Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
1
Wybrane rozkłady zmiennych losowych
1.
Rozkład dwumianowy
Załóżmy, że wykonujemy n prób losowych. Każda próba losowa jest niezależna tzn. na
i-ty
wynik nie wpływa to co zdarzyło się w innych próbach. W każdej pojedynczej próbie
losowej
może zajść interesujące nas zdarzenie (sukces) lub może nie zajść (porażka). Załóż-
my też, że znamy prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w pojedynczej próbie, i że jest ono
stałe we wszystkich n próbach. Prawdopodobieństwo to oznaczmy przez p, natomiast praw-
dopodobieństwo porażki przez q = 1 – p. Pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia
polegające na tym, że wśród n prób sukces wystąpi k razy. Prawdopodobieństwo tego zdarze-
nia, oznaczane przez P(k),
można obliczyć z poniższego wzoru
*
( )
k
n
k
q
p
k
n
k
−
=
P
(1).
Wzór (1)
nosi nazwę wzoru dwumianowego Bernoulliego, a samo sformułowanie zagad-
nienia – schematu Bernoulliego.
Dla przypomnienia symbol
k
n
w powyższym równaniu oznacza
(
)
!
!
!
k
n
k
n
−
.
PRZYKŁAD 1.1. Niech, prawdopodobieństwo tego, że sztuka wybrana losowo z partii towaru jest dobra,
wynosi p
= 0.98. Załóżmy, że losowanie sztuki z partii towaru dokonujemy za każdym razem ze zwrotem, tak
aby zdarzenia polegające na losowaniu sztuk były niezależne. Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na
100 losowo wybranych sztuk
dobrych będzie:
a) 98,
b) 99,
c) 100.
Ad. a). Zadanie rozwiązujemy korzystając ze wzoru (1). Ponieważ losujemy 100 sztuk, podstawiamy do
wzoru n
= 100. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że spośród tych n sztuk, 98 będzie bez wad.
W takim razie k
= 100, przy czym nie jest ważne w jakiej kolejności wylosujemy te 98 detali. Prawdopodobień-
stwo tego, że w pojedynczym losowaniu detal będzie bez wad wynosi p = 0.98. W takim razie szansa wylosowa-
ni wadliwej sztuki wynosi q = 1 – p = 0.02.
Ostatecznie po podstawieniu wartości do wzoru, otrzymujemy
( )
(
)
( )
(
)
273
.
0
02
.
0
98
.
0
!
98
100
!
98
!
100
98
P
!
!
!
P
98
100
98
≈
⋅
−
=
=
−
=
−
−k
n
k
q
p
k
n
k
n
k
.
Ad. b), c). Prawdopodobieństwo wylosowania 99 i 100 sztuk bez wad obliczamy analogicznie jak dla ppkt.
a
, podstawiając odpowiednio za k wartości 99 oraz 100. Wyniki dla tych wartości przedstawione są poniżej
( )
27
.
0
99
P
≈
,
( )
133
.
0
100
P
≈
.
PRZYKŁAD 1.2. Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo te-
go, że orzeł wypadnie 5 razy (kolejność wypadnięcia orła nie ma znaczenia).
Ponieważ wykonujemy 10 rzutów monetą, dlatego w rozwiązaniu przyjmujemy n = 10. Interesuje nas wy-
padniecie 5 razy orła, czyli k = 5. Prawdopodobieństwo sukcesu (wypadnięcia orła) w pojedynczym rzucie wy-
nosi p
= 1/2 a porażki q = 1 – p = 1/2. Podstawiając te wartości do wzoru (1) otrzymujemy
( )
(
)
246
.
0
2
1
2
1
!
5
10
!
5
!
10
5
P
5
10
5
≈
⋅
−
=
−
.
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
2
W schemacie Bernoulliego zmienną losową jest liczba oznaczająca ilość sukcesów w n
próbach. Oznaczmy tą zmienną losową przez K, natomiast małą literą k będziemy oznaczać
konkretną wartość jaką ta zmienna losowa może przyjąć. Gdy wykonujemy n pojedynczych
prób, to spośród tych n prób interesujące nas zdarzenie może nie zajść w ogóle k = 0, może
zachodzić za każdym razem k = n, lub może zajść jakąś pośrednią ilość razy 0 < k < n. Ozna-
cza to, że K przyjmuje tylko wartości całkowite tj. k = 0, 1, 2, ..., n.
