Przykład
Wyznaczyć impedancję Z(
ω) dwójnika pokazanego na rysunku.
R
1
L
R
2
C
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω) = [Y
2
(
ω)]
–1
Z(
ω) = Z
1
(
ω) + Z
2
(
ω)
Z
1
(
ω) = R
1
+ j
ωL [Ω]
Y
2
(
ω) = G
2
+ j
ωC [S]
C
G
L
R
Y
L
R
Z
jω
1
jω
)
ω
(
1
jω
)
ω
(
2
1
2
1
+
+
+
=
+
+
=
(
)(
)
C
G
C
G
C
G
L
R
Z
jω
jω
jω
jω
)
ω
(
2
2
2
1
−
+
−
+
+
=
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
1
ω
ω
ω
j
ω
)
ω
(
C
G
C
L
C
G
G
R
Z
r(
ω)
j
⋅x(ω)
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
+
+
=
+
=
2
2
2
2
2
2
2
1
ω
ω
ω)
(
ω
ω)
(
ω)
(
j
ω)
(
)
ω
(
C
G
C
L
x
C
G
G
R
r
x
r
Z
Z(
ω)
Reaktancja x(
ω) [Ω] Charakter
impedancji
Z(
ω) [Ω]
( )
0
ω
ω
ω)
(
2
2
2
>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
C
G
C
L
x
Indukcyjny
( )
0
ω
ω
ω)
(
2
2
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
C
G
C
L
x
Rezystancyjny
( rezonans )
( )
0
ω
ω
ω)
(
2
2
2
<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
C
G
C
L
x
Pojemnościowy
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
r
(
ω)
x
(
ω)
Z
(
ω)
α
(
ω)>0
r
(
ω)
x
(
ω)
Z
(
ω)
r
(
ω)
Z
(
ω)
α
(
ω)<0
α
(
ω)=0
Charakter
L
Charakter
R
Charakter
C
x
(
ω)=0
Trójkąty impedancji: Z(
ω) = r(ω) + j x(ω)
im
re
g
(
ω)
b
(
ω)
Y
(
ω)
β
(
ω)>0
g
(
ω)
b
(
ω)
Y
(
ω)
g
(
ω)
Y
(
ω)
β
(
ω)<0
β
(
ω)=0
Charakter
L
Charakter
R
Charakter
C
b
(
ω)=0
Trójkąty admitancji: Y(
ω) = g(ω) + j
b(
ω)
im
re
Przykład
Wyznaczyć graficznie impedancję Z(
ω) dwójnika z poprzedniego przykładu.
ωL
Z
1
(
ω)
G
2
ωC
Y
2
(
ω)
Pomocniczy trójkąt admitancji
Trójkąt impedancji
Y
2
(
ω)
ϕ
–
α
Z
2
(
ω)=[Y
2
(
ω)]
–1
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω)
im
re
1
2
3
4
+
α
„Odwracanie” admitancji
Rozwiązanie
R
1
Z(
ω)
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Zamiana postaci dwójnika znajdującego się w SUS
r(
ω)
j
⋅x(ω)
Z(
ω) = r(ω) + j
x(
ω)
g(
ω)
j
⋅b(ω)
Y(
ω) = g(ω) + j
b(
ω)
Warunek transfiguracji: Z(
ω)Y(ω) = 1
U
I
I
U
Dana jest postać szeregowa: Z(
ω) = r(ω) + j
x(
ω). Wyznaczyć postać równoległą.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
−
=
+
=
=
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
j
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
j
)
ω
(
)
ω
(
j
)
ω
(
1
)
ω
(
1
)
ω
(
2
2
2
2
2
2
x
r
x
x
r
r
x
r
x
r
x
r
Z
Y
Dane Wynik
Z(
ω) = r(ω) + j
x(
ω)
Y(
ω) = g(ω) + j
b(
ω)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
−
=
=
+
=
2
2
2
2
2
2
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
Z
x
x
r
x
b
Z
r
x
r
r
g
Y(
ω) = g(ω) + j
b(
ω)
Z(
ω) = r(ω) + j
x(
ω)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
−
=
=
+
=
2
2
2
2
2
2
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
)
ω
(
Y
b
b
g
b
x
Y
g
b
g
g
r
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład Znając postać szeregową impedancji Z(
ω) wyznaczyć jej postać równoległą Y(ω).
