1
MATEMATYKA
ROZDZIAŁ I
I. Zagadnienia wstępne
1. Elementy logiki matematycznej
Rachunek zdań
Zdaniem w logice nazywamy zdanie orzekające, o którym można stwierdzić, czy jest
prawdziwe czy fałszywe.
Zdania oznaczamy zwykle małymi literami np. p, q, r, s itd.
Zdaniom prawdziwym przyporządkowujemy wartość logiczną 1, a fałszywym 0.
W logice ze zdań prostych możemy budować zdania złożone wykorzystując spójniki
zwane funktorami zdaniotwórczymi. Niżej podamy podstawowe typy tych funktorów.
1. Negacja
Zdanie „nieprawda, że p” nazywamy negacją (zaprzeczeniem) zdania p i oznaczamy
symbolem ~ p .
Negacją zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe a negacją zdania fałszywego zdanie
prawdziwe.
2. Alternatywa
Zdanie „p lub q” nazywamy alternatywą zdań p, q i oznaczamy symbolem p
q
∨
.
Alternatywa jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań
p, q jest prawdziwe.
3. Koniunkcja (iloczyn logiczny)
Zdanie „p i q” nazywamy koniunkcją zdań p, q i oznaczamy symbolem p
q
∧
.
Koniunkcja jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe.
4. Implikacja
Zdanie „jeżeli p to q” nazywamy implikacją i oznaczamy symbolem p
q
⇒ .
Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem implikacji.
Implikacja jest zdaniem fałszywym tylko wtedy, gdy poprzednik jest zdaniem prawdziwym a
następnik zdaniem fałszywym ( z prawdy nie może wyniknąć fałsz). W pozostałych
przypadkach implikacja jest prawdziwa.
2
5. Równoważność
Zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” nazywamy równoważnością i oznaczamy symbolem
p
q
⇔
.
Równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania p i q mają te same wartości logiczne.
W tabelce podane są wartości logiczne wyżej wymienionych zdań złożonych w zależności od
wartości logicznych zdań je tworzących.
Formą zdaniową nazywamy wyrażenie utworzone ze zdań , , ...
p q r
(zwanych zmiennymi
zdaniowymi) za pomocą funktorów zdaniotwórczych (spójników).
Prawem logicznym (tautologią) nazywamy formę zdaniową, która jest zawsze prawdziwa
po podstawieniu dowolnych zdań w miejsce zmiennych zdaniowych.
Ważniejsze prawa logiczne
1. Prawo podwójnego zaprzeczenia:
( )
~ ~ p
p
⇔
.
2. Prawo zaprzeczenia implikacji:
(
)
( )
~
~
p
q
p
q
⇒
⇔ ∧
.
3. Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy:
(
)
(
) (
)
p
q
r
p
q
p
r
∧ ∨
⇔
∧ ∨
∧
.
4. Rozdzielność alternatywy względem koniunkcji:
(
)
(
) (
)
p
q
r
p
q
p
r
∨ ∧
⇔
∨ ∧
∨
.
5. Prawo przechodniości implikacji:
(
) (
)
(
)
p
q
q
r
p
r
⇒
∧
⇒
⇒
⇒
.
6. Prawo de Morgana dla alternatywy:
(
)
( ) ( )
~
~
~
p
q
p
q
∨
⇔
∧
.
7. Prawo de Morgana dla koniunkcji:
(
)
( ) ( )
~
~
~
p
q
p
q
∧
⇔
∨
.
8. Prawo transpozycji:
(
)
( ) ( )
~
~
p
q
q
p
⇒
⇔
⇒
.
9. Reguła odrywania:
(
)
p
p
q
q
∧
⇒
,
(jeżeli prawdziwe są zdania p i p
q
⇒ , to prawdziwe jest zdanie q ).
Przykład
Zbadać, czy podane formuły rachunku zdań są prawami logicznymi:
a)
(
)
p
p
q
⇒
∨
;
b)
(
) (
)
(~ )
p
q
p
q
∨
⇒
∧
.
p
q
~ p
p
q
∨
p
q
∧
p
q
⇒
p
q
⇔
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
3
Rozwiązanie.
Aby pokazać, że badana formuła rachunku zdań jest prawem logicznym, wykorzystamy
metodę zero-jedynkową. W tym celu ustalimy wartość tej formuły dla wszystkich układów
wartości logicznych jej zmiennych zdaniowych. Jeżeli w każdym przypadku wartość logiczna
formuły będzie równa 1, to będzie ona prawem logicznym.
Dla wykazania, że rozważana formuła nie jest prawem logicznym wystarczy wskazać tylko
jeden układ wartości logicznych zmiennych zdaniowych, dla których ma ona wartość 0.
Badania przedstawiamy w postaci tabelki.
a)
p q
p
q
∨
(
)
p
p
q
⇒
∨
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Podana formuła jest prawem logicznym.
b)
p q
~ q
(~ )
p
q
∨
p
q
∧
(
) (
)
(~ )
p
q
p
q
∨
⇒
∧
0
0
1
1
0
0
Wskazaliśmy jeden układ wartości logicznych zdań ,
p q , dla których wartość logiczna
badanej formuły jest równa 0. Zatem nie jest ona prawem logicznym.
Zadanie.
Zbadać, czy podane formuły rachunku zdań są prawami logicznymi:
a)
(
)
( )
~
p
q
p
q
⇒
⇒
∨
; b)
( )
( )
~
~
p
q
p
q
∧
∨
∧
.
c)
(
)
( ) ( )
~
~
~
p
q
p
q
∨
⇔
∧
Odpowiedzi.
a) tak ; b) nie ; c) tak.
Funkcja zdaniowa.
Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcją zdaniową zmiennej x
X
∈
nazywamy każde
wyrażenie
( )
x
ϕ
, w których występuje zmienna
x
i które staje się zdaniem logicznym, gdy w
miejsce
x
podstawimy dowolny element zbioru X . Zbiór ten nazywamy dziedziną funkcji
zdaniowej. Zbiór tych elementów
x
ze zbioru X , dla których funkcja zdaniowa
( )
x
ϕ
jest
prawdziwa oznaczamy następująco:
( )
{
}
:
x
X
x
∈
ϕ
.
Analogicznie można zdefiniować funkcję zdaniową dwóch zmiennych.
4
Zakładamy, ze dane są niepuste zbiory
,
X Y
. Funkcją zdaniową
( )
,
x y
Φ
nazywamy
dowolne wyrażenie, które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennych
x i y podstawimy
dowolne elementy zbiorów
X i Y .
Kwantyfikatory
Jeżeli wszystkie elementy pewnego zbioru X spełniają funkcję zdaniową
ϕ
, to zamiast
mówić, że dla każdego x
X
∈
spełniona jest funkcja zdaniowa
ϕ
, piszemy
( )
,
x
X
x
∈
ϕ
∀
lub
( )
x X
x
∈
ϕ
∀
Jeżeli istnieje taki element x
X
∈
, dla którego spełniona jest funkcja zdaniowa
ϕ
, to
piszemy
( )
,
x
X
x
∈
ϕ
∃
lub
( )
x X
x
∈
ϕ
∃
.
Znaki
,
∀ ∃
nazywamy kwantyfikatorami odpowiednio ogólnym i szczegółowym
(egzystencjalnym).
Jeżeli chcemy zaznaczyć, że istnieje tylko jeden element
x
ze zbioru X , to stosujemy
symbol
!
x X
∈
∃
.
Uwaga
Do zapisu kwantyfikatorów używa się również symboli:
dla kwantyfikatora ogólnego:
∧
dla kwantyfikatora szczegółowego:
∨
.
Przykład.
Zbadać czy podane funkcje zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:
a)
2
2
sin
cos
1
x R
x
x
∈
+
=
∀
; b)
1
cos
2
x R
x
∈
=
∃
; c)
2
6
8
0
x R
x
x
∈
+
+ >
∀
;
d)
2
2
0
x R
y R
x
y
∈
∈
−
=
∀ ∃
; e)
2
3
0
y R x R
x y
∈
∈
=
∃∀
; f)
2
x R
y R
x
y
∈
∈
=
∀ ∃
.
Rozwiązanie
a) Zdanie jest prawdziwe; b) Zdanie jest prawdziwe bo np. dla
1
3
x
= π
1
1
3
2
cos
π =
;
c) Zdanie nieprawdziwe np. dla
3
x
= −
wartość funkcji
2
6
8
y
x
x
=
+
+
wynosi 1
−
;
d) Zdanie prawdziwe, gdyż dla dowolnego
x
można przyjąć
y
x
=
;
e) Zdanie prawdziwe. Wystarczy przyjąć
0
y
=
; f) Zdanie nieprawdziwe, gdyż dla
0
x
<
równanie
2
x
y
=
jest sprzeczne.
5
Ważniejsze prawa rachunku kwantyfikatorów
Niech
ϕ
oznacza funkcję zdaniową zmiennej x
X
∈
, a
Φ
funkcję zdaniową zmiennych
,
x
X
y
Y
∈
∈
(zakładamy, że zbiory
,
X Y są niepuste).
1. Prawo de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego:
( )
( )
~
~
x X
x X
x
x
∈
∈
ϕ
⇔
ϕ
∀
∃
.
2. Prawo de Morgana dla kwantyfikatora szczegółowego:
( )
( )
~
~
x X
x X
x
x
∈
∈
ϕ
⇔
ϕ
∃
∀
.
3. Prawo przestawiania dla kwantyfikatorów ogólnych:
( )
( )
,
,
x X
y Y
y Y
x X
x y
x y
∈
∈
∈
∈
Φ
⇔
Φ
∀ ∀
∀ ∀
.
4. Prawo przestawiania dla kwantyfikatorów szczegółowych:
( )
( )
,
,
x X
y Y
y Y
x X
x y
x y
∈
∈
∈
∈
Φ
⇔
Φ
∃ ∃
∃ ∃
.
5. Prawo przestawiania kwantyfikatora ogólnego ze szczegółowym:
( )
( )
,
,
x X
y Y
y Y
x X
x y
x y
∈
∈
∈
∈
Φ
⇒
Φ
∃ ∀
∀ ∃
.
2. Zbiory
Zbiory oznaczamy zwykłe dużymi literami alfabetu, ich elementy małymi. Fakt, ze element
a
jest elementem zbiory A zapisujemy symbolicznie: a
A
∈
. Jeżeli b nie jest elementem
tego zbioru, to piszemy b
A
∉
. Zbiory określamy zwykle przez podanie ich elementów lub
przez podanie warunku W , które mają spełniać jego elementy. Piszemy wtedy
{
}
1
2
3
,
,
,...,
n
a a a
a
,
{
}
1
2
3
,
,
,...
a a a
,
( )
{
}
:
x W x
.
Zbiór, który nie ma żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem
∅
.
Uwaga. Zamiast zbiór mówimy też – zależnie od okoliczności – mnogość , klasa, rodzina
lub przestrzeń.
Podzbiór
Jeżeli każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B , to mówimy, że A jest
podzbiorem B ( A zawiera się w B ). Zapisujemy ten fakt w postaci A
B
⊂
.
6
Mamy zatem
(
) (
)
x
A
B
x
A
x
B
⊂
⇔
∈
⇒
∈
∀
.
Jeżeli przy tym A
B
≠
, to mówimy, że A jest podzbiorem właściwym i zapisujemy A
B
.
Oczywiście
A
∅ ⊂
oraz A
A
⊂
dla każdego zbioru .
A
Ilustracją działań na zbiorach są tzw. diagramy Venna, w których zbiory są interpretowane
jako tarcze kół a elementy jako punkty.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B
Równość zbiorów:
(
)
(
) (
)
A
B
A
B
B
A
=
⇔
⊂
∧
⊂
.
Uwaga.
Dwa zbiory skończone są równe, jeżeli mają takie same elementy np. zbiory
{
}
1, 2,3, 4,5
A
=
oraz zbiór
{
}
2,1, 4,5, 3
B
=
są równe.
Suma zbiorów
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, który składa się z wszystkich elementów zbioru A oraz
wszystkich elementów zbioru
B. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem A
B
∪
.
Mamy zatem
(
)
(
) (
)
x
A
B
x
A
x
B
∈ ∪
⇔
∈
∨ ∈
.
