Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

1

Wybrane rozkłady zmiennych losowych

1.

Rozkład dwumianowy

Załóżmy, że wykonujemy n prób losowych. Każda próba losowa jest niezależna tzn. na

i-ty

wynik nie wpływa to co zdarzyło się w innych próbach. W każdej pojedynczej próbie

losowej

może zajść interesujące nas zdarzenie (sukces) lub może nie zajść (porażka). Załóż-

my też, że znamy prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w pojedynczej próbie, i że jest ono

stałe we wszystkich n próbach. Prawdopodobieństwo to oznaczmy przez p, natomiast praw-

dopodobieństwo porażki przez q = 1 – p. Pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia

polegające na tym, że wśród n prób sukces wystąpi k razy. Prawdopodobieństwo tego zdarze-
nia, oznaczane przez P(k),

można obliczyć z poniższego wzoru

*

( )

k

n

k

q

p

k

n

k

−













=

P

(1).

Wzór (1)

nosi nazwę wzoru dwumianowego Bernoulliego, a samo sformułowanie zagad-

nienia – schematu Bernoulliego.

Dla przypomnienia symbol













k

n

w powyższym równaniu oznacza

(

)

!

!

!

k

n

k

n

−

.

PRZYKŁAD 1.1. Niech, prawdopodobieństwo tego, że sztuka wybrana losowo z partii towaru jest dobra,

wynosi p

= 0.98. Załóżmy, że losowanie sztuki z partii towaru dokonujemy za każdym razem ze zwrotem, tak

aby zdarzenia polegające na losowaniu sztuk były niezależne. Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na
100 losowo wybranych sztuk

dobrych będzie:

a) 98,
b) 99,
c) 100.

Ad. a). Zadanie rozwiązujemy korzystając ze wzoru (1). Ponieważ losujemy 100 sztuk, podstawiamy do

wzoru n

= 100. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że spośród tych n sztuk, 98 będzie bez wad.

W takim razie k

= 100, przy czym nie jest ważne w jakiej kolejności wylosujemy te 98 detali. Prawdopodobień-

stwo tego, że w pojedynczym losowaniu detal będzie bez wad wynosi p = 0.98. W takim razie szansa wylosowa-
ni wadliwej sztuki wynosi q = 1 – p = 0.02.

Ostatecznie po podstawieniu wartości do wzoru, otrzymujemy

( )

(

)

( )

(

)

273

.

0

02

.

0

98

.

0

!

98

100

!

98

!

100

98

P

!

!

!

P

98

100

98

≈

⋅

−

=

=

−

=

−

−k

n

k

q

p

k

n

k

n

k

.

Ad. b), c). Prawdopodobieństwo wylosowania 99 i 100 sztuk bez wad obliczamy analogicznie jak dla ppkt.

a

, podstawiając odpowiednio za k wartości 99 oraz 100. Wyniki dla tych wartości przedstawione są poniżej

( )

27

.

0

99

P

≈

,

( )

133

.

0

100

P

≈

.

PRZYKŁAD 1.2. Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo te-

go, że orzeł wypadnie 5 razy (kolejność wypadnięcia orła nie ma znaczenia).

Ponieważ wykonujemy 10 rzutów monetą, dlatego w rozwiązaniu przyjmujemy n = 10. Interesuje nas wy-

padniecie 5 razy orła, czyli k = 5. Prawdopodobieństwo sukcesu (wypadnięcia orła) w pojedynczym rzucie wy-
nosi p

= 1/2 a porażki q = 1 – p = 1/2. Podstawiając te wartości do wzoru (1) otrzymujemy

( )

(

)

246

.

0

2

1

2

1

!

5

10

!

5

!

10

5

P

5

10

5

≈













⋅













−

=

−

.

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

2

W schemacie Bernoulliego zmienną losową jest liczba oznaczająca ilość sukcesów w n

próbach. Oznaczmy tą zmienną losową przez K, natomiast małą literą k będziemy oznaczać

konkretną wartość jaką ta zmienna losowa może przyjąć. Gdy wykonujemy n pojedynczych

prób, to spośród tych n prób interesujące nas zdarzenie może nie zajść w ogóle k = 0, może

zachodzić za każdym razem k = n, lub może zajść jakąś pośrednią ilość razy 0 < k < n. Ozna-

cza to, że K przyjmuje tylko wartości całkowite tj. k = 0, 1, 2, ..., n.