R
j
ωL
Z(
ω) = R + j
ωL
( )
2
2
ω
ω)
(
L
R
R
g
+
=
( )
( )
2
2
ω
ω
ω)
(
L
R
L
b
+
−
=
( )
( )
( )
2
2
2
2
ω
ω
j
ω
ω)
(
L
R
L
L
R
R
Y
+
−
+
=
Przykład
Dzielnik napięcia pokazany na rysunku znajduje się w SUS i zasilany jest napięciem sinusoidalnym:
u(t)= 6cos(
ωt + 45
°
) V;
ω= 1 Mrad/s. Wyznaczyć jego napięcie wyjściowe u
2
(t). Wyliczyć wszystkie prądy i
napięcia oraz narysować wykresy wskazowe. Dane: R
1
= 0,5 k
Ω, R
2
= 1 k
Ω, C
1
= 1 nF, C
2
=8 nF.
R
2
C
2
Y
1
(
ω)
Y
1
(ω)= [Z
1
(ω)]
–1
= G
1
+ jωC
1
[S]
Y
2
(ω)= [Z
2
(ω)]
–1
= G
2
+ jωC
2
[S]
R
1
C
1
Y
2
(
ω)
U
U
2
U
U
2
1
2
2
Z
Z
Z
+
=
U
1
I
U
U
1
1
1
U
U
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Z
Z
Z
+
=
+
=
+
=
U = 6
e
j45
°
V =
1)
j
1
(
2
3
+
V
G
1
= 2 mS, B
1
=
ωC
1
= 10
6
⋅1⋅10
–9
= 1 mS:
Y
1
= ( 2 + j1 ) mS
G
2
= 1 mS, B
2
=
ωC
2
= 10
6
⋅8⋅10
–9
= 8 mS:
Y
2
= ( 1 + j8 ) mS
(
)(
)
(
)(
)
(
)
V
2
e
j1
1
6e
j9
3
j9
3
j9
3
j1
2
6e
j9
3
j1
2
U
4
π
4
π
4
π
j
j
j
2
=
−
=
−
+
−
+
=
+
+
=
V
2
U
2
=
;
V
10
cos
2
)
(
6
2
t
t
u
=
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
NPK: U
1
+ U
2
= U:
V
3)
j
2
(
2
2
1)
j
1
(
2
3
U
1
+
=
−
+
=
mA
3)
j
2
(
2
2
U
G
I
1
1
R
1
+
=
⋅
=
mA
2)
j
3
(
2
U
jB
I
1
1
C
1
+
−
=
⋅
=
mA
2
mA
2
1
U
G
I
2
2
R
2
=
⋅
=
⋅
=
mA
2
j8
mA
2
j8
U
jB
I
2
2
C
2
=
⋅
=
⋅
=
mA
8)
j
1
(
2
I
I
I
I
I
2
2
1
1
C
R
C
R
+
=
+
=
+
=
U
U
2
U
1
I
C2
I
R2
I
I
R1
I
C1
re
im
ϕ < 0
( charakter C )
Wykres wskazowy napięć i prądów
Z
1
Z
2
Z
Trójkąt impedancji
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład
W obwodzie SLS ( mostek Boucherota ) o schemacie pokazanym na rysunku wyznaczyć prąd I.