Suma zbiorów
7
Iloczyn zbiorów
Iloczynem (przekrojem albo częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony tylko z
tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn zbiorów A i B
oznaczamy symbolem A
B
∩
. Mamy zatem
(
)
(
) (
)
x
A
B
x
A
x
B
∈ ∩
⇔
∈
∧ ∈
.
Iloczyn zbiorów
Mówimy, ze zbiory A i B są rozłączne , gdy ich iloczyn jest zbiorem pustym tj. A
B
∩ = ∅
.
Zbiory rozłączne
Różnica zbiorów
Różnicą zbiorów
A i B nazywamy zbiór złożony tylko z tych elementów zbioru A które nie
należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem
\
A B
. Mamy zatem
(
)
(
) (
)
\
x
A B
x
A
x
B
∈
⇔
∈
∧ ∉
.
Różnica zbiorów
Różnica symetryczna
Różnicą symetryczną
zbiorów A i B nazywamy zbiór
(
) (
)
\
\
A B
B A
∪
. Zbiór ten oznaczamy
przez A B
÷
. Zatem
A B
÷
=
(
) (
)
\
\
A B
B A
∪
.
Zachodzi równość: A B
B
A
÷ = ÷
.
8
Różnica symetryczna
Dopełnienie zbioru
Niech X będzie ustalonym zbiorem zwanym przestrzenią oraz niech A będzie dowolnym
podzbiorem tej przestrzeni. Dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni X ) nazywamy zbiór
\
X A
i oznaczamy go symbolem A
′
. Zatem
\
A
X A
′ =
X
Dopełnienie zbioru
Uwaga.
Przestrzeń oznaczana jest również symbolem
Ω
(np. w rachunku prawdopodobieństwa).
Własności dopełnienia
1.
( )
A
A
′
′ =
; 2.
,
X
X
′
′
∅ =
= ∅
; 3. A
A
′
∩ = ∅
, A
A
X
′
∪ =
;
4. A
B
B
A
′
′
⊂
⇔
⊂
.
Własności działań na zbiorach
1. Przemienność sumy i iloczynu:
A
B
B
A
∪ = ∪
, A
B
B
A
∩ = ∩
.
2. Rozdzielność sumy i iloczynu:
(
)
(
) (
)
A
B
C
A
C
B
C
∪
∩ =
∩
∪
∩
,
(
)
(
) (
)
A
B
C
A
C
B
C
∩
∪ =
∪
∩
∪
.
3. Przechodniość zawierania:
(
) (
)
(
)
A
B
B
C
A
C
⊂
∧
⊂
⇒
⊂
.
9
Iloczyn kartezjański
Parą uporządkowaną
( )
,
a b
nazywamy zbiór dwuelementowy
{ }
,
a b
, w którym element
a
jest wyróżniony jako pierwszy a element b jako drugi .Element
a
nazywamy poprzednikiem
zaś element b następnikiem pary uporządkowanej.
Inaczej para uporządkowana to ciąg dwuelementowy
( )
,
a b
.
Nie należy mylić pary uporządkowanej ze zbiorem dwuelementowym
{ }
,
a b
. Mamy bowiem
na ogół
( ) ( )
,
,
a b
b a
≠
, natomiast
{ } { }
,
,
a b
b a
=
.
Niech
(
)
1
1
,
a b
oraz
(
)
2
2
,
a b
będą dwiema parami uporządkowanymi. Własnością
charakteryzującą parę uporządkowaną jest tożsamość
(
) (
)
1
1
2
2
1
2
1
2
,
,
a b
a b
a
a
b
b
=
⇔
=
∧
=
.
Niech będą dane dwa niepuste zbiory A i B .
Iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów A i B oznaczonym symbolem A B
×
,
nazywamy zbiór określony następująco:
( )
{
}
,
:
A B
x y
x
A
y
B
× =
∈ ∧ ∈
.
Iloczyn kartezjański jest więc zbiorem wszystkich par uporządkowanych
( )
,
x y
, gdzie x
A
∈
oraz y
B
∈
.
Jeżeli zbiory A i B są zbiorami liczbowymi, to zbiór A B
×
możemy interpretować
geometrycznie na płaszczyźnie jako zbiór tych wszystkich punktów
( )
,
x y
dla których x
A
∈
oraz y
B
∈
.
Podobnie możemy określić trójkę uporządkowaną
(
)
, ,
a b c
, czwórkę uporządkowaną
(
)
, , ,
a b c d
i ogólnie n kę
−
uporządkowaną
(
)
1
2
,
,...,
n
a a
a
jako odpowiednio ciągi:
trójelementowe, czteroelementowe i
n
−
elementowe.
Własność charakteryzująca n kę
−
uporządkowaną :
(
) (
)
1
2
1
2
1
1
2
2
,
,...,
,
,...,
...
n
n
n
n
a a
a
b b
b
a
b
a
b
a
b
=
⇔
= ∧
= ∧ ∧
=
.
Możemy teraz zdefiniować iloczyn kartezjański niepustych zbiorów
1
2
,
,...,
n
A A
A
następująco:
(
)
{
}
1
2
1
2
1
1
2
2
...
,
,...,
:
...
n
n
n
n
A
A
A
a a
a
a
A
a
A
a
A
× × ×
=
∈
∧ ∈
∧ ∧ ∈
.
W przypadku gdy
1
2
...
n
A
A
A
A
=
= =
=
na oznaczenie iloczynu kartezjańskiego
1
2
...
n
A
A
A
× × ×
używamy symbolu
n
A .
10
Własności iloczynu kartezjańskiego.
1.
.
A B
A
B
× = ∅ ⇔
= ∅ ∨
= ∅
2.
(
) (
) (
)
A
B
C
A B
A C
×
∩
=
×
∩ ×
.
3.
(
) (
) (
)
A
B
C
A B
A C
×
∪
=
×
∪ ×
.
Przykład 1.
Niech
{
}
{ }
1, 2,3 ,
4, 5
A
B
=
=
.
Wtedy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
1, 4 , 1,5 , 2, 4 , 2,5 , 3, 4 , 3,5
A B
× =
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
4,1 , 4, 2 , 4, 3 , 5,1 , 5, 2 , 5, 3
B A
× =
.
Wniosek.
Iloczyn kartezjański nie jest na ogół przemienny.
Przykład 2.
Dane są zbiory:
{ }
{
}
{ }
1, 2 ,
2,3, 4 ,
4,5
A
B
C
=
=
=
. Sprawdzić prawdziwość wzoru:
(
)
(
) (
)
A
B
C
A C
B C
∪ × =
×
∪ ×
.
Rozwiązanie.
{
}
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
1, 2, 3, 4 .
(
)
1, 4 , 1, 5 , 2, 4 , 2, 5 , 3, 4 , 3,5 , 4, 4 , 4,5
A
B
A
B
C
∪ =
∪ × =
.
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
1, 4 , 1,5 , 2, 4 , 2, 5
A C
× =
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
2, 4 , 2, 5 , 3, 4 , 3,5 , 4, 4 , 4,5
B C
× =
,
(
) (
)
A C
B C
×
∪ ×
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
1, 4 , 1, 5 , 2, 4 , 2,5 , 3, 4 , 3, 5 , 4, 4 , 4, 5
.
Zatem
(
)
(
) (
)
A
B
C
A C
B C
∪ × =
×
∪ ×
.
Przykład 3.
Dla podanych par przedziałów narysować zbiór A B
×
:
a)
;
,
,
;
,
;
A
a b
a
b B
c d
c
d
=
<
=
<
b)
(
;
,
,
;
,
;
A
a b
a
b B
c d
c
d
=
<
=
<
c)
(
)
;
,
,
;
,
;
A
a b
a
b B
c d
c
d
=
<
=
<
d)
)
(
( )
;
,
,
;
,
;
A
a b
a
b B
c d
c
d
=
<
=
<
e)
( )
;
,
,
;
,
;
A
a b
a
b B
c d
c
d
=
<
=
<
f)
( )
;
,
,
;
,
.
A
a b
a
b B
c d
c
d
=
<
=
<
Rozwiązanie.
11
Moc zbioru. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne
Załóżmy, że dane są niepuste zbiory A oraz B . Jeżeli każdemu elementowi zbioru A
przyporządkowany jest wzajemnie jednoznacznie element zbioru B , to mówimy, że na
zbiorze A została określona funkcja różnowartościowa f i zapisujemy
1 : 1
:
f A
B
→
.
Mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór A na zbiór B .
Inaczej mówiąc każdemu elementowi zbioru A odpowiada tylko jeden element zbioru B
i odwrotnie każdemu elementowi zbioru
B
odpowiada tylko jeden element zbioru A ,
(elementy tych zbiorów możemy połączyć w pary).
Definicja
Mówimy, że zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B lub że zbiory A i B są równej mocy
i piszemy
~
A
B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa
1: 1
:
f A
B
→
,
(elementy tych zbiorów możemy połączyć w pary).
Moc zbioru oznaczamy symbolem
A . Zatem
~
A
B
A
B
⇔
=
.
Uwaga.
Moc zbioru określa się też terminem „liczność zbioru”.
W odniesieniu do zbiorów skończonych podana definicja jest zgodna z naszym
elementarnym wyobrażeniem o równoliczności zbiorów. Istotnie , jeżeli zbiory skończone
mają tę samą liczbę elementów, to elementy te można połączyć w pary: połączenia takie
określą różnowartościowe odwzorowanie jednego zbioru na drugi. Na odwrót, jeżeli funkcja
taka istnieje, to zbiory te mają tę samą liczbę elementów, gdyż każdy element jednego zbioru
ma dokładnie jednego „partnera” w drugim zbiorze, przyporządkowanego mu w tym
odwzorowaniu.
Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem
n
0
(alef zero) , natomiast moc
zbioru liczb rzeczywistych symbolem ∁ (continuum).
Zatem
N
=
n
0
oraz
R
=
∁ .
Zauważmy, że zbiór skończony nie jest równoliczny z żadnym ze swoich podzbiorów
właściwych (różnych od całego zbioru).
Definicja 1.
Zbiór nazywamy
przeliczalnym, gdy jest zbiorem skończonym lub gdy jest równoliczny ze
zbiorem liczb naturalnych N .
Jeżeli zbiór nie jest skończony , to przeliczalność oznacza, że wszystkie elementy tego zbioru
można ustawić w ciąg nieskończony, przy czym każdy element wystąpi w tym ciągu
dokładnie jeden raz.
Przykład.
1. Zbiór wszystkich liczb naturalnych parzystych jest równoliczny ze zbiorem N , czyli jest
przeliczalny.
Istotnie, funkcja
( )
2 ,
f n
n
n
N
=
∈
jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór N na zbiór
wszystkich liczb naturalnych parzystych.
12
2. Zbiór wszystkich liczb wymiernych dodatnich jest przeliczalny.
Utwórzmy z ułamków następującą tablicę:
3
5
1
2
4
1
1
1
1
1
3
5
1
2
4
2
2
2
2
2
3
5
1
2
4
3
3
3
3
3
3
1
2
4
4
4
4
4
3
1
2
5
5
5
1
6
...
...
...
...
...
...
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
ր
W tej tablicy znajdzie się każda liczba wymierna dodatnia, przy czym niektóre z nich
powtórzą się ( np.
8
2
4
3
6
12
...
= = =
). Tworzymy teraz ciąg elementów tej tablicy porządkując je
według kolejności określonej przez ukośne strzałki, poczynając od lewego górnego rogu
tablicy. Liczby, które pojawią się w ciągu powtórnie
−
pomijamy. W ten sposób otrzymamy
ciąg
(
)
3
3
5
1
1
2
1
1
2
4
1
1
2
1
3
1
4
3
2
1
5
1
,
,
, , ,
,
,
,
, , ,... .
W tak skonstruowanym ciągu każda liczba wymierna dodatnia wystąpi dokładnie jeden raz.
Zatem zbiór wszystkich liczb wymiernych dodatnich jest przeliczalny.
Twierdzenie 1.
Przedział domknięty
0;1
jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie 2.
Przedział otwarty
( )
0;1
jest równoliczny ze zbiorem R .
