Teoria sygnałów i systemów

Kolokwium 2 – grupa A

17 grudnia 2014 r.

1. Zbadać stabilność układu opisanego równaniem:

¨

x −

1
2

x + x ˙x = 2 ˙x

Wyznaczyć dla niego współczynniki tłumienia, częstości drgań własnych, tłumionych
oraz stałe czasowe.

2. Dany jest sygnał x(t) opisany wzorem:

x(t) = −e

−at

1(t)

dla a > 0. Rozpoznać, czy jest to sygnał mocy czy energii, i odpowiednio wyznaczyć
jego energię lub moc. Ile wynosić będzie różnica energii lub mocy, gdy zmienimy
wartość stałej a z 0.5 na 2?

3. Wyznaczyć funkcję korelacji sygnału x

2

(t) z sygnałem x

1

(t) (tj. ϕ

12

(τ )), jeżeli:

x

1

(t) = X

1

e

−at

Π(t)

x

2

(t) = e

−bt

Π(t − 1)

przy założeniu, że X

1

, a oraz b są dodatnie. Naszkicować wykres tej funkcji, przyj-

mując wartości parametrów: a = 0.5, b = 2, X

1

= 2. Dla tych wartości parametrów

wyznaczyć wartość współczynnika korelacji α

12

(τ ) dla τ = −0.5.

4. Zbadać, czy sygnał fali prostokątnej o okresie T jest ortogonalny do zbioru funkcji

cos(nω

0

t) o okresie podstawowym także równym T .

5. Wyznaczyć splot całkowy w(x) = y(x) ∗ g(x) dla funkcji:

y(x) = 2x, x ∈ R

g(x) = 1(x − 3)

Teoria sygnałów i systemów

Kolokwium 2 – grupa C

17 grudnia 2014 r.

1. Zbadać stabilność układu opisanego równaniami:







6y

1

+ 2 ˙

y

1

+ (y

1

y

2

)

2

= 0

˙

y

2

+ y

2

= 3y

1

Wyznaczyć dla niego współczynniki tłumienia, częstości drgań własnych, tłumionych
oraz stałe czasowe.

2. Dany jest sygnał x(t) opisany wzorem:

x(t) =



1 − e

−at



1(t)

dla a > 0. Rozpoznać, czy jest to sygnał mocy czy energii, i odpowiednio wyznaczyć
jego energię lub moc. Naszkicować przebieg sygnału.

3. Dla sygnału opisanego równaniem:

x(t) = X

0

e

−

t

a

Π



t − 2

2



przy czym a > 0, proszę wyznaczyć funkcję autokorelacji sygnału oraz energię lub
moc sygnału w zależności od tego, czy x(t) jest sygnałem energii, czy mocy. Naszki-
cować wykres funkcji autokorelacji, gdy X

0

= 5, a = 2, oraz obliczyć unormowany

współczynnik korelacji dla τ = −1.

4. Wykazać ortogonalność pierwszego x

1
0

(t) i trzeciego x

2
1

(t) wyrazu ciągu funkcji Ha-

ara.

x

n
k

(t) =



















√

2

k

dla t ∈



2n − 2

2

k+1

,

2n − 1

2

k+1



−

√

2

k

dla t ∈



2n − 1

2

k+1

,

2n

2

k+1



5. Wyznaczyć splot całkowy w(x) = y(x) ∗ g(x) dla funkcji:

y(x) = x

2

, x ∈ R

g(x) = Π



t − 1

2