Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

Fizyka I , Wydz. MEiL

Cezariusz J astrzebski

[e-mail]

www.if.pw.edu.pl/~cez_j/

Opis przedmiotu

1. Fizyka klasyczna i kwantowa. Fale materii. Równanie Schrodingera. Funkcja falowa. Pomiar. Zasada nieokreśloności. 2.
Cząstka poruszająca się w nieskończonej przestrzeni.. Kwantowa studnia potencjału. Laser półprzewodnikowy. 3. Wielkości
fizyczne. Operatory. Funkcje własne. Wartości własne. 4. Oscylator harmoniczny. Oscylacje. Energia rotacji. 5. Atom wodoru.
Orbitalny moment pędu. Spin. 6. Rozszczepienie spin-orbita. Atom w polu elektrycznym i magnetycznym (stałym i zmiennym).
Rezonans ESR i NMR. 7. Bozony i fermiony. Statystyki kwantowe. 8. Cząsteczka wodoru. Wiązanie chemiczne. 9. Elementy
Fizyki Ciała Stałego. Struktura krystaliczna. Fonony. Elektrony w strukturze krystalicznmej. 10. Półprzewodniki.
11. Nanostruktury. 12. Struktury nanowymiarowe.

Literatura
1. Davydov, Quantum Mechanics.

2. Schiff. Quantum Mechanics.

3. Landau and Lifschitz, Quantum Mechanics.

Egzamin
Część pisemna – ok 1godz.

Uzupełniająca część ustna, ok 5 min

Warsaw University of Technology

Faculty of Physics

Physics II, Quantum Mechanics with Elements of Physical Chemistry

The course will be given in English.

Cezariusz J astrzebski

[e-mail]

Course Description:

(

Three hours of lecture per week - 45 hours.)

A general objective of this course is to present some overview of quantum mechanics. It will start by introducing the origins of quantum
theory followed by an introduction of the basic postulates and principles. We will then get familiar with the general formalism and
examine the consequences of a quantum description of the physical world through these postulates. We will look further into atomic
structure and spectroscopy but soon move into molecular systems. Work will continue to include larger molecules and an introduction
to the electronic structure of the solid state will conclude the course. Today, the development of electronic and photonic devices is based
on structures having dimension comparable with the scale of many quantum phenomena. Topics include the background solid state and
semiconductor physics, and basic principles of electronic devices operation. In advanced systems (such as nanostructures, quantum
wells, wires or dots) we cannot ignore anymore the effects that arise from the small dimensions which are characteristics of novel
devices; rather, we need to learn them in order to be able to exploit them in new and useful devices.

Textbooks
1. Davydov, Quantum Mechanics.

2. Schiff. Quantum Mechanics.

3. Landau and Lifschitz, Quantum Mechanics.

Exams
The final exam will consist of two parts: a written 1 hour exam and then

a short (10 minute) comprehensive oral exam.

Course Syllabus.

1. The origins of quantum theory. Experimental basis of quantum physics.

Photoelectric effect. Photons. Wave-particle duality. Bohr atom.

2. Classical wave equation. Traveling and standing waves. Wave packets.

Postulates of quantum physics. Wave function. Uncertainty relation. Time-
dependent Schrödinger equation.

3. Particle in an infinite square well. A step potential. Probability current. STM.
4. Operators, eigenvalue equations, eigenvalues and eigenstates. Commutation

relations.

5. Harmonic oscillator. Rigid rotor. Rotation of diatomic molecules. Angular

momentum.

6. The Hydrogen atom.
7. Many electron atoms. Spin.
8. Spin ½ particle in static and rotating magnetic fields, magnetic resonance.

Paramagnetism, diamagnetism, Zeeman effect.

9. Atoms in external electric field. Interaction of atoms with electromagnetic field.

Photon emission and absorption.

10. Quantum theory of scattering by a potential.
11. Molecules. The chemical bond. H

2

molecule. Excited electronic states. Ionic

bonds. Hybridisation.

12. Molecular spectroscopy. Selection rules. Vibrations. Rotations.Franck-Condon

principle.

13. Fermions, bosons, symetric and antisymmetric wavefunctions. Fermi-Dirac and

Bose-Einstein statistics.

14. Crystal Structure-Reciprocal Lattice

. Energy bands. Electrons and holes in

semiconductors. Effective mass. Fermi level. Intrinsic and extrinsic materials.
Basic Semiconductor Device Operation.

15. Small dimension effects.Nanotechnology, carbon nanotubes, semiconductor

quantum dots. Optoelectronic devices

- semiconductor lasers, light emitting diodes, , single

electron transistors. Nanomagnetics.

Fizyka klasyczna i kwantowa. Krótka historia fizyki.