Zauważmy najpierw, że funkcja
1
2
t
x
= π − π
odwzorowuje różnowartościowo przedział
( )
0;1
na przedział
(
)
1
1
2
2
;
− π π
a funkcja ( )
f t
=
tg
t odwzorowuje różnowartościowo
przedział
(
)
1
1
2
2
;
− π π
na
R . Zatem funkcją różnowartościową, która odwzorowuje przedział
otwarty
( )
0;1
na
R jest funkcja ( )
f x
=
tg
(
)
1
2
x
π − π
.
Wynika stad, że
( )
0;1
R
= =
∁ .
Podamy teraz twierdzenia ułatwiające rozstrzyganie przeliczalności lub nieprzeliczalności
zbiorów.
Twierdzenie 3.
Jeżeli
A
B
⊂
i
B jest zbiorem przeliczalnym, to zbiór A jest skończony, pusty albo
przeliczalny.
13
Twierdzenie 4.
Jeżeli A
B
⊂
i A jest zbiorem nieprzeliczalnym, to zbiór B jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie 5.
Jeżeli A
B
∼
i A jest zbiorem nieprzeliczalnym, to zbiór B jest również zbiorem
nieprzeliczalnym.
Z twierdzenia 5 oraz twierdzenia 1 wynika, że każdy przedział domknięty
;
,
,
a b
a
b
<
jest zbiorem nieprzeliczalnym. Istotnie funkcja
( )
(
)
,
0;1
f x
b a x
a
x
= −
+
∈
Jest różnowartościowa i odwzorowuje przedział
0;1
na przedział
;
a b
, więc
0;1
,
a b
∼
.
3. Zbiory liczbowe
Zbiór liczb rzeczywistych
Stosujemy następujące oznaczenia zbiorów liczbowych:
{
}
1, 2, 3,...
N
=
−
zbiór liczb naturalnych ,
{
}
0, 1, 2,...
=
± ±
−
Z
zbiór liczb całkowitych,
p
Q
p
Z q
q
=
∈
∈
−
ℕ
:
,
zbiór liczb wymiernych,
R
−
zbiór liczb rzeczywistych.
Zauważmy, że
N
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
.
Relacja między zbiorami
,
,
,
N Z Q R
Zbiór Q
R Q
′ =
\
nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.
Zatem R
Q
Q
′
= ∪
.
Uwaga.
1. Iloczyn kartezjański R R
×
oznaczamy symbolem
2
R . Elementami tego iloczynu
kartezjańskiego są wszystkie punkty płaszczyzny.
2. Iloczyn kartezjański
...
,
,
n razy
R R
R
n
N
−
× × ×
∈
oznaczamy symbolem
n
R . Elementami
tego iloczynu kartezjańskiego są wszystkie punkty (jako ciągi
n
−
elementowe) tzw.
przestrzeni
n
−
wymiarowej.
14
Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci rozwinięcia na ułamek dziesiętny.
Zachodzą przy tym zależności, które sformułujemy w postaci twierdzeń.
Twierdzenie 1.
Liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest
ułamkiem skończonym lub ułamkiem nieskończonym i okresowym.
Na przykład
( )
( )
1
1
2
0 25
0 333
0 3
0 181818
0 18
4
3
11
=
=
=
=
=
,
,
,
....
,
,
,
...
,
.
Twierdzenie 2.
Liczba rzeczywista jest
niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest
ułamkiem nieskończonym i nieokresowym.
Przykładami liczb niewymiernych są liczby:
2
1, 414213562...
,
3,141592653... , log 2
0, 301029994....
=
π =
=
.
Własność:
1. Między dwiema dowolnymi liczbami wymiernymi leży
a) liczba wymierna,
b) liczba niewymierna.
2. Między dwiema dowolnymi liczbami niewymiernymi leży
a) liczba wymierna,
b) liczba niewymierna.
Przedziały liczbowe
Niech
a
i b będą liczbami rzeczywistymi, przy czym a
b
<
.
Określimy teraz pewne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych zwane przedziałami.
Przedział otwarty
( ) {
}
;
:
a b
x
R a
x
b
= ∈
< <
.
Przedział domknięty
{
}
;
:
a b
x
R a
x
b
= ∈
≤ ≤
.
Przedział lewostronnie domknięty
) {
}
;
:
a b
x
R a
x
b
= ∈
≤ <
.
Przedział prawostronnie domknięty
(
{
}
;
:
a b
x
R a
x
b
= ∈
< ≤
.
Liczby
a
i b nazywamy końcami przedziałów. Liczbę b a
−
nazywamy długością każdego
z tych przedziałów.
Przedziały niewłaściwe:
) {
}
;
:
a
x
R a
x
+∞ = ∈
≤ < +∞
;
(
) {
}
;
:
a
x
R a
x
+∞ = ∈
< < +∞
;
(
{
}
;
:
b
x
R
x
b
−∞
= ∈
− ∞ < ≤
;
)
(
{
}
;
:
b
x
R
x
b
−∞
= ∈
− ∞ < <
;
15
(
)
;
R
= −∞ +∞
;
(
)
0;
R
+
=
+∞ −
zbiór wszystkich liczb dodatnich ;
(
)
; 0
R
−
= −∞
−
zbiór wszystkich liczb ujemnych .
Podane określenia przedziałów ilustruje poniższa tabela
Zbiory ograniczone
Definicja 1.
Zbiór
⊂
A
R jest ograniczony z dołu, jeżeli istnieje liczba rzeczywista
m
taka, że dla
każdego x
A
∈
spełniona jest nierówność x
m
≥
, co można zapisać w następujący sposób:
m R
x A
x
m
∈
∈
≥
∃ ∀
.
Liczbę
m
nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru .
A
Zatem zbiór jest ograniczony z dołu,
gdy wszystkie jego elementy leżą na prawo od pewnego punktu osi liczbowej.
Definicja 2.
Zbiór
⊂
A
R jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje liczba rzeczywista M taka, że dla
każdego
x
A
∈
spełniona jest nierówność
x
M
≤
tj.
M R
x A
x
M
∈
∈
≤
∃ ∀
.
Liczbę
M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru .
A Zatem zbiór jest ograniczony z góry,
gdy wszystkie jego elementy leżą na lewo od pewnego punktu osi liczbowej.
Zbiór ograniczony z dołu Zbiór ograniczony z góry
16
Definicja 3.
Zbiór
⊂
A
R jest ograniczony , jeżeli istnieją liczby rzeczywiste ,
,
m M
m
M
≤
takie, że dla
każdego x
A
∈
spełniona jest nierówność m
x
M
≤ ≤
, co można zapisać w następujący
sposób
,
m M R
x A
m
x
M
∈
∈
≤ ≤
∃ ∀
.
Zatem zbiór jest ograniczony , gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma
punktami osi liczbowej.
Uwaga.
W definicji można tak dobrać stałe
m
i M , aby M
m
= −
. Wtedy zbiór ograniczony
charakteryzuje warunek:
0
M
x A
x
M
>
∈
≤
∃ ∀
.
Kresy zbiorów
Definicja 4.
Liczba
a
jest najmniejszym elementem zbioru A
R
⊂
, co zapisujemy
min
a
A
=
, jeżeli
a
A
∈
oraz
x A
x
a
∈
≥
∀
.
Definicja 5.
Liczba
b jest największym elementem zbioru A
R
⊂
, co zapisujemy
max
b
A
=
, jeżeli
a
A
∈
oraz
x A
x
b
∈
≤
∀
.
Definicja 6. (kres dolny zbioru)
Niech
A
R
⊂
będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba
a
jest
kresem dolnym tego zbioru,
co zapisujemy
inf
a
A
=
, jeżeli
x A
x
a
∈
≥
∀
oraz
0
0
0 x
A
x
a
ε>
∈
< + ε
∀ ∃
.
Zatem kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór od dołu.
Jeżeli zbiór
A nie jest ograniczony z dołu, to przyjmujemy
inf
def
A
= − ∞
.
Definicja 7. (kres górny zbioru)
Niech
A
R
⊂
będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba
b jest kresem górnym
tego
zbioru, co zapisujemy
sup
b
A
=
, jeżeli
x A
x
b
∈
≤
∀
oraz
0
0
0 x
A
x
b
ε>
∈
> − ε
∀ ∃
.
Zatem kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór od dołu.
Jeżeli zbiór
A nie jest ograniczony z góry, to przyjmujemy sup
def
A
= + ∞
.
17
Uwaga.
Kresy zbioru nie muszą należeć do zbioru.
Przykład.
1. Dla zbioru
0;5
A
=
inf
0
A
A
= ∈
oraz
sup
5
A
A
= ∈
.
2. Dla zbioru
(
)
1;3
A
= −
inf
1
A
A
= − ∉
oraz sup
3
A
A
= ∉
.
3. Dla zbioru
(
;1
A
= −∞
inf A
= −∞
oraz sup
1
A
A
= ∈
.
Zadanie.
Znaleźć kresy podanych zbiorów:
a)
( )
0;5
6;9
A
=
∪
; b)
1
:
2
A
x
R x
n
N
n
=
∈
=
∧ ∈
; c)
{
}
:
2
n
A
x
R x
n
N
= ∈
= ∧ ∈
.
Odpowiedzi.
a) inf
0, sup
9
A
A
=
=
; b)
1
inf
0, sup
2
A
A
=
=
; c ) inf
2, sup
A
A
=
= +∞
.
Aksjomat ciągłości
Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
4. Działania algebraiczne
Potęgi
Najpierw określimy
potęgę o wykładniku naturalnym.
Dla
a
R
∈
oraz
n
N
∈
przyjmujemy:
...
n
n czynników
a
a a a
a
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
,
oraz
1
n
n
a
a
−
=
,
0
1
a
=
, gdy
0
a
≠
.
Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia
2
n
≥
z nieujemnej liczby rzeczywistej
a
nazywamy
nieujemną liczbę rzeczywistą
c
taką, że
n
c
a
=
. Piszemy wówczas
n
c
a
=
.
Mamy zatem
n
n
a
c
c
a
=
⇔
=
.
Pierwiastek stopnia 2 nazywamy pierwiastkiem kwadratowym i oznaczamy symbolem a .
18
Zachodzą następujące wzory:
1.
n
n
n
a b
a
b
⋅ =
⋅
; 2.
,
0
n
n
n
a
a
b
b
b
=
>
; 3.
m n
m n
a
a
⋅
=
.
Wzory te są prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych ,
2
n m
≥
oraz dla dowolnych liczb
rzeczywistych ,
0
a b
≥
.
Rozszerzamy definicję pierwiastka arytmetycznego stopnia nieparzystego na liczby ujemne
przyjmując, ze dla
0
a
<
pierwiastek jest określony wzorem
n
n
a
a
= − −
.
Potęgę o podstawie
0
a
>
i
dodatnim wykładniku wymiernym
p
q
, gdzie liczby naturalne
,
p q
są
względnie pierwsze, określamy wzorem
( )
p
p
q
q
a
a
=
.
Dla ujemnego wykładnika wymiernego
w
przyjmujemy
1
−
=
w
w
a
a
.
Ponadto dla
0
a
<
oraz wymiernego wykładnika
p
q
, gdzie liczby całkowite ,
p q są
względnie pierwsze, a q jest liczbą nieparzystą, przyjmujemy
(
)
p
p
q
q
a
a
= − −
.
Własności potęg
Niech , , ,
a b x y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym ,
0.
a b
>
Wtedy
1.
x
y
x y
a
a
a
+
⋅
=
; 2.
x
x y
y
a
a
a
−
=
; 3.
( )
x
x
x
a
b
a b
⋅ = ⋅
;
4.
x
x
x
a
a
b
b
=
; 5.
( )
y
x
x y
a
a
⋅
=
; 6.
1
x
x
a
a
−
=
.
19
Przykład.
a) Obliczyć:
3
4
5
8
8
8
8
⋅
⋅
⋅
; b) Uprościć wyrażenie:
( )( )
( )
2
4
2
4
3
2
3
.
x
x
x
Rozwiązanie.
a) Mamy kolejno:
1
5
5
8
8
=
,
1
5
1
6
1
5
5
5
8
8
8 8
8
8
+
⋅
= ⋅
=
=
,
1
6
6
6 1
6
3
4
4
4
5
5
5
5 4
20
10
8
8
8
8
8
8
8
⋅
⋅
=
=
=
=
=
,
3
3
13
1
4
5
10
10
10
8
8
8
8 8
8
8
+
⋅
⋅
= ⋅
=
=
,
1
13
13
13 1
13
3
3
3
4
5
10
10
10 3
30
8
8
8
8
8
8
8
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
,
13
13
43
1
3
4
5
30
30
30
8
8
8
8
8 8
8
8
+
⋅
⋅
⋅
= ⋅
=
=
.
Ostatecznie
( )
1
43
43 1
43
43
43
2
3
3
4
5
30
30 2
60
20
60
8
8
8
8
8
8
8
2
2
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
=
.
b)
( )( )
( )
( )(
)
2
4
2
4
2
2 2
4 4
8 12
4
4
3 4
12
4
3
2
3
2
3
18
18
18
18
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⋅
+
−
−
⋅
=
=
=
=
=
.
Zadanie.
1. Oblicz:
a)
( )
3
1
5
: 2,8
7
−
; b)
1
3
1
1
8
27
3
3
2
2
−
−
⋅
; c)
(
)
1
12
2
4
3
4
0,125
9
−
⋅
; d)
( )
0
10
20
30
5
4
3
3 3
3
3
3
⋅
⋅
⋅
.
2. Zapisz dane wyrażenie w postaci
(
)
0
>
x
a
a
:
a)
( )
4
8
4
1
(
:
)
−
a a
a
a
; b)
2
3
3
−
−
⋅
a
a
a
; c)
a
; d)
3
4
⋅
⋅
⋅
a
a
a
a
.
Odpowiedzi.
1.
a)
1
8
−
; b)
3
2
; c)
27
16
; d) 1 .
2. a)
10
a
; b)
2
3
a
; c)
1
8
a
; d)
25
12
a
.
20
Przekształcenia algebraiczne
Podamy teraz kilka użytecznych wzorów pozwalających na uproszczenie wyrażeń
algebraicznych. Następnie omówimy metody uwalniania wyrażeń ułamkowych od
niewymierności w mianowniku.
Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia:
(
)
2
2
2
2
a b
a
ab b
+
=
+
+
,
(
)
2
2
2
2
a b
a
ab b
−
=
−
+
,
(
)
3
3
2
2
3
3
3
a b
a
a b
ab
b
+
=
+
+
+
,
(
)
3
3
2
2
3
3
3
a b
a
a b
ab
b
−
=
−
+
−
.
Niech
2
n
≥
będzie liczbą naturalną oraz niech
,
a b będą dowolnymi liczbami
rzeczywistymi. Wtedy prawdziwy jest wzór:
(
)
(
)
1
2
2
1
...
n
n
n
n
n
n
a
b
a b
a
a
b
ab
b
−
−
−
−
−
= −
+
+ +
+
.
W szczególności dla
2, 3, 4
n
=
mamy:
(
)(
)
2
2
a
b
a b
a b
−
=
−
+
.
(
)
(
)
3
3
2
2
a
b
a b
a
ab b
− =
−
+
+
,
(
)
(
)
4
4
3
2
2
3
a
b
a b
a
a b
ab
b
−
=
−
+
+
+
.
Niech teraz
3
n
≥
będzie liczbą naturalną
nieparzystą oraz niech ,
a b będą dowolnymi
liczbami rzeczywistymi. Wtedy prawdziwy jest wzór:
(
)
(
)
1
2
3 2
2
1
...
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a b
a
a
b
a
b
ab
b
−
−
−
−
−
+
=
+
−
+
+ −
+
.
W szczególności dla
3, 5
n
=
mamy
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
2
2
5
5
4
3
2 2
3
4
,
.
a
b
a b
a
ab b
a
b
a b
a
a b
a b
ab
b
+
=
+
−
+
+
=
+
−
+
−
+
Przykład.
Uprościć wyrażenia:
a)
3
2
8
4
x
x
−
−
; b)
2
1
1
x
x
−
−
; c)
3
2
3
1
x
x
x
−
−
.
Rozwiązanie.
a)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
3
2
2
2
2
2
8
2
4
2
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
+
−
+
+
=
=
−
+
+
−
.
21
b) Dla
0
x
≥
oraz
1
x
≠
mamy
(
)(
)
( )
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+
−
+
−
=
=
=
= −
−
+
−
−
−
−
−
.
c) Dla
1
x
≠
mamy
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
2
2
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
=
=
−
+
+
−
+
+
−
.
Zadanie .
Wykonaj działania i sprowadź do możliwie najprostszej postaci:
a)
(
)
(
)
2
2
2
2
+
−
+
a
b
b b
a ;
b)
(
)(
) (
)
2
4
4
4
−
+
− −
y
x
y
x
y
x
;
c)
(
)
(
)
3
2
6
2
−
+
−
k
k k
;
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
−
+
+
− +
−
+
a b
a
ab b
a b
a
ab b
,
e)
2
2
2
2
1
2
a b
a b
a
b
ab
a b
a b
ab
a
b
−
+
+
+
⋅
+ ⋅
+
−
+
.
Odpowiedzi.
a)
2
2
2
a
b
+
;
b)
(
)
8
4
x y
x
−
;
c)
3
8
k
−
;
d)
3
2b
−
;
e)
a b
a b
+
−
.
Przykład.
Uwolnić od niewymierności w mianowniku wyrażenia:
a)
4
6
3
; b)
26
4
3
−
; c)
5
3
5
3
−
+
; d)
3
6
2 1
+
.
Rozwiązanie.
a)
4
3
4
4
4
4
4
4
4
3
4
6
6
3
6 27
6 27
2 27
3
3
3
3
3
=
⋅
=
=
=
.
b)
(
) ( )
26 4
3
26
26
4
3
2 4
3
16 3
4
3
4
3 4
3
+
+
=
⋅
=
=
+
−
−
−
+
.
c)
(
)
( ) ( )
2
2
2
5
3
5
3
5
3
5
3
5 2 15
3
8 2 15
4
15
5 3
2
5
3
5
3
5
3
5
3
−
−
−
−
−
+
−
=
⋅
=
=
=
= −
−
+
+
−
−
.
d)
(
)
( )
(
)
3
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
6
4
2 1
6
6
2
2 1
2
4
2 1
2 1
2 1
2
2 1
2
1
−
+
−
+
=
⋅
=
=
−
+
+
+
−
+
+
.
22
Zadanie.
Uwolnić od niewymierności w mianowniku wyrażenia:
a)
3
5
9
; b)
4
5
2
+
; c)
3
2
2 2
7
−
−
; d)
4
5
2 1
−
.
Odpowiedzi.
a)
3
5 3
3
; b)
(
)
4
5
2
−
; c)
(
)(
)
3
2
2 2
7
−
+
; d)
(
)(
)
4
5
2 1
2 1
+
+
.
5. Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględną (moduł) liczby rzeczywistej
x
określamy wzorem:
0,
0.
x
dla x
x
x
dla x
≥
=
−
<
Dla przykładu:
( )
5
5,
3
3
3 , 0
0.
=
− = − − =
=
Wartość bezwzględna ma następującą interpretację geometryczną:
x
jest
odległością liczby
x
(jako punktu osi liczbowej) od początku tej osi tj. punktu 0.
Własności wartości bezwzględnej.
Niech ,
x y
będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi a
n
liczbą naturalną. Wtedy:
1.
x
x
− =
; 2.
0,
0
0
x
x
x
≥
= ⇔ =
; 3.
,
n
n
x y
x
y
x
x
⋅ = ⋅
=
;
4.
,
0
x
x
y
y
y
=
≠
; 5. x
y
x
y
x
y
−
≤ + ≤ +
;
6.
2
x
x
=
;
7.
x
y
x
y
x
y
=
⇔ = ∨ = −
.
23
Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Równania w wartością bezwzględną
Równanie
x
a
=
ma dwa rozwiązania: x
a
x
a
= ∨ = −
, gdy
0
a
>
,
jedno rozwiązanie
0
x
=
, gdy
0
a
=
oraz jest
sprzeczne gdy
0.
a
<
Przykład.
Rozwiązać równania:
a)
3
1
x
− =
; b)
2 3
1
x
−
=
; c)
3
4
9
x
x
− + + =
; d)
2
5
1
x
− =
;
e)
2
5
6
0
x
x
−
+ =
; f)
4
3
3
3
0
x
x
x
+ −
+ =
.
Rozwiązanie.
a)
3
1
3 1
3
1
x
x
x
− = ⇔ − = ∨ − = −
. Stąd
4
2
x
x
= ∨ =
.
b)
2 3
1
2 3
1
2 3
1
x
x
x
−
= ⇔ −
= ∨ −
= −
. Stąd
1
3
1
x
x
= ∨ =
.
c)
3
4
9
x
x
− + + =
.
Mamy:
(
)
3
3,
3
3
3
3,
x
gdy x
x
x
x
gdy
x
−
≥
− =
− − = − +
<
oraz
(
)
4
4,
4
4
4
4.
x
gdy x
x
x
x
gdy
x
+
≥ −
+ =
− + = − −
< −
Rozpatrujemy przypadki:
1.
(
)
; 4
x
∈ −∞ −
. Wówczas
3
3
x
x
− = − +
i
4
4
x
x
+ = − −
.
3
4
9
3
4
9
2
10
x
x
x
x
x
− + + =
⇔ − + − − = ⇔
= −
.
Zatem
(
)
5
; 4
x
= − ∈ −∞ −
jest rozwiązaniem tego równania.
2.
)
4;3
x
∈ −
. Wówczas
3
3
x
x
− = − +
i
4
4
x
x
+ = +
.
3
4
9
3
4
9
7
9
x
x
x
x
− + + =
⇔ − + + + = ⇔ =
.
Jest to równanie sprzeczne.
3.
)
3;
x
∈
+∞
. Wówczas
3
3
x
x
− = −
i
4
4
x
x
+ = +
.
3
4
9
3
4
9
2
8
x
x
x
x
x
− + + =
⇔
− + + = ⇔
=
.
Zatem
)
4
3;
x
= ∈
+∞
jest rozwiązaniem tego równania.
Ostatecznie
5
4
x
x
= − ∨ =
.
d)
2
2
2
5
1
5 1
5
1
x
x
x
− = ⇔
− = ∨
− = −
. Stąd
2
6
x
=
lub
2
4
x
=
.
Zatem
6
2
2
6
x
x
x
x
= −
∨ = − ∨ = ∨ =
.
e) W równaniu
2
5
6
0
x
x
−
+ =
rozpatrujemy dwa przypadki.
1)
0
x
≥
⇒
2
5
6
0
x
x
−
+ =
. Pierwiastkami tego równania są
2
x
=
i
3
x
=
.
2)
0
x
<
⇒
2
5
6
0
x
x
+
+ =
. Pierwiastkami tego równania są
3
x
= −
i
2
x
= −
.
f)
4
3
3
3
0
x
x
x
+ −
+ =
.
24
Mamy
)
(
)
3
3
2
3
3
0;
,
3
(3
1)
3
; 0 .
x
x
gdy x
x
x
x x
x
x
gdy x
+
∈
+∞
+ =
+ =
−
−
∈ −∞
Dla
)
0;
x
∈
+∞
otrzymujemy równanie
4
3
3 3
0
x
x
x
+ −
− =
. Po rozłożeniu lewej strony na
czynniki otrzymujemy
2
(
1)(
3)(
1)
0
x
x
x
x
−
−
+ + =
. Stąd
1
x
=
lub
3
x
=
.
Dla
)
(
; 0
x
∈ −∞
otrzymujemy równanie
4
3
3 3
0
x
x
x
+ +
+ =
. Po rozłożeniu lewej strony na
czynniki otrzymujemy
2
(
3)(
1)(
1)
0
x
x
x
x
+
+
− + =
. Stąd
3
x
= −
lub
1
x
= −
.
Zadanie 1.
Rozwiąż równania:
a)
7
2
x
− =
; b)
2
3
1
x
− =
; c)
x
x
=
; d)
2
3
2
x
x
− + =
−
; e)
4
4
2
8
x
x
+ + − =
;
f)
2
2
3
2
10
x
x
+ + − − =
; g)
1
2
1
x
− − =
.
Zadanie 2.