Jak wygląda rozkład prawdopodobieństwa P(K=k, n, p)
(I
(1)
)
zmiennej losowej K? Spróbuj-
my to pokazać na przykładzie doświadczenia losowego polegającego na rzuceniu 20 razy
symetryczną kostką do gry. Interesuje nas prawdopodobieństwo wypadnięcia szóstki k razy.
Wiadomo, że prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym rzucie wynosi p = 1/6, a praw-
dopodobieństwo porażki, czyli wypadnięcia czegokolwiek oprócz szóstki, wynosi q = 1 – p =
5/6.
Aby narysować rozkład zmiennej losowej K należy wykonać obliczenia dla każdej warto-
ści k = 0, 1, 2, ..., n posługując się równaniem . Zestawienie wyników obliczeń umieszczo-
no w tabeli 1, natomiast wykres funkcji
prawdopodobieństwa P(k) przedstawiono w dwóch
postaciach na rys. 1 i 2.
Tab. 1. Zestawienie pra
wdopodobieństw zmiennej losowej K w rozkładzie dwumianowym
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(k)
0.026
0.104
0.198
0.238
0.202
0.129
0.065
0.026
0.008
0.002
4.93
∙10
-4
k
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P(k)
8.97
∙10
-5
1.35
∙10
-5
1.66
∙10
-6
1.66
∙10
-7
1.33
∙10
-8
8.28
∙10
-10
3.90
∙10
-11
1.30
∙10
-12
2.74
∙10
-14
2.74
∙10
-14
Rys. 1
. Prawdopodobieństwo P(k) w rozkładzie
dwumianowym przy p = 1/6, n = 20
Rys. 2
. Prawdopodobieństwo P(k) w rozkładzie
dwumianowym (przy p = 1/6, n = 20)
przedstawione w postaci histogramu
Wysokość słupków na histogramie (rys. 2) odpowiada liczbowo wartości P(k) a szerokość
każdego prostokąta wynosi 1 tak aby suma pól wszystkich prostokątów wynosiła 1. Jeśli
zsumowalibyśmy wszystkie prawdopodobieństwa z tabeli 1, to suma ta wynosi 1.
Analizując przedstawiony wykres rozkładu zmiennej losowej K widać, że P(k) najpierw
rośnie, a następnie od pewnej wartości k (k
max
) maleje. Przybliżoną wartość k
max
, przy której
P(k) jest
największe, dla małych wartości n (n < 30) można obliczyć z następującego wzoru
*
q
np
k
−
≈
max
(2),
natomiast dla n
≥ 30 człon q w powyższym równaniu można opuścić dostając
(I)
W niektórych podręcznikach do oznaczenia funkcji prawdopodobieństwa P(k) dodaje się jeszcze n i p, stąd
oznaczenie P(K=k, n, p).
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
3
*
np
k
≈
max
(3).
Wielkość k
max
, obliczona z powyższych równań, w niektórych przypadkach może przyjąć
wartość rzeczywistą mimo tego, że k jest liczbą całkowitą od 0 do n.
Dystrybuanta zmiennej losowej K
ma postać
*
( )
>
≤
<
≤
=
∑
<
−
n
x
n
x
q
p
k
n
x
x
F
x
k
k
n
k
K
dla
1
0
dla
0
dla
0
(4).
W powyższym równaniu dopisano indeks dolny „K” tak aby zaznaczyć, że dystrybuanta
dotyczy właśnie tej zmiennej losowej. Zmienna x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przypo-
mnijmy, że dystrybuanta to taka funkcja, która określa jakie jest prawdopodobieństwo tego,
że zmienna losowa, w naszym przypadku K, przyjmie wartość mniejszą od x.
Zmienna losowa K
ma wartość oczekiwaną
*
( )
np
K
E
=
(5)
oraz wariancję
*
( )
npq
K
D
=
2
(6).
