MOCE W OBWODACH SLS ZNAJDUJĄCYCH SIĘ W SUS

MOC CHWILOWA p(t) [W]

u

(t)

i

(t)

I

U

u(t) = U

m

cos(

ωt + α )

i(t) = I

m

cos(

ωt + α – ϕ )

PO: u(t) = A[i(t)] – [e

g

(t)

{ }

sin

cos

]

i(t) = A[u(t)] + [j

g

(t)

{ }

sin

cos

]

U = U

m

e

jα

I = I

m

e

j(α–ϕ)

PO: U = Z(

ω)⋅I – [E]

I = Y(

ω)⋅U – [J]

Dziedzina czasu „t”

Dziedzina pulsacji „

ω”

u(t) = Re[ U

⋅e

j

ωt

]

i(t) = Re[ I

⋅e

jωt

]

SLS

SLS

p(t) = u(t)

⋅i(t) = U

m

cos(

ωt + α )⋅I

m

cos(

ωt + α – ϕ )

p(t) =

2

1

U

m

I

m

cos

ϕ +

2

1

U

m

I

m

cos( 2

ωt + 2α – ϕ )

ω

p

= 2

ω

– pulsacja mocy chwilowej p(t) jest 2 razy większa od pulsacji

ω

sygnałów U, I

Jeśli

∠(I,U) = ϕ ≠ ±

2

π

, to moc chwilowa p(t) ma składową stałą.

Przykład

u(t) = 10

cos( 2

πt + π/4 ) V;

ω= 2π rad/s, α = π/4 rad

i(t) = 5cos( 2

πt + π/4 – π/3 ) A;

ϕ = π/3 rad

p(t) = 12,5 + 25cos[ 2(2

π)t + π/6 ] W;

ω

p

= 2

ω rad/s

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

-20.00

20.00

0.00

40.00

u(t) [V]
i(t) [A]
p(t) [W]

t [s]

p(t)

12,5

3

π

=

ϕ

U

I

im

re

Charakter „L”

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

MOC CZYNNA P [W]

W]

[

d

)

(

T

1

P

T

t

t

0

0

ℜ

∈

=

∫

+

∆

τ

τ

p

[W]

cos

I

U

[W]

cos

2

I

2

U

P

[W]

cos

I

U

2

1

P

sk

sk

m

m

m

m

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

gdzie: cos

ϕ – współczynnik mocy

p(t) = P + p

zm

(t)

p

max

=

2

1

U

m

I

m

( cos

ϕ + 1 )

p

min

=

2

1

U

m

I

m

( cos

ϕ – 1 )

p(t) [W]

t [s]

p

max

p

min

2

1

U

m

I

m

cos

ϕ

P

2

1

U

m

I

m

P > 0

( strzałkowanie odbiornikowe)

Dwójnik SLS pobiera energię

P < 0

( strzałkowanie odbiornikowe)

Dwójnik SLS oddaje energię

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Moc czynna dowolnego dwójnika

U

I

SLS

U= U

m

e

j

α

I= I

m

e

j(

α – ϕ)

U

⋅I

*

= U

m

e

j

α

⋅I

m

e

–j(

α – ϕ)

= U

m

I

m

e

j

ϕ

U

*

⋅I = (U⋅I

*

)

*

= U

m

e

–j

α

⋅I

m

e

j(

α – ϕ)

= U

m

I

m

e

–j

ϕ

P =

2

1

Re[U

⋅I

*

] =

2

1

Re[U

*

⋅I]

Moc czynna z jaką w SUS

dwójnik SLSB przetwarza energię

Z(ω)

lub

Y(ω)

U

I

U = Z(

ω)⋅I;

Z(

ω)= r(ω) + j

x(

ω) = ⏐Z⏐e

j

ϕ

I = Y(

ω)⋅U;

