Sygnały

Sygnały f(t)

Stałe

Zmienne f(t)

≠ const

Okresowe

Nieokresowe

Pulsujące

Zachowujące znak

Zmieniające znak

Inne

Odkształcone

SINUSOIDALNE

Inne

Sygnał okresowy f(t)

)

(

)

(

0

T

t

f

t

f

t

T

+

=

∀

∃

>

Wartość średnia sygnału okresowego f(t)

∫

+

=

T

t

t

def

t

t

f

T

F

0

0

d

)

(

1

śr

Przykład Ob

liczyć wartość średnią nieskończonego ciągu impulsów o kształcie pokazanym na rysunku.

1

2,5

t [s]

f(t)

+3

–1

T= 2,5 [s]

0,6

F

śr

(

)

6

,

0

5

3

5

,

1

3

5

2

)d

1

(

3)d

5

,

2

0

,

1

=

=

−

=

⎟

⎟
⎠

⎞

−

+

∫

t

t

(

5

2

d

)

(

5

,

2

1

0

,

1

0

5

,

2

0

śr

⎜

⎜
⎝

⎛

+

=

=

∫

∫

t

t

f

F

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Wartość skuteczna sygnału okresowego f(t)

∫

+

=

T

t

t

def

t

t

f

T

F

0

0

d

)

(

1

2

sk

Przykład

Obliczyć wartość skuteczną nieskończonego ciągu impulsów o kształcie pokazanym na rysunku.

1

2,5

t [s]

f(t)

+3

–1

T= 2,5 [s]

0,6

F

sk

F

śr

2,05

Interpretacja energetyczna wartości skutecznej

i(t)

u(t)

R

i

(t)= i( t + T )

u

(t)= R

⋅i( t + T )

U= U

sk

R

I= I

sk

Prąd okresowy

Prąd stały

Energia wydzielona w oporze R w przedziale czasu t

0

≤ t

≤ t

0

+ T:

T

I

R

d

)

(

R

d

)

(

)

(

T)

,

(

2
sk

T

2

T

0

0

R

0

0

0

0

∫

∫

+

+

=

=

=

+

t

t

t

t

t

t

i

t

t

i

t

u

t

t

w

Wniosek: Energia wydzielona w oporze R w czasie jednego okresu T prądu
okresowego
i(t)= i( t + T ) jest równa energii, jaką w tym samym oporze i w tym samym
czasie wydzieli prąd stały o wartości I= I

sk

.

T

U

G

d

)

(

G

d

)

(

)

(

T)

,

(

2
sk

T

2

T

0

0

R

0

0

0

0

∫

∫

+

+

=

=

=

+

t

t

t

t

t

t

u

t

t

i

t

u

t

t

w

Wniosek: Energia wydzielona w oporze R w czasie jednego okresu T napięcia
okresowego u(t)= u( t + T ) jest równa energii, jaką w tym samym oporze i w
tym samym czasie wydzieli napięcie stałe o wartości U= U

sk

.

Przykład

Wyznaczyć wartość napięcia stałego dającego w rezystorze R taki sam skutek energetyczny jak napięcie

okresowe pokazane na rysunku

.

1

2,5

t [s]

u(t) [V]

+30

–10

T= 2,5 [s]

20,5

U= U

sk

(

)

05

,

2

2

,

4

5

,

1

9

5

2

d

)

1

(

d

3)

(

5

2

5

,

2

0

,

1

2

0

,

1

0

2

=

=

+

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

+

+

=

∫

∫

t

t

t

d

)

(

5

,

2

1

5

,

2

0

2

sk

=

∫

t

f

F

(

)

V

5

,

20

2

,

4

10

5

,

1

)

10

(

1

30

5

2

2

2

=

=

⋅

−

+

⋅

d

)

(

5

,

2

1

5

,

2

0

2

=

=

∫

t

t

u

U

sk

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Sygnał sinusoidalny

Przemienny pulsujący ( zmienia znak ) okresowy określony dla t

∈ (–∞, +∞ ).