Pod koniec XIX wieku fizycy byli bardzo dumni z
rozwoju teorii fizycznych i nic nie wskazywało na

przełomowe odkrycia które nastąpiły.

Tylko nieliczne zjawiska nie dały się wytłumaczyć

w oparciu o teorie fizyki klasycznej. Wśród tych

zjawisk było promieniowanie ciała doskonale

czarnego.

Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Ciało doskonale czarne to takie ciało, które idealnie pochłania i idealnie

emituje promieniowanie elektromagnetyczne. Jednym z czesto

stosowanych modeli teoretycznych ciała doskonale czarnego jest
niewielki otwór w pudle wypełnionym promieniowaniem elektro-

magnetycznym będącym w równowadze termodynamicznej w

temperaturze T.
Problem – Jaka część całkowitej energii promieniowania z jednostki

powierzchni w jednostce czasu dla ciała doskonale czarnego o
temperaturze T przypada na promieniowanie w przedziale czestosci

ν

;

ν

+ d

ν

?

Znane było prawo Stefana (1879) – Boltzmana (1884)

Mówiące o zależności całkowitego natężenia promieniowania od

temperatury

dE= ,T d 

dE= ,T d 

Oraz prawo Wiena (1894) (tzw. prawo przesunięć)
Mówiące o długości fali, dla której emitowana jest maksymalna energia

dla danej temperatury.

– długosc fali na którą przypada największe energia promieniowania

Kształt funkcji rozkładu spektralnego promieniowania

Dla ciała doskonale czarnego próbowano odgadnąć.
Kształt funkcji rozkładu – wg Wiena

Oraz wg Rayleigh’a (1900) i Jeans’a (1905)

Wzór ten został wyprowadzony w oparciu o elektrodynamikę klasyczną przy następujących

założeniach
– rozwazamy promieniowanie elektromagnetyczne zamkniete w prostokatnym pudle z idealnie

odbijajacymi sciankami;

– zakładamy równy rozkład energii (ekwipartycja) pomiedzy wszystkie fale stojace, porcja kT na

kazda fale;
– wyliczamy natezenie promieniowania emitowane przez mała dziurke w scianie pudła.

Ostatecznie w grudniu 1900 Planck wyprowadza wzór, który zgadza się z wynikami eksperymentalnymi

Zakładając, ze promieniowanie moze byc emitowane i pochłaniane tylko małymi porcjami
energii

stała Plancka

Efekt fotoelektryczny – energia fotonu

efekt fotoelektryczny polega na emisji elektronów z powierzchni ciała stałego (metalu) pod

wpływem padajacego swiatła.

wyniki eksperymentu
–

Istnieje tzw. Czestość progowa na emisję elektronów.

Dla wiekszosci metali czestosc progowa odpowiada długosci fali

 = 200 ¡ 300nm

(ultrafiolet), jednak dla tlenków cezu i potasu miesci sie w spektrum
widzialnym

 = 400 ¡ 700nm.

– Gdy czestosc jest wieksza od czestosci progowej niektóre z emitowanych

elektronów maja duza predkosc. Mozemy wyliczyc maksymalna energie kinetyczna

emitowanych elektronów.

– Natezenie pradu w obwodzie jest wprost proporcjonalne do natezenia swiatła.
– Potencjał hamujacy jest wprost proporcjonalny do czestosci swiatła.

Trudności z wyjaśnieniem zjawiska na gruncie fizyki klasycznej

Podstawowy mechanizm zjawiska jest jasny – żeby mogło dojść do emisji elektron

musi otrzymać dostatecznie dużo energii, żeby pokonać siły przyciągania

dodatnich jonów siatki krystalicznej. Minimalna ilość energii potrzebna do emisji
nosi nazwę pracy wyjścia. Problem polega na tym, że klasyczny opis przekazu

energii napotyka poważne trudności.

– Gdy natężenie światła wzrasta, wzrasta ilość energii dostarczana na jednostkę
powierzchni, a więc elektrony powinny mieć szansę na zgromadzenie

większej energii i podwyższenie potencjału hamującego, ale potencjał ten

nie zależy od natężenia !!

– Elektron powinien być w stanie otrzymać wymaganą ilość energii od promieniowania
o dowolnej częstości, brak więc klasycznego wytłumaczenia dla

częstości progowej.

– Jeden z możliwych mechanizmów pochłaniania energii przez elektron uwięziony

w metalu mógłby zakładać istnienie pewnej częstości drgań własnych
takiego elektronu. Padająca fala o takiej częstości powodowałaby wzrost

amplitudy drgań elektronu, aż do wartości wystarczającej do zerwania więzów.