Y(

ω)= g(ω) + j

b(

ω) = ⏐Y⏐e

–j

ϕ

ϕ = ∠(I,U) = arg[Z(ω)] = – arg[Y(ω)]

⎪U⎪=⎪Z⎪⎪I⎪; ⎪I⎪=⎪Y⎪⎪U⎪

r =

⎪Z⎪cos

ϕ; g =⎪Y⎪cos

ϕ

2

1

P =

2

1

Re[U

⋅I

*

] =

2

1

Re[U

*

⋅I] =

⎪U⎪⎪I⎪cos

ϕ

P =

2

1

g

⎪U⎪

2

=

2

1

r

⎪I⎪

2

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Moce podstawowych elementów biernych: R, L, C

Z [

Ω] Y [S] Re[Z] Re[Y] ϕ [rad] cos

ϕ

P [W]

p

max

[W]

p

min

[W]

R R

R

1

G

=

R G 0 1

2

U

G

2

I

R

2

I

U

2
m

2
m

m

m

⋅

=

⋅

=

2

I

U

P

m

m

=

0

L j

ωL

ωL

j

1

0 0

2

π

+

0 0

2

I

U

m

m

+

2

I

U

m

m

−

C

ωC

j

1

jωC 0 0

2

π

−

0 0

2

I

U

m

m

+

2

I

U

m

m

−

Przykład Dane: R = 8

Ω, L = 0,5 H, U

m

= 32 V.

Obliczyć

1). moc czynną P

R

z jaką energia wydziela się w rezystorze R;

2).

moc

czynną P

RL

z jaką energia wydziela się w dwójniku szeregowym R-L;

1).

W

64

8

2

32

2R

U

2

U

G

P

2

2
m

2
m

R

=

⋅

=

=

⋅

=

2).

(

)

]

[

jω

16

j0,5ω

8

L

jω

R

Z

2

1

Ω

+

=

+

=

+

=

( )

]

[

ω

256

ω

8

4

ωL

R

Z

2

2

1

2

2

2

1

2

2

Ω

+

=

+

⋅

=

+

=

[rad]

16

ω

arctg

R

ωL

arctg

=

=

ϕ

2a). PPK:

( )

[A]

ω

56

2

64

L

ω

R

U

Z

U

I

2

2

2

m

m

m

+

=

+

=

=

( )

[W]

ω

256

16384

L

ω

R

U

2

R

Z

U

2

R

2

I

R

P

2

2

2

2
m

2

2
m

2
m

RL

+

=

+

=

=

⋅

=

2b).

DN:

m

Rm

U

Z

R

U

=

[W]

ω

256

16384

Z

2

U

R

R

2

U

2

U

G

P

2

2

2
m

2
Rm

2
Rm

RL

+

=

⋅

=

=

⋅

=

0

100

0

40

80

|Z|

R

ω

0

100

0

40

80

0

100

0

1

2

0

100

0

1

2

cos

ϕ

ϕ

ω

0

100

0

1

2

2

π

0

100

0

4

ω

0

100

0

40

80

P

R

P

RL

I

mR

I

m

ω

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Energie gromadzone w pojemności i indukcyjności

u

(t)

i

(t)

u(t) = U

m

cos(

ωt + α )

i(t) = U

m

cos(

ωt + α – ϕ )

Pojemność

Indukcyjność

P = 0 [W]

u

(t)

i

(t)

)

(

C

2

1

)

(

2

C

t

u

t

w

=

)

(

L

2

1

)

(

2

L

t

i

t

w

=

Energia chwilowa gromadzona w polu elektrycznym pojemności

α)

2

ω

2

cos(

U

C

4

1

U

C

4

1

α)

ω

(

cos

U

C

2

1

)

(

C

2

1

)

(

2
m

2
m

2

2
m

2

C

+

+

=

+

=

=

t

t

t

u

t

w

Moc chwilowa przetwarzania energii pola elektrycznego w pojemności

W]

s

J

[

α)