(

)

ϕ

ω

α

+

⋅

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

=

t

A

t

A

t

f

m

m

cos

sin

)

(

cos

sin

)

(

A

m

– amplituda sygnału;

α(t)= ω⋅t + ϕ – faza sygnału w [rad] lub [

o

];

ω

– pulsacja sygnału w [rad/s] lub [

o

/s] – przy czym:

T

π

2

f

π

2

ω

=

=

gdzie f [Hz] – częstotliwość sygnału,

T [s] – okres sygnału;

ϕ

– faza początkowa sygnału w [rad] lub [

o

];

-2

2

4

6

8

-2

-1

1

2

ϕ

A

m

A

m

ω

t [rad]

2π

f(t)

α

(t)

(

)

ϕ

ω

α

+

⋅

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

=

t

A

t

A

t

f

m

m

cos

sin

)

(

cos

sin

)

(

A

pp

= 2A

m

A

max

= +A

m

A

min

= – A

m

ω

t

Wartość średnia sygnału sinusoidalnego

0

)

ω

sin(

ω

1

T

d

)

ω

cos(

T

T

0

T

0

śr

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

=

+

=

∫

ϕ

ϕ

t

A

t

t

A

F

m

m

Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego

2

d

2

)

2

ω

2

cos(

1

T

d

)

ω

(

cos

T

T

0

T

0

2

sk

m

m

m

A

t

t

A

t

t

A

F

=

+

+

=

+

=

∫

∫

ϕ

ϕ

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład

Jakie napięci pracy powinien mieć kondensator filtrujący włączony równolegle do sieci zasilającej odbiornik TV

System

elektroenergetyczny

C

U

sk

= 230 V

V

U

U

sk

m

325

2

=

=

Czyli, 325 < U

C

= 400 V – minimalne napięcie pracy kondensatora C ( w praktyce, lepiej U

C

= 630 V ).

Przesunięcie fazowe sygnałów sinusoidalnych

-5

-2.5

2.5

5

7.5

-2

-1

1

2

ϕ

2

ω t

f

(

t)

∆α = α

2

(t) –

α

1

(t) = (

ω

t +

ϕ

2

) – (

ω

t +

ϕ

1

) =

ϕ

2

–

ϕ

1

f

1

(t)

f

2

(t)

ϕ

1

f

1

(t) = A

1

sin

α

1

(t) = A

1

sin(

ω

t + ϕ

1

)

f

2

(t) = A

1

sin

α

2

(t) = A

2

sin(

ω

t + ϕ

2

)

Stan Ustalony Sinusoidalny (SUS)

Przykład

Przyłączenie napięcia sinusoidalnego do dwójnika RL.

R

L

e(t)

= E

m

sin

ωt

i(t)

t

i

t

t

i

ω

sin

E

R

d

)

(

d

L

m

=

+

NPK

Rozwiązanie

i(t) = i

p

(t) + i

u

(t)

:

dla t

Æ

∞

całka ogólna:

t

e

t

i

GL

1

p

C

)

(

−

=

;

i

p

(t)

Æ

0

(

)

ϕ

+

=

+

=

t

t

t

t

i

ω

sin

K

ω

cos

K

ω

sin

K

)

(

2

1

u

;

i

u

(t)

Æ

SUS

całka szczególna:

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład

Rozpływ prądów zgodnie z PPK

i

1

(t)

i

2

(t)

i

(t)

PPK w: i(t) = i

1

(t) + i

2

(t)

w

Prąd stały:

i

1

(t) = 3 A, i

2

(t) = 1 A

Æ

i(t) = i

1

(t) + i

2

(t) = 4 A.

( i po problemie ! )

Prądy sinusoidalne:

i

1

(t) = I

1m

sin

(

ωt + ϕ

1

),

i

2

(t) = I

2m

sin

(

ωt + ϕ

2

).

Dla danych:

I

1m

= 3 A,

I

2m

= 1 A,

można tylko stwierdzić, że dla przesunięcia fazy

∆α = 0: I

m

= +

4 A,

dla przesunięcia fazy

∆α = π: I

m

= +

2 A

i z tego:

+

2

≤ I

m

≤ +

4.

( i tu jest problem ! )

-2.5

2.5

5

7.5

10

12.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2.5

2.5

5

7.5

10

12.5

-2.5

2.5

5

7.5

10

12.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Cały czas obowiązuje PPK dla węzła w:

i(t) = i

1

(t) + i

2

(t)

∆α = 0

∆α = 90

0

∆α = 180

0

sygnały w fazie

pośrednie przesunięcie fazowe

sygnały w przeciwfazie

i

1

(t) = 3 sin

(

ωt )

i

1

(t) = 3 sin

(

ωt )

i

1

(t) = 3 sin

(

ωt )

i

2

(t) = 1 sin

(

ωt )

i

2

(t) = 1 sin

(

ωt + π/2)

i

2

(t) = 1 sin

(

ωt + π)

i(t) = 4 sin

(

ωt )

i(t)

≈

10

sin

(

ωt +

18

0

)

i(t) = 2 sin

(

ωt )

Metoda bezpośredniej analizy obwodów znajdujących się w SUS jest „nieco” uciążliwa, aczkolwiek
wykonalna, i w związku z tym powstała metoda symboliczna oparta na liczbach zespolonych.