Jak wygląda rozkład prawdopodobieństwa P(K=k, n, p)

(I

(1)

)

zmiennej losowej K? Spróbuj-

my to pokazać na przykładzie doświadczenia losowego polegającego na rzuceniu 20 razy

symetryczną kostką do gry. Interesuje nas prawdopodobieństwo wypadnięcia szóstki k razy.

Wiadomo, że prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym rzucie wynosi p = 1/6, a praw-

dopodobieństwo porażki, czyli wypadnięcia czegokolwiek oprócz szóstki, wynosi q = 1 – p =
5/6.

Aby narysować rozkład zmiennej losowej K należy wykonać obliczenia dla każdej warto-

ści k = 0, 1, 2, ..., n posługując się równaniem . Zestawienie wyników obliczeń umieszczo-
no w tabeli 1, natomiast wykres funkcji

prawdopodobieństwa P(k) przedstawiono w dwóch

postaciach na rys. 1 i 2.

Tab. 1. Zestawienie pra

wdopodobieństw zmiennej losowej K w rozkładzie dwumianowym

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P(k)

0.026

0.104

0.198

0.238

0.202

0.129

0.065

0.026

0.008

0.002

4.93

∙10

-4

k

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

P(k)

8.97

∙10

-5

1.35

∙10

-5

1.66

∙10

-6

1.66

∙10

-7

1.33

∙10

-8

8.28

∙10

-10

3.90

∙10

-11

1.30

∙10

-12

2.74

∙10

-14

2.74

∙10

-14

Rys. 1

. Prawdopodobieństwo P(k) w rozkładzie

dwumianowym przy p = 1/6, n = 20

Rys. 2

. Prawdopodobieństwo P(k) w rozkładzie

dwumianowym (przy p = 1/6, n = 20)

przedstawione w postaci histogramu

Wysokość słupków na histogramie (rys. 2) odpowiada liczbowo wartości P(k) a szerokość

każdego prostokąta wynosi 1 tak aby suma pól wszystkich prostokątów wynosiła 1. Jeśli

zsumowalibyśmy wszystkie prawdopodobieństwa z tabeli 1, to suma ta wynosi 1.

Analizując przedstawiony wykres rozkładu zmiennej losowej K widać, że P(k) najpierw

rośnie, a następnie od pewnej wartości k (k

max

) maleje. Przybliżoną wartość k

max

, przy której

P(k) jest

największe, dla małych wartości n (n < 30) można obliczyć z następującego wzoru

*

q

np

k

−

≈

max

(2),

natomiast dla n

≥ 30 człon q w powyższym równaniu można opuścić dostając

(I)

W niektórych podręcznikach do oznaczenia funkcji prawdopodobieństwa P(k) dodaje się jeszcze n i p, stąd

oznaczenie P(K=k, n, p).

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

3

*

np

k

≈

max

(3).

Wielkość k

max

, obliczona z powyższych równań, w niektórych przypadkach może przyjąć

wartość rzeczywistą mimo tego, że k jest liczbą całkowitą od 0 do n.

Dystrybuanta zmiennej losowej K

ma postać

*

( )













>

≤

<













≤

=

∑

<

−

n

x

n

x

q

p

k

n

x

x

F

x

k

k

n

k

K

dla

1

0

dla

0

dla

0

(4).

W powyższym równaniu dopisano indeks dolny „K” tak aby zaznaczyć, że dystrybuanta

dotyczy właśnie tej zmiennej losowej. Zmienna x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przypo-

mnijmy, że dystrybuanta to taka funkcja, która określa jakie jest prawdopodobieństwo tego,

że zmienna losowa, w naszym przypadku K, przyjmie wartość mniejszą od x.

Zmienna losowa K

ma wartość oczekiwaną

*

( )

np

K

E

=

(5)

oraz wariancję

*

( )

npq

K

D

=

2

(6).