L
C
Z(
ω)
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω)
I
E
jL
ω
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω)
B
A
B
A
Z
w
(
ω)
jCω
1
jL
ω
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω)
B
A
U
0
(
ω)
jCω
1
E
U
1
(
ω)
U
L
(
ω)
I
L
I
C
jL
ω
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω)
B
A
Z
w
(
ω)
jCω
1
Obliczanie napięcia jałowego U
0
Obliczanie impedancji wewnętrznej Z
w
Metoda I ( tw. Thevenina )
2
2
1
2
1
2
1
LCω
1
Lω
j
Lω
j
1
Cω
j
1
1
)
ω
(
−
+
+
=
+
+
+
=
Z
Z
Z
Z
Y
Y
Z
w
NPK: U
1
– U
L
– U
0
= 0
Z(
ω)
I
A
Z
w
(
ω)
B
U
0
Z
Z
U
I
0
+
=
w
E
LCω
1
LCω
U
E
1
LCω
LCω
E
jCω
1
jLω
jLω
)
ω
(
U
E
)
ω
(
U
2
2
2
1
1
0
2
2
L
2
1
1
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
−
=
+
=
+
=
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(
)
(
)
E
jLω
LCω
1
LCω
LCω
1
E
LCω
1
Lω
j
LCω
1
LCω
I
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
+
=
−
+
+
+
−
+
+
=
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Jeśli:
ωC
1
ωL
=
, to:
E
jCω
jLω
E
I
−
=
=
Metoda II ( PK )
Cω
1
j
Z
C
−
=
Z
L
= j
ωL ,
Jeśli:
ωC
1
ωL
=
, to:
Z
L
= – Z
C
.
PPK W
A
: I
L
= I + I
C
(*)
(*) mnożymy obustronnie przez Z
L
Z
L
I
L
= Z
L
I + Z
L
I
C
Z
L
I
L
– Z
L
I
C
= Z
L
I
Z
L
I
L
+ Z
C
I
C
= Z
L
I
E =
Z
L
I = – Z
C
I
C
L
Z
E
Z
E
I
−
=
=
E
jCω
jLω
E
I
−
=
=
Elementy sprzężone magnetycznie w SUS
L
1
L
2
i
1
i
2
u
1
u
2
M
12
= M
21
= M
dt
di
dt
di
u
dt
di
dt
di
u
2
2
1
21
2
2
12
1
1
1
L
M
M
L
+
±
=
±
+
=
U
1
= + jX
1
⋅I
1
± jX
M
⋅I
2
U
2
=
± jX
M
⋅I
1
+ jX
2
⋅I
2
gdzie: X
1
=
ωL
1
, X
2
=
ωL
2
, X
M
=
ωM.
(0,1)
k
;
L
L
k
M
2
1
∈
=
Jeśli w obwodzie SLS występują elementy sprzężone magnetycznie, to w celu
rozwiązania obwodu należy stosować metody PRĄDOWE !
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Elementy sprzężone magnetycznie mające wspólny węzeł
L
2
i
2
u
2
M
L
1
i
1
u
1
i
2
u
2
i
1
u
1
– M
u
Sprzężenie ZGODNE
Bez sprzężeń
L
2
+
M
L
1
+
M
L
2
i
2
u
2
M
L
1
i
1
u
1
i
2
u
2
L
1
–
M
i
1
u
1
+ M
u
Sprzężenie PRZECIWNE
Bez sprzężeń
L
2
–
M
Przykład
Wyznaczyć impedancję zastępczą Z dwójnika A-B pokazanego na rysunku.
L
I
1
M
L
I
I
2
C
U
R
L + M
C
R
– M
Bez sprzężeń
O
1
O
2
A
L + M
I
U
Z
=
A
B
A
B
Sposób I ( zastosowanie PK)
PPK W
A
:
I = I
1
+ I
2
NPK O
1
:
( j
ωL
I + j
ωM
I
1
) + ( j
ωL
I
1
+ j
ωM
I
) + R
I
1
= U
Cω
j
1
NPK O
2
:
( j
ωL
I
1
+ j
ωM
I
) + R
I
1
–
I
2
= 0
Powyższy układ równań należy rozwiązać tak, aby wyznaczyć impedancję
I
U
Z
=
dwójnika A-B.