Kiedy w obwodzie jest „Stan Ustalony Sinusoidalny”

Obwód SLS znajduje się w stanie sinusoidalnym ustalonym ( SUS ) jeśli:

1. wszystkie obwodowe funkcje wymuszające ( napięcia e

n

(t) i prądy j

p

(t)

autonomicznych źródeł wymuszających ) mają przebieg sinusoidalny o
jednakowej pulsacji

ω;

2. autonomiczne źródła wymuszające działają w obwodzie nieskończenie długo – co

oznacza, że składowe przejściowe ( całki ogólne ), związane z zaistniałą w obwodzie
w chwili początkowej t

0

komutacją oraz początkowymi energiami w

C

(t

0

) i w

L

(t

0

)

zgromadzonymi w konserwatywnych elementach C i L, wszystkich obwodowych
funkcji gałęziowych zanikły do zera;

3. wszystkie obwodowe funkcje gałęziowe ( napięcia e

g

(t) i prądy j

g

(t) gałęzi ) mają

przebieg sinusoidalny o jednakowej pulsacji

ω – oznacza to brak w obwodzie

półdegeneracji w postaci przekrojów pojemnościowych ( złożonych z pojemności i
autonomicznych źródeł prądu ) i oczek indukcyjnych ( złożonych z indukcyjności i
autonomicznych źródeł napięcia )

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Półdegeneracje czyli przekroje „C” i oczka „L”

L

2

L

1

L

3

e(t)

I= ?

Oczko indukcyjne

W oczku indukcyjnym

może płynąć dowolny stały prąd I,

powodując, że prądy gałęziowe

nie będą miały przebiegu sinusoidalnego,

natomiast napięcia gałęziowe będą miały

przebieg sinusoidalny.

j(t)

U= ?

Przekrój pojemnościowy

C

1

C

2

Na przekroju pojemnościowym

może panować dowolne stałe napięcie U,

powodując, że napięcia gałęziowe

nie będą mały przebiegu sinusoidalnego,

natomiast prądy gałęziowe będą miały

przebieg sinusoidalny.

Obwód I

Obwód II

Przykład

W obwodzie pokazanym na rysunku, wyznaczyć przebieg napięcia u

LC

(

t

).

j(t)= J

sin(

ω

t)

⋅1(t)

C

R

L

u

LC

(t)=?

PRZEKRÓJ „C”

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

( )

(

)

)

(

ω

cos

1

J

Cω

1

d

)

(

C

1

)

(

)

(

ω

sin

LJ

)

(

ω

cos

J

Lω

d

)

(

d

L

)

(

)

(

ω

sin

RJ

)

(

m

0

C

m

m

L

m

R

t

t

j

t

u

t

t

t

t

t

t

j

t

u

t

t

t

u

t

1

δ

1

1

⋅

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

⋅

+

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

=

∫

τ

τ

Pełna odpowiedź:

[

]

)

(

ω

sin

LJ

)

(

Cω

1

J

)

(

ω

cos

Cω

1

Lω

J

)

(

)

(

)

(

m

m

m

C

L

LC

t

t

t

t

t

t

u

t

u

t

u

δ

1

1

⋅

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

+

=

Odpowiedź w stanie ustalonym ( t

Æ

∞)

:

)

(

U

)

(

ω

cos

U

)

(

Cω

1

J

)

(

ω

cos

Cω

1

Lω

J

)

(

(LC)0

(LC)m

m

m

LC

t

t

t

t

t

t

t

u

1

1

1

1

⋅

+

⋅

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

Przykład

To samo co w poprzednim przykładzie ale dla wymuszenia j(t)= J

m

cos

ωt ⋅1(t)

( )

)

(

ω

sin

J

Cω

1

d

)

(

C

1

)

(

)

(

ω

cos

LJ

)

(

ω

sin

J

Lω

d

)

(

d

L

)

(

)

(

ω

cos

RJ

)

(

m

0

C

m

m

L

m

R

t

t

j

t

u

t

t

t

t

t

t

j

t

u

t

t

t

u

t

1

δ

1

1

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

⋅

+

⋅

⋅

−

=

=

⋅

⋅

=

∫

τ

τ

Pełna odpowiedź:

[

]

)

(

ω

cos

LJ

)

(

2

π

ω

cos

Cω

1

Lω

J

)

(

)

(

)

(

m

m

C

L

LC

t

t

t

t

t

u

t

u

t

u

δ

1

⋅

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

+

=

Odpowiedź w stanie ustalonym ( t

Æ

∞)

:

)

(

2

π

ω

cos

U

)

(

2

π

ω

cos

Cω

1

Lω

J

)

(

(LC)m

m

LC

t

t

t

t

t

u

1

1

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE