Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach
pojawią się ,,reszki’’. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

(A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 6

Wskazówka: jeśli w rzucie numer

n

jest orzeł to przyjmijmy, że „układ jest w stanie

0”. Jeśli w rzucie numer jest reszka a w rzucie

n

1

−

n

był orzeł, to „układ jest w

stanie 1”. Kończymy, gdy „układ znajdzie się w stanie 2”. W ten sposób definiujemy
łańcuch Markowa. Rozpatrz wartość oczekiwaną liczby rzutów w zależności od stanu
układu.

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 2. Rozważmy niezależne zmienne losowe W

o jednakowym

rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną

,...

,...,

,

1

0

n

W

W

µ

. Niech

będzie zmienną

losową o rozkładzie Poissona wartością oczekiwaną

N

λ , niezależną od

Oblicz dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej

losowej

,...

,...,

,

1

0

n

W

W

W

Y

.

{

}

N

W

W

W

,...,

,

min

1

0

=

(A)

(

)

[

]

µ

λ

µ

y

e

y

Y

y

−

−

−

=

≤

−

1

exp

1

)

Pr(

/

(B)

(

)

[

]

1

exp

1

)

Pr(

/

−

−

=

≤

−

µ

λ

y

e

y

Y

(C)

[

]

µ

λ

y

y

Y

−

−

=

≤

exp

1

)

Pr(

(D)

[

]

)

(

exp

1

)

Pr(

µλ

y

y

Y

−

−

=

≤

(E)

µ

λ

λ

y

y

Y

+

−

=

≤

1

)

Pr(

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 3.

Rozpatrzmy standardowy model jednokierunkowej analizy wariancji.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych

, przy czym

ij

X

;

k

)

,...

1

,...,

1

(

i

n

j

i

=

=

i

ij

X

E

µ

=

]

[

i

Var

. Przyjmijmy typowe

oznaczenia:

2

]

[

σ

=

ij

X

∑

∑

=

=

−

=

i

n

j

i

ij

k

i

X

X

SSW

1

2

1

)

(

,

∑

∑

=

=

−

=

i

n

j

ij

k

i

X

X

1

2

1

)

(

,

SST

gdzie

∑

=

=

i

n

j

ij

i

i

X

n

X

1

1

,

∑

∑

=

=

=

i

n

j

ij

k

i

X

n

X

1

1

1

,

.

∑

=

=

k

i

i

n

n

1

Przy założeniu, że hipoteza o jednorodności jest prawdziwa, czyli że

k

µ

µ

=

= ...

1

,

oblicz

SST

SSW

E

.

(A)

∑

∑

=

=

+

k

i

i

k

i

i

n

k

n

1

2

1

2

(B)

2

1

2

n

n

k

i

i

∑

=

(C)

1

1

−

−

−

n

k

n

(D)

1

−

−

n

k

n

(E)

n

k

n

−

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 4.

Niech W

(

) będzie próbką z rozkładu wykładniczego o

wartości oczekiwanej

n

W

W

,...,

,

2

1

1

>

n

µ

. Rozważmy estymatory parametru

µ

postaci

aS

=

µ

ˆ

, gdzie S

.

∑

=

=

n

i

i

W

1

Znajdź liczbę

a

, dla której błąd średniokwadratowy estymatora, czyli wielkość

2

)

ˆ

(

µ

µ

−

E

jest najmniejszy.

(A)

n

a

1

=

(B)

1

1

−

=

n

a

(C)

1

1

+

=

n

a

(D)

n

n

a

+

=

1

(E) nie istnieje liczba dla której błąd średniokwadratowy odpowiadającego jej

estymatora jest jednostajnie najmniejszy (najmniejszy przy każdej wartości

a

µ

)

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 5.

Załóżmy, że są niezależnymi zmiennymi losowymi o

jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [

. Rozważmy ciąg średnich

geometrycznych

,...

,...,

,

2

1

n

U

U

U

]

1

,

0

n

U

U

2

1

n

U

...

. Wybierz prawdziwe stwierdzenie.