PRZYKŁAD 1.3. Rzucamy 20 razy symetryczną kostką do gry. Interesuje nas zdarzenie polegające na wy-

padnięciu jedynki k razy. Obliczyć:

a)

przybliżoną wartość k

max

, dla którego P(k

) jest największe,

b)

wartość oczekiwaną i wariancję,

c)

dystrybuantę dla x = 2.1.

Ad. a). Ponieważ n < 30 przy obliczaniu k

max

posługujemy się wzorem (2). Prawdopodobieństwo sukcesu

(wypadnięcie jedynki) w pojedynczym rzucie wynosi p = 1/6, a porażki q = 1 – p = 5/6. Rzutów wykonujemy
n

= 20. Podstawiając do wzoru otrzymujemy

5

.

2

6

5

6

1

20

max

=

−

⋅

=

−

≈

q

np

k

.

Ad. b).

Wartość oczekiwaną oraz wariancję obliczamy posługując się równaniami (5) i (6)

( )

33

,

3

6

1

20

≈

⋅

=

= np

K

E

,

( )

78

.

2

6

5

6

1

20

2

≈

⋅

⋅

=

= npq

K

D

.

Ad. c).

W naszym zadaniu za sukces uważamy wypadnięcie jedynki. Jak już wiemy, prawdopodobieństwo

sukcesu w pojedynczym rzucie wynosi 1/6. Jeśli za sukces uważalibyśmy wypadnięcie szóstki, a nie jedynki, to

prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym rzucie również wynosiłoby 1/6. W związku w naszym zadaniu,

do obliczenia dystrybuanty, możemy posłużyć się wynikami przedstawionymi w tabeli 1. Dystrybuantę liczymy
ze wzoru (4)

. Widzimy tam, że dla x < 0 wynosi ona 0. Rozpiszmy znak sumy występujący w tym wzorze dla

x = 2.1

2

2

1

1

1

.

2

0

0

2

1

0

−

−

=

<

−

−













+













+













=













∑

n

n

x

k

n

k

n

k

q

p

n

q

p

n

q

p

n

q

p

k

n

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

4

Składniki powyższej sumy są już wyliczone w tabeli 1. Należy je tylko dodać do siebie

328

.

0

198

.

0

104

.

0

026

.

0

1

.

2

=

+

+

=













∑

=

<

−

x

k

k

n

k

q

p

k

n

.

Ostatecznie, wartość dystrybuanty równa jest powyższej sumie

( )

328

.

0

1

.

2

=

K

F

.

Wartość ta mówi nam, że jeśli będziemy rzucać 20 razy kostką do gry to prawdopodobieństwo wypadnięcia

jedynki mniej niż 2.1 razy wynosi 0.328.

2.

Rozkład Poissona
Zmienna losowa Z

ma rozkład Poissona, jeśli może przyjmować wartości wyrażające się

liczbami całkowitymi nieujemnymi (z = 0, 1, 2, ...), z prawdopodobieństwami

*

(

)

λ

−

λ

=

λ

=

e

z

z

Z

z

!

,

P

(7)

gdzie

λ = np

jest parametrem tego rozkładu

(II

Dystrybuanta zmiennej losowej Z

w rozkładzie Poissona przedstawia się następująco

)

.

*

( )









>

≤

=

∑

<

−

0

dla

!

0

dla

0

x

e

z

x

x

F

x

z

z

Z

λ

λ

(8)

a wartość oczekiwana i wariancja są sobie równe

*

( )

( )

np

Z

D

Z

E

=

=

2

(9).

Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla rozkładu dwumianowego. Jeśli n rośnie

nieograniczenie, a p

zmienia się wraz z n w ten sposób, że iloczyn np jest stały, to dla każde-

go z

zachodzi zbieżność rozkładu dwumianowego do rozkładu Poissona. Oznacza to, że

w

niektórych przypadkach możemy przybliżyć rozkład dwumianowy, który dla dużych n

wymaga sporego na

kładu obliczeń, rozkładem Poissona. Przyjmuje się zwykle, że przybliże-

nie to jest wystarczająco dobre, gdy n ≥ 20 i jednocześnie p ≤ 0.2.

Rozkład Poissona często nazywany jest rozkładem zdarzeń rzadkich. Stosowany jest tam

gdzie prawdopodobieństwo sukcesu jest małe.

