8.4. Wybrane typy równań różniczkowych rzędu drugiego

Definicje:

•

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci

0

)

''

,

'

,

,

(

=

y

y

y

x

F

lub

)

'

,

,

(

''

y

y

x

f

y

=

.

•

Rozwiązaniem albo całką równania różniczkowego zwyczajnego rzędu drugiego

nazywamy każdą funkcję y = y(x), dwukrotnie różniczkowalną i przeprowadzającą to

równanie w tożsamość.

•

Rozwiązaniem ogólnym lub inaczej całką ogólną równania różniczkowego

zwyczajnego rzędu drugiego nazywamy takie jego rozwiązanie, które zależy od

dwóch dowolnych stałych

2

1

c

,

c

od siebie niezależnych. Jeżeli stałym tym nadamy

konkretne wartości liczbowe, to otrzymane wówczas z całki ogólnej rozwiązanie

nazywamy całką szczególną.

•

Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy’ego) dla równania różniczkowego

zwyczajnego rzędu drugiego to zadania polegające na poszukiwaniu takiej całki

)

x

(

y

ϕ

=

, która spełnia warunki

0

0

y

)

x

(

=

ϕ

i

1

0

y

)

x

(

'

=

ϕ

. Z geometrycznego punktu

widzenia oznacza to wyznaczenie krzywej przechodzącej przez punkt

)

y

,

x

(

0

0

i

posiadającej w tym punkcie styczną o współczynniku kierunkowym

1

0

y

)

x

(

'

=

ϕ

.

Przykład 1.

Sprawdź, że rodzina dwuparametrowa funkcji

x

2

2

x

1

e

c

e

c

y

−

+

=

, gdzie

2

1

c

,

c

∈

R jest całką

ogólną równania

'

y

y

2

''

y

−

=

.

Obliczamy pochodne:

x

2

2

x

1

e

c

2

e

c

)

x

(

'

y

−

−

=

,

x

2

2

x

1

e

c

4

e

c

)

x

(

''

y

−

+

=

,

Podstawiamy wyznaczone funkcje do rozważanego równania i otrzymujemy:

x

2

2

x

1

x

2

2

x

1

x

2

2

x

1

e

c

2

e

c

e

c

2

e

c

2

e

c

4

e

c

−

−

−

+

−

+

=

+

,

czyli tożsamość 0 = 0.

Zatem

x

2

2

x

1

e

c

e

c

)

x

(

y

−

+

=

jest całką ogólną równania

'

y

y

2

''

y

−

=

.

Przykład 2.

Rozwiąż zagadnienie początkowe dla równania

'

y

y

2

''

y

−

=

przyjmując, że

0

)

0

(

y

=

,

3

)

0

(

'

y

−

=

.

Podstawiając w całce ogólnej równania

x

2

2

x

1

e

c

e

c

)

x

(

y

−

+

=

w miejsce x zero i y

zero otrzymujemy równanie

0

c

c

2

1

=

+

,

Podstawiając do wzoru pochodnej '

y funkcji

x

2

2

x

1

e

c

e

c

)

x

(

y

−

+

=

zamiast x zero oraz

zamiast y’ liczbę - 3 otrzymujemy równanie

2

1

c

2

c

3

−

=

−

.

Rozwiązujemy układ równań







−

=

−

=

+

3

2

0

2

1

2

1

c

c

c

c

; otrzymujemy

1

c

1

−

=

i

1

c

2

=

.

Zatem funkcja

x

2

x

e

2

e

y

−

+

−

=

jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego dla równania

'

y

y

2

''

y

−

=

.

Wykres funkcji

x

2

x

e

2

e

y

−

+

−

=

przechodzi przez punkt A = (0, 0) oraz styczna

poprowadzona do tej krzywej w punkcie A jest nachylona do osi x pod kątem, którego

tangens jest równy -3 ( kąta w przybliżeniu mającego 108

o

25’).

Równanie różniczkowe postaci

)

x

(

f

''

y

=

Konstrukcja rozwiązania równania

)

x

(

f

''

y

=

.

Równanie

)

x

(

f

''

y

=

całkujemy dwukrotnie:

∫

∈

+

=

=

R

c

c

x

dx

x

f

x

y

1

1

1

,

)

(

)

(

)

(

'

ϕ

y(x) =

∫ ∫

∫

∫

+

+

=

+

=

=

2

1

2

1

1

'

)

(

]

)

(

[

]

)

(

[

)

(

c

x

c

x

dx

c

dx

x

dx

dx

x

f

dx

x

y

ϕ

ϕ

, gdzie c

1

, c

2

∈

R.

Ostatecznie y(x) =

∫ ∫

dx

dx

x

f

]

)

(

[

jest całką ogólną równania

)

x

(

f

''

y

=

.

Przykład 3.

Rozwiąż równanie:

x

2

e

x

2

x

''

y

+

+

=

.

Po pierwszym całkowaniu mamy:

1

x

2

3

c

e

x

x

3

1

'

y

+

+

+

=

, gdzie

R

c

1

∈

Po drugim całkowaniu otrzymujemy:

2

1

x

3

4

c

x

c

e

x

3

1

x

12

1

y

+

+

+

+

=

,

2

1

c

,

c

∈

R.

Ostatecznie całką ogólną równania

x

2

e

x

2

x

''

y

+

+

=

jest funkcja

2

1

3

4

3

1

12

1

)

(

c

x

c

e

x

x

x

y

x

+

+

+

+

=

,

2

1

c

,

c

∈

R.

Równanie różniczkowe postaci

)

'

y

,

x

(

f

''

y

=

Przez podstawienie y’= u(x) można sprowadzić równanie

)

'

y

,

x

(

f

''

y

=

do równania

rzędu pierwszego.

Przykład 4.

Rozwiąż równanie

2

)

'

y

(

''

y

=

.

Podstawiamy

)

x

(

u

)

x

(

'

y

=

, zatem

)

x

(

'

u

)

x

(

''

y

=

.

Wyjściowe równanie przybiera postać

2

u

)

x

(

'

u

=

, czyli

2

u

dx

du

=

.

Rozdzielamy zmienne

dx

u

du

2

=

dla u

≠

0 oraz całkujemy każdą ze stron równania.

Otrzymujemy

1

c

x

u

1

+

=

−

, czyli

1

1

)

(

c

x

x

u

+

−

=

.

Wracamy do funkcji y , pamiętając, że u(x) = y’(x):

1

c

x

1

dx

dy

+

−

=

, skąd szukane rozwiązanie

2

1

ln

)

(

c

c

x

x

y

+

+

−

=

.

Całką ogólną równania

2

)

'

y

(

''

y

=

jest

2

1

ln

)

(

c

c

x

x

y

+

+

−

=

, c

1,

c

2

∈

R.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1.

Rozwiąż równania:

a)

x

cos

x

sin

''

y

=

, b)

x

sin

x

''

y

+

=

, c)

x

e

'

y

''

y

+

=

, d)

'

y

'

'

y

)

x

1

(

=

+

,

e)

2

)

'

y

(

1

''

y

−

=

.

Odpowiedzi

a)

2

1

c

x

c

x

2

sin

8

1

y

+

+

−

=

; b)

2

1

3

c

x

c

x

sin

x

6

1

y

+

+

−

=

;

c)

1

,

2

1

+

=

+

+

=

x

x

x

xe

y

c

e

c

xe

y

; d)

2

1

2

1

c

x

c

x

c

2

1

y

+

+

=

; e)

x

2

x

1

e

c

e

c

ln

y

+

=

−

.