2

ω

2

sin(

CU

2

1

d

)

(

d

)

(

2
m

C

C

=

+

−

=

=

t

t

t

w

t

p

Wartość średnia energii chwilowej gromadzonej w polu elektrycznym pojemności

( )

[J]

CU

4

1

dτ

τ

T

1

2
m

T

C

C

0

0

=

=

∫

+

∆

t

t

w

W

Energia chwilowa gromadzona w polu magnetycznym indukcyjności

)

2

α

2

ω

2

cos(

I

L

4

1

I

L

4

1

)

α

ω

(

cos

I

L

2

1

)

(

L

2

1

)

(

2
m

2
m

2

2
m

2

L

ϕ

ϕ

−

+

+

=

−

+

=

=

t

t

t

i

t

w

Moc chwilowa przetwarzania energii pola elektrycznego w pojemności

W]

s

J

[

)

2

α

2

ω

2

sin(

LI

2

1

d

)

(

d

)

(

2
m

L

L

=

−

+

−

=

=

ϕ

t

t

t

w

t

p

Wartość średnia energii chwilowej gromadzonej w polu elektrycznym indukcyjności

( )

[J]

LI

4

1

dτ

τ

T

1

2
m

T

L

L

0

0

=

=

∫

+

∆

t

t

w

W

w

C

(t)

lub

w

L

(t)

p

C

(t)

lub

p

L

(t)

ωt

W

C

lub

W

L

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład

W obwodzie SLS o schemacie pokazanym na rysunku dobrać parametr r ZNSP tak, aby

autonomiczne źródło prądu dostarczało do obwodu energię z taką samą mocą jak ZNSP.

j

R

r

⋅i

C

C

i

C

u

i

R

A

O

I

PPK w

A

: J = j

ωC

U + I

R

NPK O

I

: U + r

j

ωC

U =R I

R

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

+

+

=

+

+

=

J

r)

C(R

jω

1

Cr

jω

1

I

J

r)

C(R

jω

1

R

U

R

Bilans mocy czynnych z jakimi w obwodzie przetwarzana jest energia elektryczna

(

dostarczanie energii )

P

J

+ P

ZNSP

= P

R

(

pobieranie energii )

Moc czynna P

R

z jaką opór R pobiera energię elektryczną z obwodu:

(

)

[

]

2

2

2

*

R

R

2

R

R

J

r)

C(R

ω

1

Cr

ω

1

R

2

1

I

I

R

2

1

I

R

2

1

P

+

+

+

=

=

=

Moc czynna P

J

z jaką autonomiczne źródło prądu j dostarcza energię do obwodu:

[ ]

]

r)

C(R

jω

1

R

Re[

2

J

J

U

Re

2

1

P

2

*

J

+

+

=

⋅

=

[

]

2

2

J

J

r)

C(R

ω

1

R

2

1

P

⋅

+

+

⋅

=

Moc czynna P

ZNSP

z jaką ZNSP dostarcza energię do obwodu:

(

)

[

]

2

2

2

J

R

ZNSP

J

r)

C(R

ω

1

Cr

ω

R

2

1

P

P

P

+

+

=

−

=

Rozwiązanie:

(

)

C

ω

1

r

:

1

Cr

ω

P

P

2

J

ZNSP

=

=

⇒

=

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Dopasowanie energetyczne obciążenia Z

o

do NZE

NZE

OBC.

E

Z

w

Z

o

U

o

I

o

Z

w

= r + jx ; r > 0

Z

o

= R + jX ; R > 0

o

w

o

Z

Z

E

I

+

=

Problem dopasowania energetycznego NZE:

Dla znanych parametrów E, Z

w

= r + jx; r > 0, NZE

wyznaczyć taką impedancję obciążenia Z

o

= R + jX; R > 0,

aby pobierała ona energię z maksymalną mocą czynną P

o max

.