PRZYKŁAD 2.1. W pewnym zakładzie pracy, na podstawie długotrwałych obserwacji, stwierdzono, że

prawdopodobieństwo wystąpienia w ciągu dnia awarii pewnej maszyny wynosi 0.003. Obliczyć jakie jest praw-
dopodobi

eństwo tego, że dana maszyna zepsuje się w ciągu roku nie więcej niż 1 raz.

Prawdopodobieństwo sukcesu (awarii maszyny w ciągu dnia) wynosi p = 0.003, natomiast ilość dni w roku

wynosi n

= 365. Ponieważ p jest małe (≤ 0.2), a n duże (≥ 20) zadanie rozwiązujemy korzystając z rozkładu

Poissona. Zmienną losową Z jest ilość awarii w ciągu roku. My chcemy aby ilość tych awarii nie była większa

od 1. A więc musimy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu roku maszyna nie zepsuje się ani raz, tj.
P(Z = 0,

λ), oraz prawdopodobieństwo tego, że zepsuje się dokładnie jeden raz, tj. P(Z = 0, λ). Następnie praw-

dopodobieństwa te należy dodać do siebie. Obliczenia poszczególnych prawdopodobieństw (dla Z = 0 oraz Z =

1) wykonujemy posługując się wzorem (7). Natomiast ich sumowanie, to jest nic innego jak liczenie dystrybuan-
ty (znak sumy we wzorze (8)).

(II)

Zmienne n i p oznaczają to samo co w rozkładzie dwumianowym.

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

5

Musimy jeszcze

wcześniej obliczyć parametr λ. Ma on wymiar wartości średniej, jak w rozkładzie dwumia-

nowym, mianowicie

λ = n∙p = 365 ∙ 0.003 = 1.095. Wartość ta oznacza, że średnio w ciągu roku dana maszyna

ulega awarii 1.095 razy.

Liczymy poszczególne prawdopodobieństwa (wzór (7))

(

)

335

.

0

!

0

095

.

1

095

.

1

,

0

P

095

.

1

0

≈

=

=

−

e

Z

,

(

)

366

.

0

!

1

095

.

1

095

.

1

,

1

P

095

.

1

1

≈

=

=

−

e

Z

.

Suma powyższych wartości, czyli dystrybuanta (wzór (8)), tj. prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa

Z

przyjmie wartość mniejszą od jakiejś liczy rzeczywistej x, czyli P(Z < x). Ponieważ ilość Z awarii jest liczbą

całkowitą, x należy obrać co najmniej 2 ale mniejsze od 3. Dlaczego akurat tak? Spójrzmy na równanie dystry-
buanty. Dla wszystkich x

≤ 0 jej wartość wynosi zero. Dla x = 1 tylko jedna liczba całkowita Z jest mniejsza od

1, mianowicie 0. Z kolei dla x

= 2 mamy dwie liczby całkowite Z mniejsze od 2, tj. 0 i 1 (mamy już obliczone

P(Z = 0) i P(Z = 1))

. Jeśli w naszym zadaniu liczylibyśmy dystrybuantę dla x z przedziału np. [3, 4) to musieliby-

śmy jeszcze wyliczyć P(Z =2) a wartość tej dystrybuanty byłaby równa prawdopodobieństwu tego, że w ciągu

roku liczba awarii będzie mniejsza lub równa od 2, a więc o jedną więcej niżeli w treści zadania. Ostatecznie,

prawdopodobieństwo liczymy jak poniżej

(

)

(

) (

)

λ

λ

,

1

P

,

0

P

2

=

+

=

=

=

Z

Z

x

F

Z

,

(

)

701

.

0

0.366

0.335

2

=

+

=

=

x

F

Z

.

3.

Rozkład normalny

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeśli jej funkcja gęstości prawdopo-

dobieństwa

(III

)

ma postać

( )

(

)













σ

µ

−

−

π

σ

=

2

2

2

exp

2

1

x

x

f

(10).

Wartość oczekiwana (średnia, nadzieja matematyczna) E(X) oznaczana jest małą grecką literą

μ, natomiast odchylenie standardowe D(X) przez σ.

