• Rozkład Poissona
∑ ∙
*
"
wartość oczekiwana to przeciętna wartość zmiennej losowej
"! ∙ , " 0,1,2,3, … , * , 0
• Moment zwykły rzędu K
• Rozkład geometryczny
∑
Zmienna losowa X określona jako liczba prób, które wykonano do momentu
∙
• Wariancja zmiennej losowej
uzyskania pierwszego „sukcesu” w schemacie Bernoulliego (próby
∑
niezależne, prawdopodobieństwo sukcesu identyczne w każdej próbie i
∙
• Odchylenie standardowe
wynosi p) ma rozkład prawdopodobieństwa określany przez funkcję
prawdopodobieństwa " 1 ! ∙ ! , - " 1,2,3, …
Odchylenie standardowe wyraża przeciętną różnicą pomiędzy wartościami 1
zmiennej losowej a wartością oczekiwaną
! 1!
Właściwości parametrów rozkładu prawdopodobieństwa
!
1.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X typu ciągłego 2. ∙ ∙ , ∈
. ∙ /
o ile .
|| ∙ / 1 ∞
3. , ∈
4. 0
Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego
5. 2 ∙ ∙ 2 ∙
.
∙ / o ile . || ∙ / 1 ∞
2
Wariancja i odchylenie standardowe:
6. 0 0 , ł
Typowe rozkłady dyskretne
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem
• Rozkład dwupunktowy (0-1, binarny)
3 1 - ∈
1 ! ! ∈ 0,1 0 1 !
Wyznaczanie dystrybuanty na przykładzie
! !
! ! !1 !
/ 4 - ∈ 0, √2
•
0 - ∉ 0, √2
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
1 . / Wstawiamy f(t) zamiast f(x) ponieważ nie możemy Zmienna losowa X określona jako liczba „sukcesów” w n niezależnych
próbach, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest identyczne i wynosi p całkować po x-sie w granicach zależnych od x (! ∈ 0,1 ) ma rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem: $
" #"% ∙ ! ∙ 1 ! ," 1,2,3,…,$
3 7 /
1 ! 1 ($ )" 0 1 !
$ ∙ ! $ ∙ ! ∙ 1 !
Typowe rozkłady ciągłe
• Rozkład jednostajny ~H, ?
3 7 0 0
1
/ I? - ∈ , ?
Dla ∈ 0, √2
0 - ∉ , ?
0
?
?
3 7 0 7 0 9
2 :
2 2 2
2
12
0 - ∈ ∞, ,
Dla √2
3 ;? - ∈ ,?
√
√
0 2
1 - ∈1 ?, ∞
3 7 0 7 7 0 9 2: √2
2 2 2 1
• Rozkład wykładniczy
√
0 - 8 0
/ J* ∙ - 0
0 - 1 0
3 ;
* *
2 - ∈ 0, √2
1 - √2
3 K
0 - 1 0
1 - 0
• Rozkład normalny (Gaussa) ~,
Właściwości dystrybuanty:
1
మ
1) lim
/
∙ మ
→ 3 1, lim → 3 0
√2L ∙ M
2) Funkcja F(x) jest niemalejąca
• Standardowy rozkład normalny ~N0,1
3) Funkcja F(x) jest lewostronnie ciągła
1
మ
4) Jeżeli pewna funkcja G(x) spełnia powyższe warunki to jest ona
/
∙
√2L
dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej 5) 8 8 ? 3? 3 , 1 ?
Proces standaryzacji:
W przypadku rozkładu typu ciągłego dodatkowo występują następujące
R
R
R
O P Q
S #H
%
własności:
6) F(x) jest funkcją ciągłą
w kwadracie odpowiedni znak nierówności ,, 1, , 8
7) 3 / / ę(ść C("ł) !CD(!((?ńD
by odczytać wartości z tablic musi być nierówność 1 -)? 8
1 1 ?
R
R
#H ,
% 1 #H 8
%
8 8 ?
8)
R
R
1 8 ? F 3? 3 - 1 ?
#H 8
% T #
% DC(ść ?-
8 1 ?
R
R
T #
% 1 T #
%
1 H 1 ? T? T