Rozwiąż równania:
a)
2
5
4
0
x
x
−
+ =
; b)
2
4
3
3
0
x
x
x
−
+ − + =
;
c)
2
2
9
4
5
x
x
− +
− =
; d)
4
2
1
4
x
x
+ = + +
.
Odpowiedzi.
Zadanie 1.
a)
9
x
=
lub
5
x
=
; b)
1
x
=
lub
2
x
=
;
c)
0
x
≥
; d)
2
x
=
;
e)
2
x
= −
lub
2
3
x
=
; f)
0
x
=
lub
4
x
= −
;
g)
2
x
= −
lub
0
x
=
lub
2
x
=
lub
4
x
=
.
Zadanie 2.
a)
4
x
= −
lub
1
x
= −
lub
1
x
=
lub
4
x
=
; b)
2
x
=
lub
3
x
=
;
c)
3; 2
2;3
x
∈ − − ∪
; d)
1
x
= −
lub
7
x
=
.
Nierówności z wartością bezwzględną
Nierówność
,
0
x
a
a
x
a
a
≤
⇔ − ≤ ≤
≥
.
Zatem rozwiązanie nierówności
x
a
≤
jest przedział
;
a a
−
zaś rozwiązaniem
nierówności
x
a
<
jest przedział
(
)
;
a a
−
.
Nierówność
,
0
x
a
x
a
x
a
a
≥
⇔ ≤ − ∨ ≥
≥
.
Zatem rozwiązanie nierówności
x
a
≥
jest suma przedziałów
(
)
;
;
a
a
−∞ − ∪
+∞
zaś
rozwiązaniem nierówności
x
a
>
jest suma przedziałów
)
(
(
)
;
;
a
a
−∞ − ∪
+∞
.
Przykład.
Rozwiązać nierówności:
a)
2
3
x
− ≤
; b)
3
2
x
+ ≥
; c)
2
1
3
x
x
− < +
.
25
Rozwiązanie.
a)
2
3
3
2
3
1
5
x
x
x
− ≤ ⇔ − ≤ − ≤
⇔ − ≤ ≤
.
b)
3
2
3
2
3
2
x
x
x
+ ≥ ⇔ + ≤ − ∨ + ≥
. Stąd
5
x
≤ −
lub
1
x
≥ −
.
c)
1
2
1
,
2
2
1
1
2
1
.
2
x
dla x
x
x
dla x
−
≥
− =
− +
<
oraz
3
3,
3
3
3.
x
dla x
x
x
dla x
+
≥ −
+ =
− −
< −
Rozpatrujemy przypadki:
1)
3
x
< −
. Wówczas
2
1
2
1
x
x
− = − +
oraz
3
3
x
x
+ = − −
.
Otrzymujemy nierówność: 2
1
3
x
x
− + < − −
, której rozwiązaniem są
4
x
>
.
Zatem w tym przypadku
x
∈∅
( gdyż warunki
3
x
< −
oraz
4
x
>
wykluczają się).
2)
1
3
2
x
− ≤ <
. Wówczas
2
1
2
1
x
x
− = − +
oraz
3
3
x
x
+ = +
.
Otrzymujemy nierówność: 2
1
3
x
x
− + < +
, której rozwiązaniem są
2
3
x
> −
.
Zatem w tym przypadku
2
1
3
2
x
− < <
.
3)
1
2
x
≥
. Mamy
2
1
2
1
x
x
− =
−
oraz
3
3
x
x
+ = +
.
Otrzymujemy nierówność 2
1
3
x
x
− < +
. Stąd
4
x
<
. Zatem w tym przypadku
1
4
2
x
≤ <
.
Ostatecznie rozwiązaniem nierówności
2
1
3
x
x
− < +
jest przedział
(
)
2
3
; 4
−
.
Zadanie 3.
Rozwiąż nierówności i opisz za pomocą zbiorów ich rozwiązania:
a)
1
2
x
− ≤
; b)
3
4
x
− >
; c)
2
3
x
+ ≥
; d)
4
2
10
x
x
+ + − ≤
.
e)
2
3
1
x
− <
; f)
2
5
6
0
x
x
−
+ >
.
Odpowiedzi
a)
1;3
x
∈ −
; b)
(
) (
)
; 1
7;
x
∈ −∞ − ∪
+∞
; c)
(
)
; 5
1;
x
∈ −∞ − ∪ +∞
; d)
6; 4
x
∈ −
.
e)
(
) ( )
2;
2
2; 2
x
∈ − −
∪
; f)
(
) (
) ( )
; 3
2; 1
6;
x
∈ −∞ − ∪ − − ∪
∞
.
26
6. Dwumian Newtona
Znak sumy pojedynczej
Załóżmy, że
1
2
,
,...,
n
x x
x są liczbami rzeczywistymi.. Wówczas sumę tych liczb
zapisujemy za pomocą znaku sumy
∑
(sigma) w następujący sposób:
1
2
1
..
n
n
i
i
x
x
x
x
=
+ + +
=
∑
i czytamy „sigma od i równego 1 do
n
”. Liczba i jest tzw. wskaźnikiem sumacyjnym i
może być oznaczona inną literą np.
,
k
j itp. ,
1
i
= −
dolna granica sumowania, n
−
górna
granica sumowania.
Dolna granica sumowania może być dowolnie ustaloną liczbą całkowitą. Górna granica nie
może być mniejsza od dolnej.
Symbol sumy ma następujące własności:
1)
(
)
1
1
1
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x
y
=
=
=
+
=
+
∑
∑
∑
.
Istotnie
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
...
..
..
.
n
i
i
n
n
n
n
i
n
n
i
i
i
i
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
x
y
y
y
x
y
=
=
=
+
=
+
+
+
+ +
+
=
+ + +
+
+ + +
=
=
+
∑
∑
∑
2)
1
1
n
n
i
i
i
i
c x
c
x
=
=
⋅ =
∑
∑
( stałą można wyłączyć przed znak sumy).
Istotnie
(
)
1
2
1
2
1
1
...
...
n
n
i
n
n
i
i
i
c x
c x
c x
c x
c
x
x
x
c
x
=
=
⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅
+ + +
=
∑
∑
.
3)
1
...
n
i
n razy
c
c
c
c
c n
=
−
= + + + = ⋅
∑
.
Silnia
Iloczyn
n
kolejnych liczb naturalnych od
1 do
n
oznaczamy symbolem
!
n (czytamy
n
silnia). Mamy zatem
! 1 2 3 ...
n
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
Dodatkowo przyjmujemy, ż
e 0! 1
=
.
Z określenia tego symbolu wynika następujący wzór rekurencyjny:
(
)
!
1 !
n
n
n
= − ⋅
.
Symbol Newtona
Niech liczby całkowite
n
i k będą nieujemne oraz niech spełniają warunek k
n
≤
.
Symbolem Newtona nazywamy liczbę określoną wzorem:
(
)
!
!
!
n
n
k
k n k
=
−
.
27
Z określenia symbolu Newtona wynika, że
(
)
!
1
0
0!
0 !
n
n
n
=
=
−
,
(
)
(
)
(
)
1 !
!
1
1
1!
1 !
1 !
n
n
n
n
n
n
− ⋅
=
=
=
−
−
,
(
)
!
1
1
!
!
0!
n
n
n
n n n
=
=
=
−
.
Zachodzą następujące wzory:
a)
n
n
k
n k
=
−
, b)
1
1
1
n
n
n
k
k
k
+
+
=
+
+
.
Dowód
a) Lewa strona jest równa
(
)
!
!
!
n
n
k
k n k
=
−
zaś prawa strona z definicji symbolu Newtona
równa jest
(
)
!
!
(
) ! (
)!
! (
)!
n
n
n
n
n k
k
n
n k
n k
k
n k
=
=
=
−
− −
⋅ −
⋅ −
.
b) Zauważmy najpierw, że
(
)
(
)
!
!
1
1 !(
1)!
1 ! !(
1)
n
n
n
k
n k
k
n k
k k
=
=
+
− −
+
− −
+
.
Lewa strona jest równa
(
)
!
!
!
!
1
(
)! !
(
1)! !(
1)
(
1)!(
) !
(
1)! !(
1)
!
1
1
!
1
(
1)!
(
1)! !
1
(
1)! ! (
)(
1)
(
)!(
1)!
1
(
1)!
.
1
(
1) (
1) !(
1)!
n
n
n
n
n
n
k
k
n k k
n k
k k
n k
n k k
n k
k k
n
n
n
n
n
k
k
n k
k
n k
k
n k k
n k
k
n
n
k
n
k
k
+
=
+
=
+
=
+
−
− −
+
− −
−
− −
+
+
+
=
+
=
⋅
=
=
− −
−
+
− −
−
+
−
+
+
+
=
=
+
+ − +
+
Dwumian Newtona
Niech ,
a b
będą liczbami rzeczywistymi a
n
nieujemną liczbą całkowitą. Wyznaczymy
teraz rozwiniętą postać wyrażenia
(
)
n
a b
+
dla kilku początkowych wartości
n
.
Mamy:
(
)
0
1
a b
+
=
(
)
1
a b
a b
+
= +
(
)
2
2
2
2
a b
a
ab b
+
=
+
+
(
)
3
3
2
2
3
3
3
a b
a
a b
ab
b
+
=
+
+
+
(
)
4
4
3
2 2
3
4
4
6
4
a b
a
a b
a b
ab
b
+
=
+
+
+
+
28
Zapiszemy teraz w formie „trójkąta” współczynniki przy wyrażeniach
k l
a b
. Wówczas
otrzymamy tzw. trójkąt Pascala.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
........................................
Zauważmy, że w tym trójkącie lewy i prawy bok składa się z „jedynek”. Ponadto suma
każdych dwóch sąsiednich liczb jest równa wyrazowi stojącemu w środku pod nimi (taką
własność ma symbol Newtona). Trójkąt ten można zapisać za pomocą symboli Newtona w
następujący sposób:
0
0
1
1
0
1
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
................................................................................
..
Obserwacje te pozwalają na wysunięcie hipotezy o ogólnej postaci rozwinięcia:
(
)
1
2 2
1
1
...
...
0
1
2
1
n
n
n
n
n k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
a b
a
a
b
a
b
a
b
a b
b
k
n
n
−
−
−
−
+
=
+
+
+ +
+ +
+
−
.
Powyższą równość nazywamy wzorem dwumianowym Newtona.
Zauważmy jeszcze, ze wyraz
n k
k
n
a
b
k
−
dwumianu Newtona jest
(
)
1
k
+
wyrazem tego
rozwinięcia. Jeżeli oznaczymy go symbolem
1
k
A
+
to możemy napisać wzór:
1
n k
k
k
n
A
a
b
k
−
+
=
.
Dowód wzoru dwumianowego Newtona można przeprowadzić za pomocą indukcji
matematycznej.. Używając symbolu sumy wzór ten można zapisać krócej:
(
)
0
n
n
n k k
k
n
a b
a
b
k
−
=
+
=
∑
.
29
Przykłady.
1) Korzystając z definicji symbolu Newtona
n
k
oblicz :
a)
4
2
, b)
6
4
, c)
13
5
, d)
2
n
.
2) Rozwiąż równanie: a)
2
3
n
n
=
, b)
4
3
2
3
n
n
=
.
3) Udowodnić, że:
...
0
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=
−
2
n
.
4)
Znajdź czwarty wyraz rozwinięcia dwumianu:
a)
7
1
2x
x
+
, b)
5
1
2
x
x
−
.
5) Znajdź wyraz rozwinięcia dwumianu
12
3
2
x
x
+
, w którym nie występuje x .
6)
Znajdź te wyrazy rozwinięcia dwumianu, które są liczbami naturalnymi:
a)
(
)
5
3
3
2
+
, b)
(
)
24
7
5
3
2
+
.
Odpowiedzi.
1) a)
4
6
2
=
, b)
6
15
4
=
, c)
(
)
13
13!
8! 9 10 11 12 13
1287
5
13 5 !5!
8! 1 2 3 4 5
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
d)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2 !
1
1
!
2
2 ! 2!
2 ! 2
2
n
n
n
n
n n
n
n
n
−
− ⋅
−
=
=
=
− ⋅
− ⋅
.