PRZYKŁAD 1.3. Rzucamy 20 razy symetryczną kostką do gry. Interesuje nas zdarzenie polegające na wy-
padnięciu jedynki k razy. Obliczyć:
a)
przybliżoną wartość k
max
, dla którego P(k
) jest największe,
b)
wartość oczekiwaną i wariancję,
c)
dystrybuantę dla x = 2.1.
Ad. a). Ponieważ n < 30 przy obliczaniu k
max
posługujemy się wzorem (2). Prawdopodobieństwo sukcesu
(wypadnięcie jedynki) w pojedynczym rzucie wynosi p = 1/6, a porażki q = 1 – p = 5/6. Rzutów wykonujemy
n
= 20. Podstawiając do wzoru otrzymujemy
5
.
2
6
5
6
1
20
max
=
−
⋅
=
−
≈
q
np
k
.
Ad. b).
Wartość oczekiwaną oraz wariancję obliczamy posługując się równaniami (5) i (6)
( )
33
,
3
6
1
20
≈
⋅
=
= np
K
E
,
( )
78
.
2
6
5
6
1
20
2
≈
⋅
⋅
=
= npq
K
D
.
Ad. c).
W naszym zadaniu za sukces uważamy wypadnięcie jedynki. Jak już wiemy, prawdopodobieństwo
sukcesu w pojedynczym rzucie wynosi 1/6. Jeśli za sukces uważalibyśmy wypadnięcie szóstki, a nie jedynki, to
prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym rzucie również wynosiłoby 1/6. W związku w naszym zadaniu,
do obliczenia dystrybuanty, możemy posłużyć się wynikami przedstawionymi w tabeli 1. Dystrybuantę liczymy
ze wzoru (4)
. Widzimy tam, że dla x < 0 wynosi ona 0. Rozpiszmy znak sumy występujący w tym wzorze dla
x = 2.1
2
2
1
1
1
.
2
0
0
2
1
0
−
−
=
<
−
−
+
+
=
∑
n
n
x
k
n
k
n
k
q
p
n
q
p
n
q
p
n
q
p
k
n
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
4
Składniki powyższej sumy są już wyliczone w tabeli 1. Należy je tylko dodać do siebie
328
.
0
198
.
0
104
.
0
026
.
0
1
.
2
=
+
+
=
∑
=
<
−
x
k
k
n
k
q
p
k
n
.
Ostatecznie, wartość dystrybuanty równa jest powyższej sumie
( )
328
.
0
1
.
2
=
K
F
.
Wartość ta mówi nam, że jeśli będziemy rzucać 20 razy kostką do gry to prawdopodobieństwo wypadnięcia
jedynki mniej niż 2.1 razy wynosi 0.328.
2.
Rozkład Poissona
Zmienna losowa Z
ma rozkład Poissona, jeśli może przyjmować wartości wyrażające się
liczbami całkowitymi nieujemnymi (z = 0, 1, 2, ...), z prawdopodobieństwami
*
(
)
λ
−
λ
=
λ
=
e
z
z
Z
z
!
,
P
(7)
gdzie
λ = np
jest parametrem tego rozkładu
(II
Dystrybuanta zmiennej losowej Z
w rozkładzie Poissona przedstawia się następująco
)
.
*
( )
>
≤
=
∑
<
−
0
dla
!
0
dla
0
x
e
z
x
x
F
x
z
z
Z
λ
λ
(8)
a wartość oczekiwana i wariancja są sobie równe
*
( )
( )
np
Z
D
Z
E
=
=
2
(9).
Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla rozkładu dwumianowego. Jeśli n rośnie
nieograniczenie, a p
zmienia się wraz z n w ten sposób, że iloczyn np jest stały, to dla każde-
go z
zachodzi zbieżność rozkładu dwumianowego do rozkładu Poissona. Oznacza to, że
w
niektórych przypadkach możemy przybliżyć rozkład dwumianowy, który dla dużych n
wymaga sporego na
kładu obliczeń, rozkładem Poissona. Przyjmuje się zwykle, że przybliże-
nie to jest wystarczająco dobre, gdy n ≥ 20 i jednocześnie p ≤ 0.2.
Rozkład Poissona często nazywany jest rozkładem zdarzeń rzadkich. Stosowany jest tam
gdzie prawdopodobieństwo sukcesu jest małe.
