•

Wartość oczekiwana
∑

∙

wartość oczekiwana to przeciętna wartość zmiennej losowej

•

Moment zwykły rzędu K

∑

∙

•

Wariancja zmiennej losowej

∑

∙

•

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe wyraża przeciętną różnicą pomiędzy wartościami

zmiennej losowej a wartością oczekiwaną

Właściwości parametrów rozkładu prawdopodobieństwa

1.

2.

∙ ∙ , ∈

3.

, ∈

4.

0

5.

2 ∙ ∙

2 ∙

2

6.

0

0, ł

Typowe rozkłady dyskretne

•

Rozkład dwupunktowy (0-1, binarny)
1 !! ∈ 0,1 0 1 !

!

!

! !

!1 !

•

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Zmienna losowa X określona jako liczba „sukcesów” w n niezależnych

próbach, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest identyczne i wynosi p

(

! ∈ 0,1) ma rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem:

" #

$

"% ∙ !

∙ 1 !

, " 1,2,3, … , $

1 !1 ($)"

0 1 !

$ ∙ !

$ ∙ ! ∙ 1 !

•

Rozkład Poissona

"

*

"! ∙

, " 0,1,2,3, …, * , 0

•

Rozkład geometryczny

Zmienna losowa X określona jako liczba prób, które wykonano do momentu

uzyskania pierwszego „sukcesu” w schemacie Bernoulliego (próby

niezależne, prawdopodobieństwo sukcesu identyczne w każdej próbie i

wynosi p) ma rozkład prawdopodobieństwa określany przez funkcję

prawdopodobieństwa

" 1 !

∙ !, -" 1,2,3, …

1

!

1 !

!

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X typu ciągłego
. ∙ /

o ile . || ∙ /

1 ∞

Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego

.

∙ /

o ile . || ∙ /

1 ∞

Wariancja i odchylenie standardowe:

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem
3 1 - ∈

Wyznaczanie dystrybuanty na przykładzie

/ 4- ∈ 0, √2

0- ∉ 0, √2

1 . /

Wstawiamy f(t) zamiast f(x) ponieważ nie możemy

całkować po x-sie w granicach zależnych od x

3 7 /

Dla

8 0

3 7 0

0

Dla

∈ 0, √2

3 7 0

7

0 9

2 :

2

0

2

2

Dla

√2

3 7 0

7

√

7 0

√

9

2 :

√

√

2

2

0

2

2

2 1

3 ;

0- 8 0

2 - ∈ 0, √2

1- √2

Właściwości dystrybuanty:

1)

lim

→

3 1, lim

→

3 0

2)

Funkcja F(x) jest niemalejąca

3)

Funkcja F(x) jest lewostronnie ciągła

4)

Jeżeli pewna funkcja G(x) spełnia powyższe warunki to jest ona

dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

5)

8 8 ? 3? 3, 1 ?

W przypadku rozkładu typu ciągłego dodatkowo występują następujące

własności:

6)

F(x) jest funkcją ciągłą

7)

3

// ę(śćC("ł)!CD(!((?ńD

8)

1 1 ?

8 8 ?

1 8 ?

8 1 ?

F 3? 3- 1 ?

Typowe rozkłady ciągłe

•

Rozkład jednostajny

~H, ?

/ I

1

? - ∈ , ?

0- ∉ , ?

?

2

?

12

3 ;

0- ∈ ∞, ,

? - ∈ , ?

1- ∈1 ?, ∞

•

Rozkład wykładniczy

/ J* ∙

- 0

0- 1 0

*

*

3 K

0- 1 0

1

- 0

•

Rozkład normalny (Gaussa)

~,

/

1

√2L ∙ M

∙

మ

మ

•

Standardowy rozkład normalny

~N0,1

/

1

√2L

∙

మ

Proces standaryzacji:

O P Q

R

R

S #H

R

%

w kwadracie odpowiedni znak nierówności

,, 1, , 8

by odczytać wartości z tablic musi być nierówność

1 -)? 8

#H ,

R

% 1 #H 8

R

%

#H 8

R

% T #

R

% DC(ść?-

T #

R

% 1 T #

R

%

1 H 1 ? T? T