2) a)
5
n
=
, b)
6
n
=
.
3) Wskazówka.
We wzorze Newtona
(
)
1
2 2
1
1
...
...
0
1
2
1
n
n
n
n
n k k
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a b
b
k
n
n
−
−
−
−
+
=
+
+
+ +
+ +
+
−
podstawiamy
1,
1
a
b
=
=
.
Wzór
...
0
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=
−
2
n
ma następującą interpretację kombinatoryczną:
ponieważ
n
k
jest liczbą k
−
wyrazowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru
n
−
elementowego czyli liczbą k
−
elementowych podzbiorów tego zbioru, to lewa strona
wzoru jest liczbą wszystkich podzbiorów zbioru
n
−
elementowego (łączne ze zbiorem
pustym). Wynosi ona 2
n
.
4) a) W dwumianie
7
1
2x
x
+
mamy:
2
a
x
=
,
1
b
x
=
,
7
n
=
.
czwarty wyraz
( )
( )
4
3
7 3 3
2
1
4
3 1
7
1
140
35
2
35 4
3
x
A
A
a
b
x
x
x
x
−
+
=
=
=
=
⋅ ⋅ ⋅ =
.
30
b) W dwumianie
5
1
2
x
x
−
mamy:
a
x
=
,
1
2
b
x
= −
,
5
n
=
.
czwarty wyraz
( )
3
5 3 3
2
1
4
3 1
2
5
5
10
3
4
x
A
A
a
b
x
x
−
+
=
=
=
−
= −
.
5) W dwumianie
12
3
2
x
x
+
mamy:
3
2
,
,
12
a
x
b
n
x
=
=
=
.
(
1)
k
+
wyraz jest równy
( )
12
3
12
3
1
12
12
2
2
k
k
k
n k k
k
k
k
n
x
A
a
b
x
k
k
k
x
x
−
−
−
+
=
=
=
⋅ ⋅
.
Ponieważ w wyrazie tym ma nie występować
x
więc musi być
12
3
k
k
− =
.
Stąd
3.
k
=
Zatem czwarty wyraz nie zawiera
x
i jest równy
3
12
2
1760
3
⋅ =
.
6) a) W dwumianie
(
)
5
3
3
2
+
3
2 ,
3 ,
5
a
b
n
=
=
=
.
(
1)
k
+
wyraz jest równy
( ) ( )
5
5
3
3
2
1
5
5
2
3
2
3
k
k
k
k
n k k
k
n
A
a
b
k
k
k
−
−
−
+
=
=
=
⋅
⋅
.
Ponieważ ten wyraz ma być liczbą naturalną musi jednocześnie liczba (5
)
k
−
być podzielna
przez 3 oraz k podzielne przez 2 , ( 0
5
k
≤ ≤
) . Tylko liczba
2
k
=
spełnia te warunki.
Zatem wyrazem, który jest liczbą naturalną jest trzeci wyraz równy
5
2
( ) ( )
3
2
3
3
2
=
5
2
6 = 60.
b) wyraz piętnasty =
24
14
2 2
3 2
.
7. Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna jest jedną z metod dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych.
Podamy teraz zasadę indukcji matematycznej i przykłady jej zastosowań.
Formułowana jest ona najczęściej w następującej postaci:
Niech ( )
T n będzie pewną tezą o licznie naturalnej
n
oraz niech
0
n będzie ustaloną liczbą
naturalną. Jeżeli
0
1 teza ( )
T n jest prawdziwa dla
0
n
n
=
;
0
2 z prawdziwości tezy ( )
T n dla dowolnej liczby naturalnej
0
n
n
≥
wynika prawdziwość tej
tezy dla
1
n
+
tj. ma miejsce implikacja
( )
(
1)
T n
T n
⇒
+
,
to teza ( )
T n jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej
0
n
n
≥
.
Jak widać, prawdziwość tezy (
1)
T n
+
wyprowadzamy z założenia, że teza ( )
T n jest
prawdziwa. Założenie to często nazywa się przesłanką indukcyjną lub założeniem
indukcyjnym, tezę (
1)
T n
+
−
tezą indukcyjną.
31
Jeżeli
0
1
n
=
, to zasadę indukcji możemy zilustrować następującym przykładem.
Przypuśćmy, że mamy nieskończenie wiele kamieni do gry w domino i ustawiliśmy je w szereg. Wówczas
upadek jednego kamienia pociąga za sobą upadek następnego. Jeżeli więc upadnie pierwszy kamień, to upadną
wszystkie kamienie.
Przykład.
1. Udowodnić metodą indukcji matematycznej następujące wzory:
a)
n N
∈
∀
(
)(
)
2
2
2
2
1 2
1
1
2
3
...
6
n n
n
n
+
+
+
+ + +
=
; b)
n N
∈
∀
2
1 3 5 ... (2
1)
n
n
+ + + +
− =
;
c)
n N
∈
∀
(
)
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
1
1
n
n n
n
+
+
+ +
=
⋅
⋅
⋅
⋅ +
+
.
2. Udowodnić metodą indukcji matematycznej następujące nierówności :
a)
n N
∈
∀
2
1
n
n
≥ +
; b)
n N
∈
∀
(
)
1
1
,
1
n
x
nx
x
+
≥ +
> −
, ( nierówność Bernoulliego) .
3. Udowodnić, że dla każdego n
N
∈
liczba 10
4
n
−
jest podzielna przez 6 .
Rozwiązanie
1. a) Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla
1
n
=
:
2
1 2 3
1
1.
6
⋅ ⋅
=
=
i) Założenie indukcyjne :
(
)(
)
2
2
2
2
1 2
1
1
2
3
...
6
n n
n
n
+
+
+
+ + +
=
dla dowolnego
1
n
≥
ii) Teza indukcyjna ( dla
1
n
+
) :
(
)(
)
2
2
2
2
2
(
1)
2 2
3
1
2
3
...
(
1)
6
n
n
n
n
n
+
+
+
+ + + +
+ +
=
.
Dowód tezy:
2
2
2
2
2
2
2
(
1)(2
1)
(2
1)
(1
2
3
...
) (
1)
(
1)
(
1)
(
1)
6
6
2
7
6
(
1)(
2)(2
3)
(
1)
.
6
6
n n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+ + + +
+ +
=
+ +
= +
+ +
=
+
+
+
+
+
= +
=
.
Stąd, na podstawie zasady indukcji matematycznej, wzór jest prawdziwy dla każdej liczby
naturalnej n
∈
ℕ .
b) Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla
1
n
=
:
2
1 1 .
=
i)Założenie indukcyjne :
2
1 3 5 ... (2
1)
n
n
+ + + +
− =
dla dowolnego
1
n
>
.
ii) Teza indukcyjna:
2
1 3 5 ... (2
1)
(2
1)
(
1)
n
n
n
+ + + +
− +
+ = +
.
Dowód tezy:
2
2
[1 3 5 ... (2
1)] (2
1)
(2
1)
(
1)
n
n
n
n
n
+ + + +
− +
+ =
+
+ = +
.
Stąd, na podstawie zasady indukcji matematycznej, wzór jest prawdziwy dla każdej liczby
naturalnej
n
.
32
c) Dla
1
n
=
mamy:
1
1
1 2
1 1
=
⋅
+
’
i) Założenie indukcyjne:
(
)
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
1
1
n
n n
n
+
+
+ +
=
⋅
⋅
⋅
⋅ +
+
dla dowolnego
1
n
>
.
ii) Teza indukcyjna ( dla
1
n
+
) :
(
)
1
1
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
1
(
1)(
2)
2
n
n n
n
n
n
+
+
+
+ +
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅ +
+
+
+
.
Dowód tezy:
2
1
1
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
(
1)
(
1)(
2)
1
(
1)(
2)
1
(
1)
1
.
(
1)
2
(
1)(
2)
2
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+ +
+
=
+
=
⋅
⋅
⋅
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
+
+
.
Zatem wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n
∈
ℕ (na podstawie zasady indukcji
matematycznej).
2)
a) Nierówność jest prawdziwa dla
1
n
=
, gdyż
1
2
1 1
≥ +
.
i) Założenie indukcyjne: 2
1
n
n
≥ +
dla dowolnego
1
n
>
.
ii) Teza indukcyjna:
1
2
2
n
n
+
≥ +
.
Dowód:
(
)
1
2
2
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
+
=
⋅ ≥ +
= +
≥ +
.
Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n
∈
ℕ (na podstawie zasady
indukcji matematycznej).
b) Dla
1
n
=
mamy:
(
)
1
1
1 1
1
x
x
x
+
≥ + ⋅ = +
.
i) Założenie indukcyjne:
(
)
1
1
,
1
n
x
nx
x
+
≥ +
> −
, dla dowolnego
1
n
>
.
ii) Teza indukcyjna:
(
)
1
1
1 (
1)
n
x
n
x
+
+
≥ + +
.
Dowód:
(
)
(
)
(
) (
)(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
x
x
x
nx
x
n
x
nx
n
x
+
+
= +
⋅ + ≥ +
+ = + +
+
≥ + +
,
gdyż
2
0
nx
≥
.
Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej
n
(na podstawie zasady
indukcji matematycznej).
3)
Dla
1
n
=
liczba
1
10
4
6
− =
jest podzielna przez 6. Załóżmy, że 10
4
n
−
jest podzielna
przez 6 dla dowolnego
1
n
>
. Zauważmy, że
(
)
1
10
4
10 10 4
10 10
4
36
n
n
n
+
− =
⋅ − =
− +
.
Liczba ta jest podzielna przez 6 gdyż 10
4
n
−
jest podzielne przez 6 ( z założenia
indukcyjnego) oraz 36 jest podzielne przez 6.
Zatem liczba 10
4
n
−
jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej
n
(na podstawie
zasady indukcji matematycznej).
33
Zadanie.
Stosując zasadę indukcji matematycznej pokazać, że dla każdej liczby naturalnej
n
a)
(
)
2
2
3
3
3
3
1
1
2
3
...
4
n
n
n
+
+ + + +
=
; b) 1! 2! ...
!
(
1)! 1
n
n
+ + +
=
+
−
;
c) liczba
8
6
n
+
jest podzielna przez 7;
d)
2
2
2
2
1
1
1
1
1
...
2
1
2
3
n
n
+
+
+ +
≤ −
.
II. Funkcje
1. Podstawowe określenia
Niech będą dane dwa niepuste zbiory X i .
Y
Definicja 1.
Mówimy, że na zbiorze X określona jest funkcja f o wartościach w Y i piszemy
:
f
X
Y
→
jeżeli każdemu elementowi x
X
∈
przyporządkowany został dokładnie jeden element
.
y
Y
∈
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy symbolem
f
D . Każdy element
x
X
∈
nazywamy
argumentem funkcji f , a
( )
y
f x
Y
=
∈
nazywamy
wartością funkcji
f
dla argumentu
x
. Funkcję
f zapisujemy również:
X ∋
( )
x
y
f x
Y
→ =
∈
,
albo tradycyjnie
( ),
y
f x
x
X
=
∈
.
Ponieważ litera
x
reprezentuje w zapisie funkcji każdy element zbioru
X więc
nazywamy ją
zmienną niezależną. Podobnie literę y nazywamy zmienną zależną, gdyż
reprezentuje ona każdą wartość funkcji
f , a wartości te zależą od
x
.
Zbiór
{
}
( )
:
f
f
W
f x
Y x
D
=
∈
∈
nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Uwaga.
Funkcję
:
f
X
Y
→
nazywamy również odwzorowaniem lub przekształceniem zbioru X
w zbiór Y . Funkcję f możemy przedstawić graficznie:
34
Niech będzie dana funkcja
:
f
X
Y
→
i zbiór A
X
⊂
.
Definicja 2.
Zbiór wartości jakie przyjmuje funkcja
f na zbiorze A nazywamy obrazem zbioru A i
oznaczamy symbolem
( )
f A
.
Zatem
( ) {
}
( )
:
f A
f x
Y x
A
=
∈
∈
.
Zbiór
( )
f X
nazywamy
przeciwdziedziną funkcji f .
W przypadku gdy
( )
f X
Y
=
, funkcję
f nazywamy odwzorowaniem na lub suriekcją.
Piszemy wówczas
:
na
f X
Y
→
.