(A)

0

2

1

...

Pr

2

1

=













≤

∞

→

n

n

n

U

U

U

lim

(B)

0

3

1

...

Pr

lim

2

1

=













≤

∞

→

n

n

n

U

U

U

(C)

2

1

2

1

...

Pr

lim

2

1

=













≤

∞

→

n

n

n

U

U

U

(D)

1

1

...

Pr

2

1

=













≤

∞

→

e

U

U

U

n

n

n

lim

(E)

1

3

1

...

Pr

lim

2

1

=













≤

∞

→

n

n

n

U

U

U

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 6.

Zakładamy, że każda pojedyncza szkoda, niezależnie od pozostałych, jest

likwidowana:

• W roku, w którym została zgłoszona – z prawdopodobieństwem

θ

;

• W drugim roku po zgłoszeniu – z prawdopodobieństwem )

1

(

θ

θ

−

;

• W trzecim roku lub później – z prawdopodobieństwem (

.

2

)

1

θ

−

Dane, którymi dysponujemy dotyczą szkód. Wiemy, że spośród nich:

n

•

zostało zlikwidowanych w roku, w którym zostały zgłoszone;

1

n

•

zostało zlikwidowanych w drugim roku po zgłoszeniu;

2

n

•

zostało zlikwidowanych w trzecim roku lub póżniej,

3

n

gdzie n

n

n

n

=

+

+

3

2

1

.

Podaj estymator największej wiarogodności parametru

θ

na podstawie tych danych.

(A)

3

2

1

ˆ

n

n

n

n

+

+

=

θ

(B)

1

2

1

2

ˆ

n

n

n

n

−

+

=

θ

(C)

3

2

1

2

ˆ

n

n

n

n

−

+

=

θ

(D)

n

n

1

ˆ =

θ

(E)

n

n

n

n

n

n

n

3

2

3

2

2

1

1

ˆ

+















−

+

=

θ

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 7.

Rozpatrzmy następujący schemat losowania. Mamy sześć urn,

ponumerowanych liczbami 1,2,3,4,5,6.

W urnie nr.

i znajduje się kul czarnych i

i

i

−

7

kul białych (

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

=

i

).

Najpierw rzucamy kostką do gry. Jeśli otrzymamy

i oczek, to wybieramy urnę

oznaczoną numerem

i . Losujemy z tej urny kolejno, bez zwracania, 2 kule. Niech

oznacza zdarzenie losowe polegające na wyciągnięciu białej kuli w pierwszym
losowaniu, zaś

- zdarzenie polegające na wyciągnięciu białej kuli w drugim

losowaniu.

1

B

2

B

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe

.

)

|

Pr(

1

2

B

B

(A)

9

/

5

)

|

Pr(

1

2

=

B

B

(B)

9

/

4

)

|

Pr(

1

2

=

B

B

(C)

2

/

1

)

|

Pr(

1

2

=

B

B

(D)

41

/

20

)

|

Pr(

1

2

=

B

B

(E)

7

/

5

)

|

Pr(

1

2

=

B

B

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 8.

jest próbką z rozkładu normalnego o

znanej wartości

oczekiwanej

10

2

1

,...,

,

X

X

X

µ

i

nieznanej wariancji

. Rozważmy test hipotezy

2

σ

4

:

2

0

≤

σ

H

przeciwko alternatywie

4

:

2

1

>

σ

H

,

który jest najmocniejszy na poziomie istotności

05

.

0

=

α

. Dla jakich wartości

wariancji moc tego testu jest niemniejsza, niż 0.95? Podaj zbiór

{

}

95

.

0

:

2

≥

=

testu

moc

M

σ

(A)

)

,

29

.

9

[

∞

=

M

(B)

)

,

46

.

4

[

∞

=

M

(C)

)

,

58

.

18

[

∞

=

M

(D)

)

,

35

.

20

[

∞

=

M

(E)

)

,

08

.

31

[

∞

=

M

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 9.

