
+
-
È
ñ
-
µ
-
Î
m
2
17
3
9
2
2
17
3
9
2
;
153
72
81
2
1
+
=
D
+
-
=
È
È
-
=
D
-
-
=
=
+
=
D
a
b
m
a
b
m
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
<
+
>
×
³
D
¹
+
0
0
0
0
2
2
2
1
1
t
t
t
t
m
î
í
ì
<
D
¹
+
0
0
2
m
Pytania
Zadanie 1.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla któ-
rych dziedziną funkcji
jest zbiór liczb rzeczywistych.
Zadanie 2.
Zaznacz na płaszczyźnie zbiory A, B oraz A
∩ B,
gdy:
A={(x, y):x
∈R∧y ∈R∧ y ≥
x
2
–2x
+1},
B={(x, y):x
∈R∧y ∈R∧ y ≤ 2+
x – 1
}.
Zadanie 3.
Dany jest prostokąt o obwodzie 4p. Każdy bok pro-
stokąta jest średnicą półokręgu leżącego na zewnątrz
tego prostokąta. Wyznacz długości boków prostoką-
ta tak, aby pole figury ograniczonej krzywą złożoną
z tych czterech półokręgów było najmniejsze.
Zadanie 4,
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny
prostokątny, którego przeciwprostokątna ma dłu-
gość
α. Wszystkie krawędzie boczne są nachylone
do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod katem
α.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zadanie 5a.
Ze zbioru liczb {1,2,3,...,2n+5} losujemy trzy ra-
zy po jednej liczbie bez zwracania.
a) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech
liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą,
b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech
liczb, których suma jest liczbą parzystą.
Zadanie 5b.
Ze zbioru liczb {1,2,3,...,2n + 5} losujemy trzy ra-
zy po jednej liczbie bez zwracania. Przyjmijmy, że
A
n
oznacza zdarzenie: otrzymamy trzy liczby, któ-
rych suma jest liczbą parzystą, zaś B
n
oznacza zda-
rzenie: otrzymamy trzy liczby, których iloczyn jest
liczbą parzystą.
Oblicz
)
/
(
lim
n
n
n
B
A
P
®µ
2
2
4
2
)
2
(
6
)
2
(
5
4
3
)
(
m
x
m
x
m
x
x
x
f
+
×
+
×
+
×
+
+
-
=
Tematy maturalne
Ú HISTORIA
1. Polska i jej sąsiedzi w XIV i XV stuleciu
– Czechy, Węgry, Litwa i zakon krzyżacki.
Scharakteryzuj stosunki polityczne z tymi są-
siadami.
2. Scharakteryzuj przeobrażenia cywilizacyjne
w Europie w XIX stuleciu.
3. Z dziejów Polski Ludowej. Zadanie polega-
jące na analizie tekstów źródłowych i napisaniu
krótkiego wypracowania. Temat wypracowania.
Scharakteryzuj jeden z trzech wymienionych
okresów w dziejach Polski Ludowej:
a) lata 1948–1956
b) lata 1956–1970
c) lata 1970–1980
Ú BIOLOGIA
1. W jaki sposób zależności pomiędzy gatun-
kami w przyrodzie sprzyjają ich ewolucji.
2. Organizacja materiału genetycznego i jego
ekspresja – u prokariota i eukariota.
3. Zestaw zadań. Budowa, czynności i współ-
działanie narządów organizmu człowieka.
Ú GEOGRAFIA
1. Planeta Ziemia. Konsekwencje kształtu i ru-
chów Ziemi.
2. Dzieje Ziemi. Dzieje geologiczne Polski.
3. Wody śródlądowe Polski, ich zasoby i wyko-
rzystanie gospodarcze.
4. Procesy industrializacji na świecie i w Polsce.
5. Handel zagraniczny.
KOZ
a
cos
2
a
2
2
a
ZADANIA I ROZWIĄZANIA Z MATEMATYKI – PROFIL OGÓLNY
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka-gazeta wyborcza-matura-maj 2003, mazowsze
Matematyka Gazeta Wyborcza Matura Maj 2004 Śląsk
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1
Matematyka Gazeta Wyborcza Zadania
Gazeta Wyborcza Matura j angielski 2006 07 Przykdowy test dla poziomu podstawowego (2)
Matematyka Gazeta Wyborcza Zadania
Gazeta Wyborcza Matura j angielski
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 2
Matematyka Matura Maj 2005 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2005 Arkusz 2
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom podstawowy(1)
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony
więcej podobnych podstron