Jeżeli funkcja
:
f X
Y
→
i
,
A
X
A
⊂
≠ ∅
, to funkcję
:
g A
Y
→
określoną równością
( )
( )
x A
g x
f x
∈
=
∀
nazywamy funkcją f zredukowaną (obciętą) do zbioru A i oznaczamy symbolem
A
f
.
Definicja 3.(równość funkcji)
Dwie funkcje
1
f i
2
f nazywamy równymi, jeżeli
1.
1
2
f
f
D
D
X
=
=
, (mają równe dziedziny),
2.
1
2
( )
( )
x X
f x
f x
∈
=
∀
.
2. Funkcje liczbowe
Jeżeli w definicji funkcji przyjmiemy, że zbiory X i Y są pewnymi podzbiorami zbioru
liczb rzeczywistych tj.
,
X
R
Y
R
⊂
⊂
, to otrzymujemy funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
rzeczywistej, zwane funkcjami liczbowymi.
Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych wszystkich x
R
∈
, dla których
napisany wzór ma sens liczbowy nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Zadanie 1.
Określić dziedziny naturalne funkcji :
a)
3
2
( )
2
5
3
f x
x
x
x
=
+
−
+
; b)
2
7
2
( )
1
x
f x
x
+
=
−
; c)
2
( )
9
f x
x
=
−
;
d)
sin
1
( )
1
2
x
f x
x
x
=
+
+
−
; e)
(
)
2
( )
log
16
f x
x
=
−
.
Odpowiedzi.
a)
f
D
R
=
; b)
{ }
\
1,1
f
D
R
=
−
; c)
3;3
f
D
= −
; d)
(
) { }
2;
\
1
f
D
=
+∞
−
;
35
e)
(
) (
)
; 4
4;
f
D
= −∞ − ∪
+∞
.
Zadanie2.
Zbadać, czy podane funkcje są równe:
a)
2
( )
,
( )
f x
x
g x
x
=
=
; b)
2
1
( ) 1
,
( )
1
x
f x
x
g x
x
−
= −
=
+
;
c)
2
( )
sin
,
( )
1 cos
f x
x
g x
x
=
=
−
.
Odpowiedzi.
a) funkcje są równe ; b) funkcje nie są równe gdyż
f
D
R
=
zaś
{ }
\
1
g
D
R
=
−
;
c) funkcje nie są równe gdyż
( )
sin
sin
( )
g x
x
x
f x
=
≠
=
dla
(
)
2
; 2
2
,
x
k
k
k
Z
∈ π + π π + π
∈
.
Definicja 1. (wykres funkcji)
Wykresem funkcji
:
f X
Y
→
nazywamy zbiór
( )
{
}
2
,
:
( )
x y
R
x
X
y
f x
∈
∈ ∧ =
.
Linia na płaszczyźnie jest wykresem funkcji, gdy każda prosta pionowa przecina ją co
najwyżej raz.
Rzut prostokątny wykresu funkcji na oś Ox jest dziedziną, zaś rzut prostokątny na oś
Oy
zbiorem wartości funkcji.
36
Działania arytmetyczne na funkcjach
Niech będą dane dwie funkcje
1
:
f X
R
→
oraz
2
:
g X
R
→
, gdzie
1
2
X
X
∩
≠ ∅
.
Funkcje:
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
( ) :
( )
( ) ,
,
( ) :
( )
( ) ,
,
( ) :
( )
( ) ,
,
f
g
x
f x
g x
x
X
X
f
g
x
f x
g x
x
X
X
f g
x
f x g x
x
X
X
+
=
+
∈
∩
−
=
−
∈
∩
⋅
=
⋅
∈
∩
nazywamy sumą, różnicą oraz iloczynem funkcji f i g i oznaczamy odpowiednio
symbolami :
,
,
.
f
g
f
g
f g
+
−
⋅
Ponadto, jeżeli dla każdego
1
2
x
X
X
∈
∩
( )
0
g x
≠
, to funkcję
( )
( )
:
( )
f
f x
x
g
g x
=
,
Nazywamy ilorazem funkcji f przez funkcję g i oznaczamy symbolem
f
g
.
Funkcje okresowe
Definicja 2.
Funkcja
:
f X
R
→
jest okresowa, jeżeli
(
)
(
)
(
)
( )
x X
x
X
f x
f x
ω∈
∈
+ ω ∈
∧
+ ω =
∃ ∀
ℝ
.
Liczbę
ω
nazywamy okresem funkcji.
Jeżeli istnieje najmniejszy okres dodatni funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym
(zasadniczym) i oznaczamy przez T .
Funkcja okresowa
Funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor
0;
=
v
T
nałoży się na
siebie.
Przykładem funkcji okresowej, która nie ma okresu podstawowego jest funkcja stała:
( )
,
f x
c
x
R
=
∈
.
Każda liczba
0
ω ≠
jest jej okresem .W zbiorze liczb dodatnich nie istnieje liczba
najmniejsza.
Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne, znane ze szkoły średniej.
Funkcje ( )
sin
f x
x
=
oraz ( )
cos
f x
x
=
mają okres podstawowy równy
2
T
= π
, zaś
funkcje ( )
f x
=
tg
x
oraz ( )
f x
=
ctg
x
mają okres podstawowy równy T
= π
.
37
Dla funkcji okresowych zachodzą następujące twierdzenia.
Twierdzenie 1.
Załóżmy, że funkcja
:
f R
R
→
jest okresowa i niech liczba
0
T
>
będzie jej okresem
podstawowym. Wówczas liczba
,
k T
k
Z
⋅
∈
, jest też okresem tej funkcji tj.
(
)
( )
(
)
( ) ,
x
f x T
f x
f x
k T
f x
k
Z
∈
+
=
⇒
+ ⋅
=
∈
∀
ℝ
.
Twierdzenie 2.
Załóżmy, że funkcja
:
f R
R
→
jest okresowa i niech liczba
0
T
>
będzie jej okresem
podstawowym. Wówczas funkcja F dana wzorem
( )
(
) ,
0
F x
f a x
a
=
⋅
>
jest również
okresowa a jej okresem podstawowym jest liczba
1
T
T
a
=
.
Zadanie 2.
Znaleźć okresy podstawowe następujących funkcji:
a) ( )
sin 3
f x
x
=
; b)
( )
1
2
( )
cos
f x
x
=
; c)
( )
sin
f x
x
=
Odpowiedzi.
a)
1
2
3
T
π
=
; b)
1
4
T
= π
; c)
1
T
= π
.
Funkcje parzyste i nieparzyste
Definicja 3.
Funkcja
:
f X
R
→
jest parzysta, jeżeli
(
)
(
)
(
)
( )
x X
x
X
f
x
f x
∈
− ∈
∧
− =
∀
.
Uwaga.
Dla funkcji parzystej jej wykres jest symetryczny w/m osi Oy ( Oy jest osią symetrii jej
wykresu , (rys.)
38
Definicja 4.
Funkcja
:
f X
R
→
jest nieparzysta, jeżeli
(
)
(
)
(
)
( )
x X
x
X
f
x
f x
∈
− ∈
∧
− = −
∀
.
Uwaga.
Dla funkcji nieparzystej jej wykres jest symetryczny w/m początku układu (początek układu
jest środkiem symetrii jest jej wykresu), (rys.)
Przykład
Sprawdzić, które z podanych funkcji są parzyste a które nieparzyste:
a)
6
4
2
( )
5
f x
x
x
x
=
−
+
; b)
2
sin
( )
x
f x
x
=
; c)
2
2
( )
2
2
x
x
x
x
f x
−
−
−
=
+
.
Rozwiązanie.
a)
f
D
R
=
. Jeżeli
x
R
∈
, to także (
)
x
R
− ∈
. Mamy
6
4
2
(
)
(
)
5(
)
(
)
f
x
x
x
x
− = −
− −
+ −
=
=
6
4
2
5
( )
x
x
x
f x
−
+
=
. Zatem funkcja f jest parzysta.
b)
{ }
\ 0
f
D
R
=
. Jeżeli zatem
x
R
∈
, to także (
)
x
R
− ∈
,
0
x
≠
.
Mamy
2
2
sin(
)
sin
(
)
( )
(
)
x
x
f
x
f x
x
x
−
−
− =
=
= −
−
Zatem funkcja f jest nieparzysta. Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że funkcja
sin
y
x
=
jest
nieparzysta.
c)
f
D
R
=
.
2
2
2
2
(
)
( )
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
−
−
−
−
−
−
− =
= −
= −
+
+
.
Funkcja jest nieparzysta.
Funkcje monotoniczne
Definicja 5.
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze
f
A
D
⊂
, jeżeli
(
) (
)
1
2
1
2
1
2
,
( )
(
)
x x
A
x
x
f x
f x
∈
<
⇒
<
∀
.
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu rosną wartości funkcji).
39
Definicja 6.
Funkcja f jest malejąca na zbiorze
f
A
D
⊂
, jeżeli
(
) (
)
1
2
1
2
1
2
,
( )
(
)
x x
A
x
x
f x
f x
∈
<
⇒
>
∀
.
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu maleją wartości funkcji).
Funkcja rosnąca Funkcja malejąca
Definicja 7.
Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze
f
A
D
⊂
, jeżeli
(
) (
)
1
2
1
2
1
2
,
( )
(
)
x x
A
x
x
f x
f x
∈
<
⇒
≤
∀
.
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu nie maleją wartości funkcji).
Definicja 8.
Funkcja f jest nierosnąca na zbiorze
f
A
D
⊂
, jeżeli
(
) (
)
1
2
1
2
1
2
,
( )
(
)
x x
A
x
x
f x
f x
∈
<
⇒
≥
∀
.
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu nie rosną wartości funkcji).
Funkcja niemalejąca Funkcja nierosnąca
Funkcja jest monotoniczna na zbiorze
f
A
D
⊂
, jeżeli jest rosnąca lub malejąca albo
nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze.
40
Uwaga.
Na określenie funkcji rosnącej lub malejącej używa się też terminu : funkcja ściśle
monotoniczna.
Złożenie funkcji
Definicja 9.
Niech będą dane dwie funkcje
:
f X
Y
→
oraz
:
g T
Z
→
, przy czym zbiór
f
W wartości
funkcji
f ma niepuste przecięcie ze zbiorem T tj.
f
W
T
∩ ≠ ∅
. Wówczas każdemu
elementowi x
X
∈
możemy przyporządkować dokładnie jeden element z
Z
∈
taki, że
(
)
( )
z
g f x
=
. Funkcje f i g wyznaczają więc nową funkcję :
h X
Z
→
, określoną
równością
(
)
( )
( )
x X
h x
g f x
∈
=
∀
.
Funkcję h nazywamy funkcją złożoną lub superpozycją funkcji f i g i oznaczamy
symbolem g
f
.
Funkcję f będziemy nazywać funkcją wewnętrzną, a funkcję g funkcją zewnętrzną
superpozycji g
f
.
Z definicji mamy
(
)
(
)
( )
( )
g
f
x
g f x
=
.
Uwaga.
1.
Jeżeli funkcja złożona h jest funkcją wewnętrzną pewnej innej funkcji złożonej k , to
funkcję k będziemy nazywać funkcją dwukrotnie złożoną. Ogólnie, składając
funkcję (
1)
n
−
- krotnie złożoną z pewną funkcją otrzymujemy funkcję
n
−
krotnie
złożoną.
2.
Składanie funkcji nie jest przemienne.
Przykład
1. Określić funkcje złożone
,
,
,
f
f
f
g
g
f
g g
oraz ich dziedziny, jeżeli:
a)
3
( )
cos
,
( )
f x
x
g x
x
=
=
; b) ( )
2
,
( )
sin
x
f x
g x
x
=
=
;
Rozwiązanie
a)
(
)
(
)
( )
cos cos
,
f f
f
f
x
x
D
R
=
=
;
(
)
( )
3
( )
cos
,
f g
f
g
x
x
D
R
=
=
;
(
)
3
( )
cos
,
g f
g
f
x
x D
R
=
=
;
(
)
( )
3
3
9
( )
,
g g
g g
x
x
x
D
R
=
=
=
.
b)
(
)
2
( )
2 ,
x
f f
f
f
x
D
R
=
=
;
(
)
sin
( )
2
,
x
f g
f
g
x
D
R
=
=
;
(
)
( )
( )
sin 2
,
x
g f
g
f
x
D
R
=
=
;
(
)
(
)
( )
sin sin
,
g g
g g
x
x
D
R
=
=
.