Parametry

μ i σ nie zależą od siebie. Parametr μ określa położenie funkcji (10) na osi licz

rzeczywistych w tym sensie, że funkcja ta osiąga maksimum w punkcie x = μ. Parametr σ

określa kształt krzywej. Im większa jest wartość σ, tym bardziej spłaszczona jest krzywa
dzwonowa.

Na rys. 3 przedstawiono wykresy

gęstości prawdopodobieństwa, funkcji (10), dla dwóch

różnych wartości μ i σ.

(III)

Rozkład normalny jest typu ciągłego, dlatego mówimy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa. W przypadku

gdy zmienna losowa jest typu skokowego, jak w przypadku rozkładu dwumianowego i Poissona, posługujemy

się pojęciem funkcji prawdopodobieństwa.

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

6

Rys. 3.

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego dla dwóch wartości μ i σ

Pole powierzchni pod wykresem funkcji (10) jest zawsze równe 1 (patrz; Konspekt nr 2

równanie 5).

Dystrybuanta zmiennej losowej X

o rozkładzie normalnym określona jest wzorem

( )

(

)

dx

x

x

F

x

∫

∞

−













σ

µ

−

−

π

σ

=

1

2

2

1

2

exp

2

1

(11).

Dla przypomnienia, dystrybuanta to tak funkcja, która mówi jakie jest prawdopodobie

ń-

stwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od jakiejś liczby rzeczywistej x

1

.

Można to zapisać w taki sposób F(x

1

) = P(X < x

1

).

Aby to prawdopodobieństwo obliczyć na-

leży scałkować pole powierzchni wykresu funkcji (10) w granicach od -∞ do x

1

, co zapisane

jest równaniem (11)

. Przykładowo, aby obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna lo-

sowa, przedstawiona graficznie na rys. 3

(dla μ = 8 i σ = 2), przyjmuje wartość mniejszą od

x

1

=

8 należy obliczyć pole powierzchni pod krzywą w granicach od -∞ do x

1

= 8. Ponieważ

krzywa dzwonowa jest symetryczna

względem wartości średniej μ, a w tym przypadku x

1

= μ,

oraz

pole powierzchni pod całą krzywą równe jest 1, to całka (11) w granicach od -∞ do x

1

,

równa jest 1/2.

Funkcja (11)

nie ma rozwiązania analitycznego (dokładnego). Jej rozwiązanie można zna-

leźć w tablicach statystycznych, przy czym znajdują się tam wyniki dla tzw. znormalizowanej

(IV

(11)

)

zmiennej losowej

o wartości średniej μ = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1. Normaliza-

cji tej dokonuje się poprzez zastosowanie, do całki

, następującego podstawienia

u

x

σ

=

µ

−

(12).

Obliczając różniczkę z powyższego równania mamy

du

dx

σ

=

(13).

Ostatecznie po podstawieniu (12) i (13) do (11) dostajemy

( )

du

u

u

u

∫

∞

−













−

π

=

Θ

1

2

exp

2

1

2

1

(14).

(IV)

Niekiedy można spotkać się z pojęciem standaryzowana zmienna losowa lub unormowana zmienna losowa.

Wszystkie one oznaczają to samo.

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

7

Obecnie, gdy dostęp do komputerów jest powszechny, rzadko korzysta się z tablic staty-

stycznych ni

żeli to miało miejsce dawniej. Nie jest konieczne już normalizowanie zmiennej

losowej. Wartość dystrybuanty (11) można wyliczyć przykładowo korzystając z funkcji
o

nazwie ROZKŁAD.NORMALNY, znajdującej się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel.

Przykład okna kreatora funkcji z wprowadzonymi danymi x

1

= 8, μ = 8, σ = 2 pokazano na

rys. 4.

Rys. 4. Kreator funkcji w MS Excel do wyliczenia dystrybuanty zmiennej losowej X = x

1

= 8

o rozkładzie normalnym dla parametrów: wartość średnia μ = 8, odchylenie standardowe

σ = 2

Wyjaśnienia wymaga parametr ”Skumulowany”. Przyjmuje on dwie wartości tj. 0

(FAŁSZ) lub 1 (PRAWDA). Jeśli posiada on wartość 1 to zostaje wyliczona wartość dystry-

buanty, a więc całka (11) (pole powierzchni pod wykresem funkcji (10) w granicach od -∞ do

X), natomiast dla 0 liczona jest wartość funkcji (10) dla wartości wpisanej w okienku X.