Gdyby jednak taki mechanizm miał miejsce to moglibyśmy oczekiwać,
że przy słabych natężeniach elektron potrzebuje trochę czasu, żeby zgromadzić

wystarczająca ilość energii. Ale eksperyment wykazuje, że elektrony są

emitowane natychmiast po przekroczeniu częstości progowej.

wyjaśnienie Einsteina 1905

Einstein przyjął dwa założenia:

– wiązka światła składa się z małych pakietów energii fotonów (kwantów promieniowania
elektromagnetycznego) o energii

– fotony mogą być emitowane lub pochłaniane tylko w całości, (transfer energii jest procesem

“wszystko albo nic”).

maksymalna energie kinetyczna po opuszczeniu metalu wynosi:

Efekt Comptona – pęd fotonu

1908 – Planck posługując się szczególna teorią względności pokazał, ze skoro

energia fotonu wynosi

to jego pęd musi mieć wartość

(przy założeniu zerowej masy fotonu)

-relatywistyczny wzór na energie

1923 – Compton

badając rozpraszanie promieni X na materii otrzymał następujące

wyniki:
– promieniowanie rozproszone ma dwie składowe: o długości fali

λ

równej długości fali

promieniowania padającego i o długości fali

λ

’ dana wzorem

gdzie

φ

jest katem rozpraszania ( zmianę długości fali przy rozpraszaniu nazywamy zjawiskiem

Comptona)

Wyniki eksperymentu
– zmiana długości fali promieniowania rozproszonego nie zależy od substancji,

na której zachodzi rozpraszanie;

– stosunek natężeń obu składowych promieniowania rozproszonego zależy od

substancji, dla pierwiastków lekkich udział składowej ze zmienioną częstością
jest większy i maleje wraz ze wzrostem liczby atomowej.

kłopoty z wyjaśnieniem na gruncie fizyki klasycznej: Nie można wytłumaczyć
zmiany częstości promieniowania rozproszonego.

wyjaśnienie na gruncie fizyki kwantowej:

Przyjmujemy, że mechanizm zjawiska polega na sprężystych zderzeniach fotonów

ze swobodnymi elektronami. Energia fotonów promieniowania X jest rzędu wielu
keV, a energia wiązania elektronów walencyjnych w kryształach jest rzędu kilku

eV. Elektrony możemy z dobrym przybliżeniem uważać za swobodne. Ten prosty

model wyjaśnia podstawowe cechy zjawiska Comptona:

– częstość promieniowania rozproszonego (a więc także jego energia) nie zależy
od materiału, bo w każdym materiale rozpraszanie zachodzi na elektronach

walencyjnych, które można traktować jak swobodne;

– wzór na zależność rozpraszania od wartości kąta można wyprowadzić z zasady zachowania
energii i pędu.

Załóżmy, że przed zderzeniem elektron spoczywa zatem jego energia E

e

=

mc

2

. Ponieważ energia fotonu przed zderzeniem ma wartość E

f

= pc, a po

zderzeniu E'

f

= p’c zasada zachowania energii daje nam równanie

E

f

=E'

f

+E

e

+ V

gas at low pressure

light

glow
discharge

Widma atomowe:

atomy pobudzone do świecenia emitują promieniowanie

elektromagnetyczne tylko o ściśle określonych długościach fali,
charakterystycznych dla danego atomu.

Pobudzanie atomów do świecenia

poprzez przyłożenie napięcia i jonizację
atomów

Model “planetarny” Bohra atomu wodoru (1913r)

Elektron krąży po orbitach kołowych wokół jądra atomowego. Rolę siły

dośrodkowej spełnia siła oddziaływania elektrycznego. Stabilne orbity to te, dla
których moment pędu elektronu jest całkowitą wielokrotnością h/2



mvr=n h

2 

=

n ℏ

e

2

4  

0

r

2

=

m 

2

r

Stąd

r

n

=

4  

0

ℏ

2

m e

2

n

2

E=E

kin



E

pot

=

m v

2

2



−

e

2

4  

0

r



E

n

=

−

e

2

8 

0

r

n

Atom promieniuje energię porcjami ( kwantami)

To wyjaśniało istnienie linii widmowych.

h =E

n

−

E

n '

=

Rc  1

n '

2

−

1

n

2



Atomy promieniują energię w postaci h

, gdy elektron przechodzi między

dozwolonymi orbitami.

Odkrycie jadra atomowego

Stan wiedzy o atomie w 1910. Znany był już elektron, odkryty w 1897 roku przez Thomsona,

któremu udało się zmierzyć e/m. W 1909 Milliken zmierzył ładunek elektronu. Wiadomo było,
ze prawie cała masa atomu związana jest z ładunkiem dodatnim. Znany był tez rozmiar atomu,

rzędu 10

-10

m. Wiadomo było także, że wszystkie atomy z wyjątkiem atomów wodoru zawierają

więcej niż jeden elektron.
problem: Jaki jest rozkład masy i ładunku w atomie?

model Thompsona: równomierny rozkład masy i ładunku dodatniego, elektrony

jak rodzynki

eksperymenty rozproszeniowe Rutherforda 1910-11

Rutherford wraz ze swoimi studentami Hansem Geigerem i Ernestem Marsdenem badali

rozpraszanie cząstek naładowanych na cienkich foliach różnych pierwiastków. Ponieważ
nie było wówczas akceleratorów Rutherford wykorzystywał cząstki

α

emitowane

przez naturalne pierwiastki radioaktywne (np. rad).

wyniki eksperymentu:

Zaobserwowano rozpraszanie pod dużymi kątami - dla

niektórych cząstek ten kąt wynosił prawie 180

o

.