Moc czynna obciążenia Z

o

:

2

E

x)

(X

r)

(R

R

I

I

R

2

1

I

R

2

1

P

2

2

2

*

o

o

2

o

o

⋅

+

+

+

=

=

=

Warunki konieczne ekstremum funkcji dwu zmiennych P

o

= f(R,X):

(

)

(

)

(

) (

)

[

]

(

)

(

) (

)

[

]

⎩

⎨

⎧

−

=

=

⇒

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

+

+

+

−

=

∂

∂

=

+

+

+

+

+

−

+

=

∂

∂

⇒

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∂

∂

=

∂

∂

x

X

r

R

0

X

x

R

r

X

x

R

2

2

E

X

P

0

X

x

R

r

X

x

R

r

2

E

R

P

0

X

P

0

R

P

2

2

2

2

o

2

2

2

2

2

2

2

o

o

o

Zadanie

:

Sprawdzić czy w punkcie A(r,–x) funkcja P

o

= f(R,X) ma ekstremum i jeśli tak to jakie ?

Warunek dopasowania energetycznego NZE

*

o

Z

Z

w

=

Moce czynne w stanie dopasowania NZE

P

E

P

w

P

o max

= P

dysp NZE

η

E

= P

o max

/ P

E

R

E

4

1

2

R

E

8

1

2

R

E

8

1

2

2

1

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Dopasowanie energetyczne obciążenia Y

0

do PZE

PZE

OBC.

J

Y

w

Y

o

U

o

Y

w

= g + jb ; g > 0

Y

o

= G + jB ; G > 0

o

w

o

Y

Y

J

U

+

=

Problem dopasowania energetycznego PZE:

Dla znanych parametrów J, Y

w

= g + jb; g > 0, PZE

wyznaczyć taką admitancję obciążenia Y

o

= G + jB; G > 0,

aby pobierała ona energię z maksymalną mocą czynną P

o max

.

Moc czynna obciążenia Y

o

:

2

J

b)

(B

g)

(G

G

U

U

G

2

1

U

G

2

1

P

2

2

2

*

o

o

2

o

o

⋅

+

+

+

=

=

=

Warunki konieczne ekstremum funkcji dwu zmiennych P

o

= f(G,B):

(

)

(

)

(

) (

)

[

]

(

)

(

) (

)

[

]

⎩

⎨

⎧

−

=

=

⇒

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

+

+

+

−

=

∂

∂

=

+

+

+

+

+

−

+

=

∂

∂

⇒

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∂

∂

=

∂

∂

b

B

g

G

0

B

b

G

g

B

b

G

2

2

J

B

P

0

B

b

G

g

B

b

G

g

2

J

G

P

0

B

P

0

G

P

2

2

2

2

o

2

2

2

2

2

2

2

o

o

o

Zadanie

:

Sprawdzić czy w punkcie A(g,–b) funkcja P

o

= f(G,B) ma ekstremum i jeśli tak to jakie ?

Warunek dopasowania energetycznego PZE

*

o

Y

Y

w

=

Moce czynne w stanie dopasowania PZE

P

E

P

w

P

o max

= P

dysp PZE

η

E

=

P

o max

/ P

E

G

J

4

1

2

G

J

8

1

2

G

J

8

1

2

2

1

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład

W obwodzie SLS w SUS pokazanym na rysunku dobrać parametry R

o

, L

o

impedancji

obciążenia Z

o

tak, aby wystąpiło dopasowanie energetyczne.

j

R

C

R

o

L

o

A

B

(

)

(

)

2

RC

ω

1

RC

jω

1

R

RC

jω

1

R

C

jω

R

1

1

Z

+

−

=

+

=

+

=

w

L

jω

R

Z

o

o

+

=

(

)

(

)

(

)

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

=

⋅

+

=

⇒

+

=

+

=

RC

R

RC

RC

ω

1

R

L

RC

ω

1

C

R

ω

X

RC

ω

1

R

R

o

2

o

2

2

o

2

o

Przykład

W obwodzie SLS w SUS pokazanym na rysunku dobrać wartość R

o

impedancji obciążenia

Z

o

mającej określoną reaktancję X

o

≠ –X

w

tak, aby wystąpiło dopasowanie energetyczne.