Zakładamy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

rozkładach normalnych, przy czym :

10

1

,...,

X

X

µ

=

]

[

i

X

E

- wartość oczekiwana wszystkich zmiennych jest

jednakowa i nieznana;

i

i

w

X

Var

2

]

[

σ

=

- wariancje zmiennych są różne; wagi

są

znane a

jest

nieznanym parametrem.

i

w

2

σ

Należy zbudować przedział ufności

[

dla

na poziomie ufności

1

]

ˆ

,

ˆ

2

2

2

1

σ

σ

2

σ

90

.

0

=

−

α

.

Dla którego z poniższych przedziałów prawdziwa jest równość

90

.

0

)

ˆ

ˆ

Pr(

2

2

2

2

1

=

≤

≤

σ

σ

σ

?

(A)

,

3251

.

3

)

(

,

9190

.

16

)

(

]

ˆ

,

ˆ

[

10

1

2

10

1

2

2

2

2

1















−

−

=

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

i

X

X

w

X

X

w

σ

σ

gdzie

10

10

1

∑

=

=

i

i

X

X

(B)

,

3251

.

3

)

(

,

9190

.

16

)

(

]

ˆ

,

ˆ

[

10

1

2

10

1

2

2

2

2

1















−

−

=

∑

∑

=

=

i

w

i

i

i

w

i

i

X

X

w

X

X

w

σ

σ

gdzie

∑

∑

=

=

=

10

1

10

1

i

i

i

i

i

w

w

X

w

X

(C)

,

9403

.

3

)

(

,

3070

.

18

)

(

]

ˆ

,

ˆ

[

10

1

2

10

1

2

2

2

2

1















−

−

=

∑

∑

=

=

i

w

i

i

i

w

i

i

X

X

w

X

X

w

σ

σ

gdzie

∑

∑

=

=

=

10

1

10

1

i

i

i

i

i

w

w

X

w

X

(D)

,

9403

.

3

)

(

,

3070

.

18

)

(

]

ˆ

,

ˆ

[

10

1

10

1

2

10

1

10

1

2

2

2

2

1















−

−

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

i

i

i

w

i

i

i

i

w

i

w

X

X

w

X

X

σ

σ

gdzie

∑

∑

=

=

=

10

1

10

1

i

i

i

i

i

w

w

X

w

X

(E)

(

) (

)

,

2

/

1

;

2

/

)

(

,

2

/

1

;

2

/

)

(

]

ˆ

,

ˆ

[

10

1

05

.

0

10

1

2

10

1

95

.

0

10

1

2

2

2

2

1















−

−

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

i

i

i

w

i

i

i

i

i

w

i

i

w

X

X

w

w

X

X

w

γ

γ

σ

σ

gdzie

∑

∑

=

=

=

10

1

10

1

i

i

i

i

i

w

w

X

w

X

,

zaś symbol

)

,

(

λ

α

γ

p

oznacza kwantyl rzędu p rozkładu Gamma z parametrem

kształtu

α i parametrem skali λ

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

Zadanie 10.

Załóżmy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [

. Oblicz warunkową wartość

oczekiwaną

n

U

U

U

,...,

,

1

0

]

1

,

0

{

}

(

)

0

1

0

,...,

,

max

U

U

U

U

E

n

.

(A)

{

}

(

)

1

,...,

,

max

0

1

0

+

=

n

n

U

U

U

U

E

n

(B)

{

}

(

)

1

,...,

,

max

0

0

1

0

+

+

=

n

U

n

U

U

U

U

E

n

n

(C)

{

}

(

)

1

,...,

,

max

1

0

0

1

0

+

+

=

+

n

U

n

U

U

U

U

E

n

n

(D)

{

}

(

)

1

,...,

,

max

0

0

1

0

+

+

=

n

U

n

U

U

U

U

E

n

(E)

{

}

(

)

0

0

1

0

,...,

,

max

U

n

n

U

U

U

U

E

n

+

=

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.12.2003r

.

11

XXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 E

2 A

3 D

4 C

5 B

6 B

7 A

8 C

9 B

10 C

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.