Eksperyment

potwierdzał więc hipotezę, że atom posiada jądro, bardzo gęstą, bardzo małą

strukturę niosącą cały dodatni ładunek atomu i prawie cała (99,95%) jego masę.

Hipoteza de Broglie’a

Obiektom, o których zwykle myślimy jak o cząstkach, można przypisać długość fali zgodnie ze

wzorem.

=

h

p

Hipoteza ta została potwierdzona w eksperymencie dyfrakcyjnym Davissona i Germera.

Fale materii - hipoteza de Broglie’a

Rozumowanie de Broglie’a: Swiatło ma dwoistą naturę, w jednych sytuacjach

zachowuje się jak fala, w innych jak cząstka. Jeżeli natura jest symetryczna,

dwoistość ta powinna dotyczyć także materii. Elektrony i protony, o których
zwykle myślimy jak o cząstkach, mogą w pewnych sytuacjach zachowywać się

jak fale.

Poprawną interpretację fal de Broglie’a podał w 1927 Born.

Doświadczenie Davissona-Germera 1927-28. W 1927 Clinton Davisson i Lester

Germer pracując w Bell Telephone Laboratories badali rozkład kątowy elektronów

rozpraszanych na powierzchni polikrystalicznych próbek niklu. Materiał

o strukturze polikrystalicznej składa się z mikroskopijnych kryształów o przypadkowej
orientacji. Oczekiwano, ze dla wiązki elektronów powierzchnia niklu

będzie ”porowata”, a więc niezależnie od stopnia gładkości powierzchni próbki

natężenie rozproszonych elektronów będzie w sposób ciągły zależeć od kata.

Doświadczenia z wyżarzonymi próbkami wykazały rozkłady z ostrymi pikami

natężenia dla pewnych wartości kąta rozpraszania. Kąty te zależały od napięcia

przyspieszającego elektrony. Davisson and Germer znali hipotezę de Broglie’a i
zinterpretowali swoje wyniki jako rezultat dyfrakcji elektronów na sieci krystalicznej

niklu. Znając potencjał przyspieszający V mogli obliczyć energię, a tym

samym pęd elektronów i długość fali de Broglie’a:

n = 3

n = 9

Model Bohra i hipoteza fal de Broglie’a

Z drugiej strony stała krystaliczna niklu (ok. 2,15 x10

10

m = 0,215nm) znana

była z eksperymentów nad dyfrakcja promieni X, co umożliwiało wyliczenie długości

fali ze zwykłego wzoru na maksima dyfrakcyjne

Otrzymano zgodność (w granicach błędu pomiarowego) tak

wyliczonych długości.

Było to pierwsze eksperymentalne potwierdzenie hipotezy de Broglie’a.

electrons

x-rays

crystal

powder

Porównanie dyfrakcji dla promieni X i elektronów

Powstanie mechaniki kwantowej - historia

1900 – Max Planck – promieniowanie ciała doskonale czarnego
1905 – Albert Einstein – efekt fotoelektryczny
1911 – Ernest Rutherford – odkrycie jądra atomowego
1913 – Niels Bohr – “stara”teoria kwantów
1922 – Arthur Compton – rozpraszanie fotonów na elektronach
1925 – Wolfgang Pauli – zakaz Pauliego
1923–25 – Luis-Victor de Broglie – fale materii
lipiec 1925 – Werner Heisenberg – początki mechaniki macierzowej
sierpien 1925 – Max Born, Jordan – mechanika macierzowa
wrzesien 1925 – Paul Dirac – mechanika macierzowa
grudzien 1925 – Heisenberg, Born, Jordan – całość mechaniki macierzowej
styczen - czerwiec 1926 – Erwin Schrodinger – mechanika falowa
marzec 1926 – Schrodinger – równoważność mechaniki falowej i macierzowej
czerwiec - lipiec 1926 – Born – interpretacja probabilistyczna
1926 – Dirac, Jordan – ogólny formalizm mechaniki kwantowej
marzec 1927 – Heisenberg – zasada nieoznaczoności
1927 – Bohr, Heisenberg – szkoła kopenhaska
1928 – Dirac – relatywistyczna teoria elektronu