E

Z

w

Z

o

A

B

o

o

o

jX

R

Z

jx

r

Z

+

=

+

=

w

)

j(X

)

r

(R

E

I

o

o

o

x

+

+

+

=

2

o

2

o

)

X

(

r

R

x

+

+

=

Zadanie

W obwodzie SLS w SUS pokazanym na rysunku dobrać impedancję obciążenia Z

o

tak, aby wystąpiło

dopasowanie energetyczne. Dane: R= 1 k

Ω, L

1

= 2 mH, L

2

= 3 mH, C= 1 nF, |M|= 1 mH,

ω= 10

6

[rad/s].

E

C

R

Z

o

A

B

L

2

L

1

M

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Moc zespolona, pozorna, czynna i bierna

u

(t)

i

(t)

u(t) = U

m

cos(

ωt + α ) = Re[ U⋅e

jωt

]

i(t) = U

m

cos(

ωt + α – ϕ ) = Re[ I⋅e

jωt

]

Moc zespolona

VA]

[

I

U

2

1

S

*

⋅

=

∆

Moc pozorna

VA]

[

I

U

2

1

S

⋅

=

∆

Moc czynna

ϕ

cos

I

U

2

1

W]

[

]

I

U

Re[

2

1

P

m

m

*

=

⋅

=

∆

Moc bierna

ϕ

sin

I

U

2

1

Var]

[

]

I

U

Im[

2

1

Q

m

m

*

=

⋅

=

∆

Związek między mocami w obwodach SLS w SUS

[ ]

[ ]

jQ

P

S

Im

j

S

Re

I

U

2

1

S

*

+

=

+

=

⋅

=

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład

Dla elementów tworzących obwód SLS w SUS pokazany na rysunku wyznaczyć wszystkie moce.

E= E

m

e

j

α

R

I

C

jω

1

[ ]

[ ]

C

R

C

R

Z

Z

Z

C

jω

1

Z

R

Z

+

=

Ω

=

Ω

=

Uwaga! Strzałkowanie !

[ ]

Ω

=

−

=

−

e

Z

C

ω

1

j

R

Z

j

ϕ

[ ]

[ ]

rad

RC

ω

1

arctg

;

C

ω

1

R

Z

2

2

−

=

Ω

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

ϕ

[ ]

A

e

E

e

e

E

C

ω

1

j

R

e

E

Z

E

I

)

j(α

m

j

jα

m

jα

m

ϕ

ϕ

+

−

=

=

−

=

=

Z

Z

[ ]

V

e

E

R

I

Z

U

)

j(α

m

R

R

ϕ

+

⋅

=

=

Z

[ ]

V

e

E

C

ω

1

I

Z

U

)

2

π

j(α

m

C

C

−

+

⋅

=

=

ϕ

Z

0

Q

,

E

R

2

1

P

E

R

2

1

I

U

2

1

S

R

2

m

R

2

m

*

R

R

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

Z

Z

2

m

C

C

2

π

j

2

m

*

C

C

E

C

ω

1

2

1

Q

,

0

P

e

E

C

ω

1

2

1

I

U

2

1

S

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

−

Z

Z

2

m

E

2

m

E

2

m

*

E

E

C

ω

1

2

1

Q

,

E

R

2

1

P

E

2

1

I

E

2

1

S

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

⇒

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

=

Z

Z

Z

Z

)

!

NPK

(

U

U

E

I

U

2

1

I

U

2

1

I

E

2

1

S

S

S

C

R

*

C

*

R

*

C

R

E

+

=

⇔

+

=

⇔

+

=

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE