•

Wartość oczekiwana

  ∑ 

∙   

wartość oczekiwana to przeciętna wartość zmiennej losowej

•

Moment zwykły rzędu K





 ∑ 



∙   

•

Wariancja zmiennej losowej





  ∑






∙   

•

Odchylenie standardowe

  





Odchylenie standardowe wyraża przeciętną różnicą pomiędzy wartościami

zmiennej losowej a wartością oczekiwaną

Właściwości parametrów rozkładu prawdopodobieństwa

1.

   
 


2.

 ∙    ∙
,   ∈ 

3.

  ,   ∈ 

4.





 0

5.





 
 









 2 ∙  ∙
  









 2
 ∙

  









 2




 









 




6.





  0 



  0 ,    ł

Typowe rozkłady dyskretne

•

Rozkład dwupunktowy (0-1, binarny)
  1  ! ! ∈ 0,1   0  1  !

  !




 !





  !  !



 !1  !

•

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Zmienna losowa X określona jako liczba „sukcesów” w n niezależnych

próbach, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest identyczne i wynosi p

(

! ∈ 0,1 ) ma rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem:

  "  #

$

"% ∙ !



∙ 1  !



, "  1,2,3, … , $



 1  ! 1  ($ )" 

 0  1  !

  $ ∙ ! 



  $ ∙ ! ∙ 1  !

•

Rozkład Poissona

  " 

*



"! ∙ 



, "  0,1,2,3, … , * , 0

•

Rozkład geometryczny

Zmienna losowa X określona jako liczba prób, które wykonano do momentu

uzyskania pierwszego „sukcesu” w schemacie Bernoulliego (próby

niezależne, prawdopodobieństwo sukcesu identyczne w każdej próbie i

wynosi p) ma rozkład prawdopodobieństwa określany przez funkcję

prawdopodobieństwa

  "  1  !



∙ ! , - "  1,2,3, …

 

1

!





 

1  !

!



Wartość oczekiwana zmiennej losowej X typu ciągłego

  .  ∙ / 





o ile . || ∙ / 





1 ∞

Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego





 . 



∙ / 





o ile . || ∙ / 





1 ∞

Wariancja i odchylenie standardowe:





 




 




  





Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem
3   1  -  ∈ 

Wyznaczanie dystrybuanty na przykładzie

/  4 -  ∈ 0, √2

0 -  ∉ 0, √2

 1   . / 



Wstawiamy f(t) zamiast f(x) ponieważ nie możemy

całkować po x-sie w granicach zależnych od x

3  7 / 



Dla

 8 0

3  7 0 



 0

Dla

 ∈ 0, √2

3  7 0 





 7  



 0  9





2 :

 









2 

0



2 





2

Dla

  √2

3  7 0 





 7  

√



 7 0 



√

 9





2 :

 

 √

 √

2



2 

0



2 

2

2  1

3  ;

0 -  8 0





2 -  ∈ 0, √2

1 -   √2

Właściwości dystrybuanty:

1)

lim

→

3  1, lim

→

3  0

2)

Funkcja F(x) jest niemalejąca

3)

Funkcja F(x) jest lewostronnie ciągła

4)

Jeżeli pewna funkcja G(x) spełnia powyższe warunki to jest ona

dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

5)

 8  8 ?  3?  3 ,  1 ?

W przypadku rozkładu typu ciągłego dodatkowo występują następujące

własności:

6)

F(x) jest funkcją ciągłą

7)

3



  / /  ę(ść C("ł) !CD(!((?ńD

8)

 1  1 ? 

 8  8 ? 

 1  8 ? 

 8  1 ? 

F 3?  3 -  1 ?

Typowe rozkłady ciągłe

•

Rozkład jednostajny

~H, ?

/  I

1

?   -  ∈ , ?

0 -  ∉ , ?

 

  ?

2 



 

?  



12

3  ;

0 -  ∈ ∞,  ,

  

?   -  ∈ , ?

1 -  ∈1 ?, ∞

•

Rozkład wykładniczy

/  J* ∙ 



-   0

0 -  1 0

  * 



  *



3  K

0 -  1 0

1  



-   0

•

Rozkład normalny (Gaussa)

~, 

/ 

1

√2L ∙ M

∙ 



 

మ



మ

•

Standardowy rozkład normalny

~N0,1

/ 

1

√2L

∙ 



మ



Proces standaryzacji:

O P   Q

  R



  R



S   #H

  R



%

w kwadracie odpowiedni znak nierówności

,, 1, , 8

by odczytać wartości z tablic musi być nierówność

1 -)? 8

 #H ,

  R



%  1   #H 8

  R



%

 #H 8

  R



%  T #

  R



%  DC(ść  ?-

T #

  R



%  1  T #

  R



%

 1 H 1 ?  T?  T