PRZYKŁAD 2.1. W pewnym zakładzie pracy, na podstawie długotrwałych obserwacji, stwierdzono, że
prawdopodobieństwo wystąpienia w ciągu dnia awarii pewnej maszyny wynosi 0.003. Obliczyć jakie jest praw-
dopodobi
eństwo tego, że dana maszyna zepsuje się w ciągu roku nie więcej niż 1 raz.
Prawdopodobieństwo sukcesu (awarii maszyny w ciągu dnia) wynosi p = 0.003, natomiast ilość dni w roku
wynosi n
= 365. Ponieważ p jest małe (≤ 0.2), a n duże (≥ 20) zadanie rozwiązujemy korzystając z rozkładu
Poissona. Zmienną losową Z jest ilość awarii w ciągu roku. My chcemy aby ilość tych awarii nie była większa
od 1. A więc musimy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu roku maszyna nie zepsuje się ani raz, tj.
P(Z = 0,
λ), oraz prawdopodobieństwo tego, że zepsuje się dokładnie jeden raz, tj. P(Z = 0, λ). Następnie praw-
dopodobieństwa te należy dodać do siebie. Obliczenia poszczególnych prawdopodobieństw (dla Z = 0 oraz Z =
1) wykonujemy posługując się wzorem (7). Natomiast ich sumowanie, to jest nic innego jak liczenie dystrybuan-
ty (znak sumy we wzorze (8)).
(II)
Zmienne n i p oznaczają to samo co w rozkładzie dwumianowym.
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
5
Musimy jeszcze
wcześniej obliczyć parametr λ. Ma on wymiar wartości średniej, jak w rozkładzie dwumia-
nowym, mianowicie
λ = n∙p = 365 ∙ 0.003 = 1.095. Wartość ta oznacza, że średnio w ciągu roku dana maszyna
ulega awarii 1.095 razy.
Liczymy poszczególne prawdopodobieństwa (wzór (7))
(
)
335
.
0
!
0
095
.
1
095
.
1
,
0
P
095
.
1
0
≈
=
=
−
e
Z
,
(
)
366
.
0
!
1
095
.
1
095
.
1
,
1
P
095
.
1
1
≈
=
=
−
e
Z
.
Suma powyższych wartości, czyli dystrybuanta (wzór (8)), tj. prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa
Z
przyjmie wartość mniejszą od jakiejś liczy rzeczywistej x, czyli P(Z < x). Ponieważ ilość Z awarii jest liczbą
całkowitą, x należy obrać co najmniej 2 ale mniejsze od 3. Dlaczego akurat tak? Spójrzmy na równanie dystry-
buanty. Dla wszystkich x
≤ 0 jej wartość wynosi zero. Dla x = 1 tylko jedna liczba całkowita Z jest mniejsza od
1, mianowicie 0. Z kolei dla x
= 2 mamy dwie liczby całkowite Z mniejsze od 2, tj. 0 i 1 (mamy już obliczone
P(Z = 0) i P(Z = 1))
. Jeśli w naszym zadaniu liczylibyśmy dystrybuantę dla x z przedziału np. [3, 4) to musieliby-
śmy jeszcze wyliczyć P(Z =2) a wartość tej dystrybuanty byłaby równa prawdopodobieństwu tego, że w ciągu
roku liczba awarii będzie mniejsza lub równa od 2, a więc o jedną więcej niżeli w treści zadania. Ostatecznie,
prawdopodobieństwo liczymy jak poniżej
(
)
(
) (
)
λ
λ
,
1
P
,
0
P
2
=
+
=
=
=
Z
Z
x
F
Z
,
(
)
701
.
0
0.366
0.335
2
=
+
=
=
x
F
Z
.
3.
Rozkład normalny
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeśli jej funkcja gęstości prawdopo-
dobieństwa
(III
)
ma postać
( )
(
)
σ
µ
−
−
π
σ
=
2
2
2
exp
2
1
x
x
f
(10).
Wartość oczekiwana (średnia, nadzieja matematyczna) E(X) oznaczana jest małą grecką literą
μ, natomiast odchylenie standardowe D(X) przez σ.