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa, występuje bardzo często w przyrodzie.

Przykładem zmiennych losowych o rozkładzie Gaussa mogą być: wzrost i waga człowieka,

iloraz inteligencji, natężenie światła, błędy pomiarowe.

Rys. 5

pokazuje podstawowe własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybu-

anty zmiennej losowej X

, a także relacje między tymi charakterystykami rozkładu.

Na uwagę zasługują następujące własności rozkładu normalnego

(

)

6826

.

0

P

=

σ

+

µ

<

<

σ

−

µ

X

(15),

(

)

9545

.

0

2

2

P

=

σ

+

µ

<

<

σ

−

µ

X

(16),

(

)

9973

.

0

3

3

P

=

σ

+

µ

<

<

σ

−

µ

X

(17).

Jedna z podstawowych cech r

ozkładu normalnego jest fakt, że niemal wszystkie realizacje

zmiennej losowej X

należą do przedziału (μ – 3σ; μ – 3σ), mimo że dziedziną funkcji (10) jest

cały zbiór licz rzeczywistych R. Jest to tzw. reguła trzech sigm.

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

8

Rys. 5.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta zmiennej losowej X

o

rozkładzie normalnym

PRZYKŁAD 3.1.W pewnej szkole zmierzono wszystkim uczniom wzrost (zmienna losowa X). Z pomiarów

obliczono wartość średnią μ = 170.0 cm, oraz odchylenie standardowe σ = 5.9 cm. Obliczyć jakie jest prawdo-

podobieństwo tego, że przypadkowo wybrany uczeń z tej szkoły będzie miał wzrost mieszczący się w przedziale
(x

1

= 160; x

2

= 175) cm.

Aby to zadanie rozwiązać należy obliczyć pole powierzchni pod wykresem funkcji (10) w przedziale od x

1

do x

2

.

Dla łatwiejszego zrozumienia zadania, posłużmy się poniższym rysunkiem przedstawiającym dane z na-

szego

przykładu

Rys. 6

. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla wartości średniej μ = 170.0 cm oraz

odchylenia standardowego

σ = 5.9 cm

Konspekt nr 3 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

9

Obliczmy najpierw

(większe) pole powierzchni pod wykresem w przedziale (-∞; x

2

), czyli całkę w tym

przedziale. Całka ta równa jest dystrybuancie (11). Liczymy ją korzystając z funkcji Excela o nazwie ROZ-

KŁAD.NORMALNY wstawiając do kreatora funkcji następujące dane: X = x

2

= 175;

Średnia = μ = 170.0; Od-

chylenie_std = σ = 5.9; Skumulowany = 1. Otrzymujemy wynik F(x

2

= 175) = 0.801. Gdybyśmy w okienku

Skumulowany wpisali 0 otrzymalibyśmy wartość funkcji (10) dla x = 175, a więc wartość 0.047 (patrz rys. 6).

Wyliczmy teraz (mniejsze) pole powierzchni pod wykresem w przedziale (-

∞; x

1

). Liczymy je analogicznie

jak dla x

2

,

tj. wstawiając do kreatora funkcji dane: X = x

1

= 160;

Średnia = μ = 170.0; Odchylenie_std = σ = 5.9;

Skumulowany = 1. Dostajemy wynik F(x

1

= 160) = 0.045.

Ostatecznie, szukane pole powierzchni liczymy odejmując od dużego pola mniejsze. Jest to inaczej prawdo-

podobieństwo, że zmienna losowa X (wzrost) trafi do przedziału (x

1

; x

2

)

(

)

( )

( )

(

)

754

.

0

047

.

0

801

.

0

175

160

P

P

1

2

2

1

=

−

=

<

<

−

=

<

<

X

x

F

x

F

x

X

x

.

LITERATURA

W. Krysicki, J. Bartos, W. Dysza, K. Królikowska, M. Wasilewska: Rachunek prawdopo-

dobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-
wa 2005.

A. Iwasiewicz, A. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania

procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004.

W. Kordecki:

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczny. Oficyna Wy-

dawnicza GiS, Wrocław 2003.