Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,

19 XII 2003, 08:00, B

1. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

g(x) = C

· x

2

e

−x

· 1

(0,∞)

(x).

a) Wyznaczyć stałą C (czy stała C da się otrzymać jako produkt uboczny

innychrachunków w tym zadaniu?)

b) Wykazać, że funkcją tworzącą momenty dla X jest M

X

(t) =

1

(1−t)

3

, gdzie

t < 1.

c) wyznaczyć wszystkie momenty X, tj. EX

n

dla n = 1, 2, ...

d) obliczyć ρ(

−X, X + 1).

e) wyznaczyć gęstość dla zm. los.

−2X.

2. W pewnym kraju płaca roczna ma rozkład o gęstości

g(x) = C(1000

− x) · 1

(0,1000)

(x).

a) Wyznaczyć stałą C.
b) Obliczyć średnią płacę.
c) Król podwyższył do 100 talarów płace wszystkim tym, którzy zarabiali

mniej niż 100 talarów. O ile wzrosła średnia płaca?

d) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany poddany dostanie

podwyżkę?

e) Czy płaca ma nadal rozkład ciągły?

3*. Ania i Bartek obserwują ciąg rzutów (niekoniecznie symetryczną) mo-

netą. Ania wygra, jeśli ciąg OO pojawi się przed RO, w przeciwnym razie wygra
Bartek. Jakie są szanse wygranej dla obu graczy?

Rozwiązania

1. a) Ponieważ g jest gęstością, musi być

1 =

∞

−∞

g(x)dx = C

∞

0

x

2

e

−x

dx = C

· Γ(3) = 2C,

zatem C =

1

2

.

Ten szybki sposób wymaga znajomości funkcji gamma, zdefiniowanej tak:

Γ(a) =

∞

0

x

a−1

e

−x

dx,

a > 0,

a także jej podstawowychwłasności, czyli wzoru Γ(a) = (a

− 1)Γ(a − 1), który

otrzymujemy całkując przez części. Z niego właśnie wynika, że Γ(n) = (n

− 1)!

dla n = 1, 2, . . .

1

Można oczywiście obliczyć całkę z gęstości całkując dwukrotnie przez części,

albo zauważyć, że jest ona równa EZ

2

, gdzie Z ma rozkład wykładniczy z

parametrem 1. Wtedy EZ = 1, D

2

Z = 1, zatem EZ

2

= D

2

Z + (EZ)

2

= 2.

b) Poniższe całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy t < 1. Jedynym chwy-

tem jest podstawienie z = (1

− t)x, dz = (1 − t)dx:

M

X

(t)

=

∞

0

e

tx

· x

2

e

−x

dx =

∞

0

x

2

e

−(1−t)x

dx =

∞

0



z

1

− t



2

e

−z

dz

1

− t

=

=

∞

0



z

1

− t



2

e

−z

dz

1

− t

=

1

(1

− t)

3

·

∞

0

z

2

e

−z

dz =

1

(1

− t)

3

.

Ostatnia całka jest równa 1 jako całka na przedziale (

−∞, ∞) z gęstości.

c) Momenty są pochodnymi f.t.m w zerze. Mamy

M



X

(t) = 3

· (1 − t)

−4

,

M



X

(t) = 3

· 4 · (1 − t)

−5

,

M



X

(t) = 3

· 4 · 5 · (1 − t)

−6

,

zatem ogólnie

M

(n)

X

(t) =

1

2

· n! · (1 − t)

−(n+3)

,

a stąd

EX

n

=

1

2

· n!.

Wynik ten można bez wysiłku otrzymać z definicji funkcji gamma.

d) ρ(

−X, X+1) = ρ(−X, X) = −ρ(X, X) = −1. Wynik ten można otrzymać

na wiele sposobów, zauważając np. że cov(X, X) = D

2

X.

e) g

−2X

(t) =

1

2

g

X

(

−

t

2

). Jeśli nie znamy tego wzoru, możemy wyznaczyć

gęstość bezpośrednio. Wystarczy obliczyć dystrybuantę zm. los.

−2X dla ujem-

nychwartości argumentu t:

F

−2X

(t) = P (

−2X  t) = P (X  −t/2) = P (X > −t/2) = 1 − F

X

(

−t/2).

Zwróćmy uwagę, że X ma rozkład ciągły, zatem nie ma znaczenia, czy operujemy
nierównościami ostrymi, czy nieostrymi. Różniczkując prawą stronę powyższej
równości otrzymujemy żądany wynik:

g

−2X

(t) =

1

2

·

1

2

(

−t/2)

2

e

t/2

1

(−∞,0]

(t) =

t

2

16

e

t/2

1

(−∞,0]

(t).

2. Przyjmiemy, że płaca jest zmienną losową X o gęstości g.
a) Ponieważ g jest gęstością, musi być

1 =

∞

−∞

g(x)dx =

1000

0

C(1000

− x)dx =

1

2

· 1000C · 1000 = C ·

1

2

· 10

6

,

zatem C = 2

· 10

−6

. Nie musimy znać funkcji pierwotnej, wystarczy bowiem

zauważyć, że całka jest równa polu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
1000C i 1000.

2

b) Obliczamy EX:

EX

=

∞

−∞

xg(x)dx = C

1000

0

x(1000

− x)dx =

=

C



1000

0

1000xdx

−

1000

0

x

2

dx



= C



500x

2





1000

0

−

1

3

x

3





1000

0



=

=

2

· 10

−6

· [5 · 10

8

−

10

3

· 10

8

] = 333

1

3

.

c) Po podwyżce płaca jest równa max(X, 100), a sama podwyżka Z =

max(X, 100)

− X = max(0, 100 − X). Wzrost średniej płacy to

EZ

=

E max(X, 100)

− EX = E max(0, 100 − X) =

=

C

1000

0

max(0, 100

− x)(1000 − x)dx =

=

C

100

0

(100

− x)(1000 − x)dx =

=

2

· 10

−6

·



100

0

(10

5

− 1100x = x

2

)dx



=

=

2

· 10

−6

· [10

7

− 550 · 10

4

+

1

3

· 10

6

] = 20

− 11 +

2

3

= 9

2

3

.

d) Prawdopodobieństwo

nieotrzymania podwyżki jest równe

1000

100

g(x)dx.

Jest to pole trójkąta podobnego do rozpatrywanego w punkcie a), przy czym
skala podobieństwa jest równa 0,9. Dlatego szansa nieotrzymania podwyżki wy-
nosi 0,9

· 0,9 = 0,81, a otrzymania 0,19.

Nawiasem mówiąc, można teraz skontrolować prawidłowość wyników: jeśli

ok. 20% poddanychdostanie średnio ok. 50 talarów podwyżki, to średnia płaca
wzrośnie o ok. 10 talarów, i tak właśnie jest.

e) Płaca po podwyżce nie ma rozkładu ciągłego, bo z dodatnim prawdopo-

dobieństwem (równym 0,19) przyjmuje wartość 100.

3*. Zadanie można rozwiązać, badając prawdopodobieństwa pochłonięcia w

łańcuchu Markowa o pięciu stanach: S, O, OO, R, RO (stany pochłaniające wy-
różniono tłustym drukiem). Można jednak zauważyć (rysując w razie potrzeby
odpowiedni diagram), że Ania wygra wtedy i tylko wtedy, gdy w pierwszych
dwóchrzutachpojawi się orzeł. Pojawienie się reszki w pierwszym lub drugim
rzucie prowadzi do wygranej Bartka. Dlatego Ania wygrywa z prawdopodobień-
stwem p

2

, gdzie p jest prawdopodobieństwem otrzymania orła.

3