Parametry
μ i σ nie zależą od siebie. Parametr μ określa położenie funkcji (10) na osi licz
rzeczywistych w tym sensie, że funkcja ta osiąga maksimum w punkcie x = μ. Parametr σ
określa kształt krzywej. Im większa jest wartość σ, tym bardziej spłaszczona jest krzywa
dzwonowa.
Na rys. 3 przedstawiono wykresy
gęstości prawdopodobieństwa, funkcji (10), dla dwóch
różnych wartości μ i σ.
(III)
Rozkład normalny jest typu ciągłego, dlatego mówimy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa. W przypadku
gdy zmienna losowa jest typu skokowego, jak w przypadku rozkładu dwumianowego i Poissona, posługujemy
się pojęciem funkcji prawdopodobieństwa.
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
6
Rys. 3.
Funkcje gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego dla dwóch wartości μ i σ
Pole powierzchni pod wykresem funkcji (10) jest zawsze równe 1 (patrz; Konspekt nr 2
równanie 5).
Dystrybuanta zmiennej losowej X
o rozkładzie normalnym określona jest wzorem
( )
(
)
dx
x
x
F
x
∫
∞
−
σ
µ
−
−
π
σ
=
1
2
2
1
2
exp
2
1
(11).
Dla przypomnienia, dystrybuanta to tak funkcja, która mówi jakie jest prawdopodobie
ń-
stwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od jakiejś liczby rzeczywistej x
1
.
Można to zapisać w taki sposób F(x
1
) = P(X < x
1
).
Aby to prawdopodobieństwo obliczyć na-
leży scałkować pole powierzchni wykresu funkcji (10) w granicach od -∞ do x
1
, co zapisane
jest równaniem (11)
. Przykładowo, aby obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna lo-
sowa, przedstawiona graficznie na rys. 3
(dla μ = 8 i σ = 2), przyjmuje wartość mniejszą od
x
1
=
8 należy obliczyć pole powierzchni pod krzywą w granicach od -∞ do x
1
= 8. Ponieważ
krzywa dzwonowa jest symetryczna
względem wartości średniej μ, a w tym przypadku x
1
= μ,
oraz
pole powierzchni pod całą krzywą równe jest 1, to całka (11) w granicach od -∞ do x
1
,
równa jest 1/2.
Funkcja (11)
nie ma rozwiązania analitycznego (dokładnego). Jej rozwiązanie można zna-
leźć w tablicach statystycznych, przy czym znajdują się tam wyniki dla tzw. znormalizowanej
(IV
(11)
)
zmiennej losowej
o wartości średniej μ = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1. Normaliza-
cji tej dokonuje się poprzez zastosowanie, do całki
, następującego podstawienia
u
x
σ
=
µ
−
(12).
Obliczając różniczkę z powyższego równania mamy
du
dx
σ
=
(13).
Ostatecznie po podstawieniu (12) i (13) do (11) dostajemy
( )
du
u
u
u
∫
∞
−
−
π
=
Θ
1
2
exp
2
1
2
1
(14).
(IV)
Niekiedy można spotkać się z pojęciem standaryzowana zmienna losowa lub unormowana zmienna losowa.
Wszystkie one oznaczają to samo.
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
7
Obecnie, gdy dostęp do komputerów jest powszechny, rzadko korzysta się z tablic staty-
stycznych ni
żeli to miało miejsce dawniej. Nie jest konieczne już normalizowanie zmiennej
losowej. Wartość dystrybuanty (11) można wyliczyć przykładowo korzystając z funkcji
o
nazwie ROZKŁAD.NORMALNY, znajdującej się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel.
Przykład okna kreatora funkcji z wprowadzonymi danymi x
1
= 8, μ = 8, σ = 2 pokazano na
rys. 4.
Rys. 4. Kreator funkcji w MS Excel do wyliczenia dystrybuanty zmiennej losowej X = x
1
= 8
o rozkładzie normalnym dla parametrów: wartość średnia μ = 8, odchylenie standardowe
σ = 2
Wyjaśnienia wymaga parametr ”Skumulowany”. Przyjmuje on dwie wartości tj. 0
(FAŁSZ) lub 1 (PRAWDA). Jeśli posiada on wartość 1 to zostaje wyliczona wartość dystry-
buanty, a więc całka (11) (pole powierzchni pod wykresem funkcji (10) w granicach od -∞ do
X), natomiast dla 0 liczona jest wartość funkcji (10) dla wartości wpisanej w okienku X.
Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa, występuje bardzo często w przyrodzie.
Przykładem zmiennych losowych o rozkładzie Gaussa mogą być: wzrost i waga człowieka,
iloraz inteligencji, natężenie światła, błędy pomiarowe.
Rys. 5
pokazuje podstawowe własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybu-
anty zmiennej losowej X
, a także relacje między tymi charakterystykami rozkładu.
Na uwagę zasługują następujące własności rozkładu normalnego
(
)
6826
.
0
P
=
σ
+
µ
<
<
σ
−
µ
X
(15),
(
)
9545
.
0
2
2
P
=
σ
+
µ
<
<
σ
−
µ
X
(16),
(
)
9973
.
0
3
3
P
=
σ
+
µ
<
<
σ
−
µ
X
(17).
Jedna z podstawowych cech r
ozkładu normalnego jest fakt, że niemal wszystkie realizacje
zmiennej losowej X
należą do przedziału (μ – 3σ; μ – 3σ), mimo że dziedziną funkcji (10) jest
cały zbiór licz rzeczywistych R. Jest to tzw. reguła trzech sigm.
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
8
Rys. 5.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta zmiennej losowej X
o
rozkładzie normalnym
PRZYKŁAD 3.1.W pewnej szkole zmierzono wszystkim uczniom wzrost (zmienna losowa X). Z pomiarów
obliczono wartość średnią μ = 170.0 cm, oraz odchylenie standardowe σ = 5.9 cm. Obliczyć jakie jest prawdo-
podobieństwo tego, że przypadkowo wybrany uczeń z tej szkoły będzie miał wzrost mieszczący się w przedziale
(x
1
= 160; x
2
= 175) cm.
Aby to zadanie rozwiązać należy obliczyć pole powierzchni pod wykresem funkcji (10) w przedziale od x
1
do x
2
.
Dla łatwiejszego zrozumienia zadania, posłużmy się poniższym rysunkiem przedstawiającym dane z na-
szego
przykładu
Rys. 6
. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla wartości średniej μ = 170.0 cm oraz
odchylenia standardowego
σ = 5.9 cm
Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
9
Obliczmy najpierw
(większe) pole powierzchni pod wykresem w przedziale (-∞; x
2
), czyli całkę w tym
przedziale. Całka ta równa jest dystrybuancie (11). Liczymy ją korzystając z funkcji Excela o nazwie ROZ-
KŁAD.NORMALNY wstawiając do kreatora funkcji następujące dane: X = x
2
= 175;
Średnia = μ = 170.0; Od-
chylenie_std = σ = 5.9; Skumulowany = 1. Otrzymujemy wynik F(x
2
= 175) = 0.801. Gdybyśmy w okienku
Skumulowany wpisali 0 otrzymalibyśmy wartość funkcji (10) dla x = 175, a więc wartość 0.047 (patrz rys. 6).
Wyliczmy teraz (mniejsze) pole powierzchni pod wykresem w przedziale (-
∞; x
1
). Liczymy je analogicznie
jak dla x
2
,
tj. wstawiając do kreatora funkcji dane: X = x
1
= 160;
Średnia = μ = 170.0; Odchylenie_std = σ = 5.9;
Skumulowany = 1. Dostajemy wynik F(x
1
= 160) = 0.045.
Ostatecznie, szukane pole powierzchni liczymy odejmując od dużego pola mniejsze. Jest to inaczej prawdo-
podobieństwo, że zmienna losowa X (wzrost) trafi do przedziału (x
1
; x
2
)
(
)
( )
( )
(
)
754
.
0
047
.
0
801
.
0
175
160
P
P
1
2
2
1
=
−
=
<
<
−
=
<
<
X
x
F
x
F
x
X
x
.
LITERATURA
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dysza, K. Królikowska, M. Wasilewska: Rachunek prawdopo-
dobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-
wa 2005.
A. Iwasiewicz, A. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania
procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004.
W. Kordecki:
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczny. Oficyna Wy-
dawnicza GiS, Wrocław 2003.
Document Outline