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Sposób II ( zastosowanie metody eliminacji sprzężeń)
jMω
jCω
1
1
M)ω
j(L
R
1
1
M)ω
j(L
Z
−
+
+
+
+
+
=
[
]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
+
=
Cω
1
Lω
j
R
jMω
jCω
1
M)ω
j(L
R
M)ω
j(L
Z
(
)
2
2
CMω
1
jRCω
)
LCω
1
(
M)ω
j(L
R
M)ω
j(L
Z
+
+
−
+
+
+
+
=
ITD.…
Transformacja impedancji przez sprzężenie magnetyczne
L
1
Z
1
(
ω)
Z
2
(
ω)
L
2
M
1
1′
2
2′
I
1
I
2
U
1
O
1
O
2
Z
11
′
(ω)
Transformator powietrzny
NPK O
1
:
U
1
= Z
1
⋅I
1
+ j
ωL
1
⋅I
1
– j
ωM⋅I
2
NPK O
2
:
0 = Z
2
⋅I
2
+ j
ωL
2
⋅I
2
– j
ωM⋅I
1
U
1
= ( Z
1
+ j
ωL
1
)
⋅I
1
– j
ωM⋅I
2
0 = – j
ωM⋅I
1
+ ( Z
2
+ j
ωL
2
)
⋅I
2
U
1
=
Z
11
⋅I
1
– j
ωM⋅I
2
0 = – j
ωM⋅I
1
+ Z
22
⋅I
2
gdzie:
Z
11
= Z
1
+ j
ωL
1
– impedancja własna obwodu pierwotnego;
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Z
22
= Z
2
+ j
ωL
2
– impedancja własna obwodu wtórnego.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
=
1
22
2
2
11
1
1
22
2
I
Z
M
ω
Z
U
I
Z
ωM
j
I
Impedancja dwójnika 1-1
′:
'
22
11
22
2
2
11
11
Z
Z
Z
M
ω
Z
Z
'
+
=
+
=
Impedancja wnoszona z obwodu wtórnego do pierwotnego:
( )
22
2
22
Z
ωM
Z
=
'
Z
1
(
ω)
1
1′
I
1
U
1
O
1
Z
11
′
(ω)
jωL
1
( )
( )
ω
jL
Z
ωM
Z
ωM
Z
2
2
2
22
2
22
+
=
=
'
Z
11
(
ω)
Impedancja wnoszona z obwodu
wtórnego do obwodu pierwotnego.
Schemat zastępczy indukcyjności sprzężonych magnetycznie
Przykład
Dobrać taką wartość pojemności C
2
aby
∠( U, I ) = 0 ( były w fazie ).
L
1
R
1
C
2
L
2
M
1
1′
2
2′
I
U
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
R
1
1
1′
I
U
Z
11
′
(
ω)
j
ωL
1
( )
ω
jL
ω
jC
1
ωM
Z
2
2
2
22
+
=
'
Z
11
(
ω
)
∠( U, I ) = 0 Î Im[Z
11
′
] = 0
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
ω
C
1
ω
L
ωM
ω
L
j
R
Z
2
2
2
1
1
11
'
[0,1)
k
;
)ω
k
(1
L
1
)ω
M
L
(L
L
C
2
2
2
2
2
2
1
1
2
∈
−
=
−
=
Transformacja napięciowego źródła ( energii )
L
1
Z
w
(
ω)
Z
2
(
ω)
L
2
M
2
2′
I
1
I
2
E
0
U
2
NZE
2′
2
Z
1
(
ω)
E
NZE
1′
1
Określenie impedancji wewnętrznj Z
w
Zgodnie z uprzednimi rozważaniami:
(
) ( )
ω
jL
Z
ωM
ω
jL
Z
Z
M
ω
Z
Z
1
1
2
2
2
11
2
2
22
+
+
+
=
+
=
w
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Określenie napięcia źródłowego E
0
NPK dla obwodu pierwotnego ( I
2
= 0 ):
E = ( Z
1
+ j
ωL
1
)
⋅I
1
NPK dla obwodu wtórnego ( I
2
= 0 ):
U
2
= j
ωM⋅I
1
= E
0
( uwaga na początki !)
E
ω
jL
Z
ωM
j
E
1
1
0
+
=
Przykład Dla jakiej pulsacji
ω kąt ∠(E,I
2
) = 0.
L
1
Z
w
(
ω)
R
L
2
M
2
2′
I
1
I
2
E
0
2′
2
E
1′
1
U
2
C
U
2
R
I
2
R
Z
E
I
0
2
+
=
w
E
L
M
E
;
L
ωM
Cω
1
ω
L
j
Z
1
0
1
2
2
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
w
E
L
M
L
ωM
Cω
1
ω
L
j
R
1
I
1
1
2
2
2
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
)
M
L
L
(
C
L
ω
2
2
1
1
−
=
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Document Outline