41
Funkcje różnowartościowe
Definicja 10.
Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze
f
A
D
⊂
, jeżeli
(
)
1
2
1
2
1
2
,
(
)
( ( )
(
)) .
x x
A
x
x
f x
f x
∈
≠
⇒
≠
∀
Oznacza to, że różnym wartościom argumentu odpowiadają różne wartości funkcji.
Uwaga.
Przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji wygodniej jest korzystać z definicji
równoważnej:
(
)
1
2
1
2
1
2
,
( )
(
)
(
) .
x x
A
f x
f x
x
x
∈
=
⇒
=
∀
Warunek wystarczający różnowartościowości funkcji
Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze A , to jest różnowartościowa na tym
zbiorze.
Funkcja odwrotna
Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y tj.
1: 1
:
f X
Y
→
i niech
( )
y
f x
=
. Oznacza to, że również każdemu elementowi y
Y
∈
przyporządkowany został dokładnie jeden element x
X
∈
. Możemy więc określić funkcję
:
g Y
X
→
,
( )
x
g y
=
, która każdemu elementowi y
Y
∈
przyporządkowuje dokładnie
jeden element x
X
∈
taki, że
( )
y
f x
=
.
Określoną w ten sposób za pomocą funkcji różnowartościowej f funkcję g nazywamy
funkcją odwrotną
do f i oznaczamy symbolem
1
f
−
.
Mamy więc
(
)
( )
x X
g f x
x
∈
=
∀
oraz
(
)
( )
y Y
f g y
y
∈
=
∀
.
42
We wzorze
( )
x
g y
=
zamieniamy oznaczenia (
x
zastępuje y ) i wówczas stosujemy zapis
1
( )
( )
y
g x
f
x
−
=
=
.
To pozwala nam porównywać wykresy funkcji f oraz
1
f
−
w tym samym układzie
współrzędnych.
Zauważmy, że zbiory X i Y zamieniają się rolami, gdy zamiast funkcji f rozpatrujemy
funkcję
1
f
−
. Dziedzina funkcji f staje się zbiorem wartości (przeciwdziedziną) dla funkcji
1
f
−
oraz zbiór wartości (przeciwdziedzina) funkcji f staje się dziedziną dla funkcji
1
f
−
.
Oznacza to, że wykres funkcji
1
f
−
jest symetryczny do wykresu funkcji f względem prostej
y
x
=
, (rys).
Uwaga.
Jeżeli funkcja
:
f X
Y
→
nie jest różnowartościowa , ale funkcja
A
f
(obcięta do zbioru
A
X
⊂
) jest różnowartościowa na tym zbiorze, to wówczas możemy utworzyć funkcję
1
f
−
odwrotną do funkcji
A
f
. Nazywać ją będziemy gałęzią funkcji odwrotnej ( która na ogół
nie jest jednoznaczna).
Przykład.
Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:
a) ( )
5
3
f x
x
=
+
, x
R
∈
; b)
2
( )
2
f x
x
x
=
−
,
)
1;
x
∈ ∞
;
c)
3
( ) 1
1 ,
f x
x
x
R
= −
+
∈
.
Rozwiązanie,
a)
f
D
R
=
, zbiór wartości
f
W
R
=
.
3
1
5
5
5
3
y
x
x
y
=
+
⇒
=
−
. Zatem
( )
1
f
x
−
=
3
1
5
5
,
.
x
x
R
−
∈
b) Funkcja ta jest rosnąca w przedziale
)
1;
∞
, a więc jest różnowartościowa w tym
przedziale. Zbiór wartości funkcji
)
1;
f
W
= − +∞
.
2
2
2
2
0
y
x
x
x
x
y
=
−
⇒
−
− =
. Równanie to ma dwa rozwiązania:
1
1
x
y
= −
+
lub
1
1
x
y
= +
+
,
)
1;
y
∈ − +∞
.
43
Rozwiązanie spełniające warunki zadania to
1
1
x
y
= +
+
.
Zatem
1
( )
1
1
f
x
x
−
= +
+
,
)
1;
x
∈ − +∞
.
c) Funkcja jest różnowartościowa w R .
(
)
3
3
1
1
1
1
y
x
x
y
= −
+
⇒
= −
−
. Wynika stąd, że
(
)
3
1
( )
1
1 ,
f
x
x
x
R
−
= −
−
∈
.
Funkcje cyklometryczne (kołowe).
1. Funkcja
sin
y
x
=
jest różnowartościowa na dziedzinie
1
1
2
2
;
X
= − π + π
i
odwzorowuje ten przedział wzajemnie jednoznacznie na przedział
1;1
Y
= −
. Istnieje więc
funkcja odwrotna, którą nazywamy
arcusem sinusem i oznaczamy symbolem arcsin .
Definicja 1.
1
1
2
2
arcsin
sin
,
1;1 ,
;
.
y
x
x
y
x
y
=
⇔
=
∈ −
∈ − π + π
Przykłady.
( )
1
1
2
6
arcsin
= π
ponieważ
1
1
6
2
sin
π =
i
1
6
π∈
1
1
2
2
;
− π π
.
( )
2
1
2
4
arcsin
−
= − π
ponieważ
2
1
4
2
sin(
)
− π = −
i
1
4
− π∈
1
1
2
2
;
− π + π
.
2. Funkcja
cos
y
x
=
jest róż
nowartościowa na dziedzinie
0;
X
=
π
i odwzorowuje ten
przedział wzajemnie jednoznacznie na przedział
1;1
Y
= −
. Istnieje więc funkcja odwrotna,
którą nazywamy
arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem
arccos
.
Definicja 2.
arccos
cos
,
1;1 ,
0;
.
y
x
x
y
x
y
=
⇔
=
∈ −
∈
π
Przykłady.
( )
1
1
2
3
arccos
= π
ponieważ
1
1
3
2
cos
π =
i
1
3
π∈
1
1
2
2
;
− π + π
.
( )
2
3
2
4
arccos
−
= π
ponieważ
2
3
4
2
cos(
)
π = −
i
3
4
π∈
0;
π
.
44
3. Funkcja y
=
tg
x
jest różnowartościowa na dziedzinie
(
)
1
1
2
2
;
X
= − π π
i odwzorowuje
ten przedział wzajemnie jednoznacznie na zbiór liczb rzeczywistych Y
R
=
. Istnieje więc
funkcja odwrotna, którą nazywamy
arcusem tangensem i oznaczamy symbolem arctg .
Definicja 3.
y
=
arctg x
x
⇔ =
tg
(
)
1
1
2
2
,
,
;
y
x
R
y
∈
∈ − π + π
Przykłady.
arctg
1
4
1
= π
ponieważ tg
( )
1
4
1
π =
i
(
)
1
1
1
4
2
2
;
π∈ − π + π
.
4. Funkcja y
=
ctg
x
jest różnowartościowa na dziedzinie
( )
0;
X
=
π
i odwzorowuje ten
przedział wzajemnie jednoznacznie na zbiór liczb rzeczywistych Y
R
=
. Istnieje więc funkcja
odwrotna, którą nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem arcctg .
Definicja 3.
y
=
arcctg x
x
⇔ =
ctg
( )
,
,
0;
y
x
R
y
∈
∈
π
.
Przykłady.
arcctg
3
4
( 1)
− = π
ponieważ ctg
( )
3
4
1
π = −
i
( )
3
4
0;
π∈
π
.
45
Podstawowe tożsamości związane z funkcjami cyklometrycznymi.
1.
1
2
arcsin
arccos
x
x
+
= π
każdego
1;1
x
∈ −
.
2. arctg x
+
arcctg
1
2
x
= π
każdego
x
R
∈
.
Przekształcanie wykresów funkcji
Przesunięcie i symetrie wykresów funkcji.
1. Wykres funkcji
(
)
y
f x a
b
=
− +
, gdzie ,
a b
R
∈
, otrzymujemy z wykresu funkcji
( )
y
f x
=
przez przesuniecie (translację) go o wektor
=
v
[ ]
,
a b
.
2. Wykres funkcji
( )
y
f x
= −
otrzymujemy z wykresu funkcji
( )
y
f x
=
przez symetrię
względem osi Ox .
46
3. Wykres funkcji
(
)
y
f
x
= −
otrzymujemy z wykresu funkcji
( )
y
f x
=
przez symetrię
względem osi Oy .
Uwaga.
Powyższe przekształcenia wykresów funkcji pociągają za soba odpowiednie zmiany dziedzin.
Skalowanie wykresów funkcji
1. Wykres funkcji
( )
y
c f x
= ⋅
powstaje z wykresu funkcji
( )
y
f x
=
przez „rozciągnięcie”
go w pionie , gdy
1
c
>
oraz „ściśnięcie” go w pionie, gdy 0
1
c
< <
.
Gdy
0
c
<
, to najpierw przekształcamy wykres przez symetrię względem Ox , z później
stosujemy przekształcenie omówione w
1.
Zauważmy, że to przekształcenie nie zmienia miejsc zerowych funkcji. W geometrii
nazywamy je powinowactwem prostokątnym względem osi Ox
2. Wykres funkcji
(
)
y
f c x
=
⋅
powstaje z wykresu funkcji
( )
y
f x
=
przez „ściśnięcie” go
w poziomie , gdy
1
c
>
oraz „rozciągnięcie” go w poziomie, gdy 0
1
c
< <
.
Gdy
0
c
<
, to najpierw przekształcamy wykres przez symetrię względem Oy , z później
stosujemy przekształcenie omówione w
2.
47
Zauważmy, że to przekształcenie na ogół zmienia miejsca zerowe funkcji ale nie zmienia
wartości (0)
f
( jeżeli 0 należy do dziedziny funkcji). W geometrii to przekształcenie
nazywamy powinowactwem prostokątnym względem osi
.
Oy
Wykresy funkcji z wartością bezwzględną
1. Dana jest funkcja
( )
y
f x
=
. Znając wykres funkcji
f chcemy otrzymać wykres funkcji
( )
y
f x
=
. Zauważmy, że
( )
( )
0,
( )
( )
( )
0.
f x
gdy f x
y
f x
f x
gdy f x
≥
=
=
−
<
.
Wynika stąd, że tą część wykresu, która leżą nad osią Ox ,
(
)
( )
0
f x
≥
, pozostawiamy bez
zmiany, a tą część, które leżą pod osią Ox ,
(
)
( )
0
f x
<
, odbijamy symetrycznie względem
osi Ox .
2. Dana jest funkcja
( )
y
f x
=
. Znając wykres funkcji f chcemy otrzymać wykres funkcji
( )
y
f
x
=
.
Mamy:
( )
( )
0,
(
)
0.
f x
gdy x
y
f
x
f
x
gdy x
≥
=
=
−
<
.
Wynika stąd, że tą część wykresu , która leży po dodatniej stronie osi
Ox pozostawiamy bez
zmiany, następnie obcinamy tę część wykresu , która leży po ujemnej stronie osi
Ox
(
)
0
x
<
i uzupełniamy pozostałą jego część przez odbicie symetryczne względem osi
Oy tej części
wykresu, które leżą po dodatniej stronie osi
Ox .
48
Zadanie 1.
Sporządzić wykresy następujących funkcji :
1)
1
y
x
= +
; 2)
2
2
2
y
x
x
=
− + −
; 3)
(
)
1
1
1
2
y
x
x
=
+ + −
; 4)
1
2
y
x
= + −
.
Zadanie 2.
W prostokątnym układzie współrzędnych XOY na płaszczyźnie zaznaczyć punkty, których
współrzędne spełniają układy nierówności :
a)
2
2
0
2
2
0
x
y
x
y
+ − ≥
−
+ ≤
; b)
1
3
1 .
y
x
x
− ≤
+ ≤
Zadanie 3.
Dany jst zbiór:
{
}
( , ) :
1
A
x y
x
R
y
R
x
y
=
∈ ∧ ∈ ∧
+
=
.
Narysować ten zbiór na płaszczyźnie.
Odpowiedzi.
Zadanie 1.
y
1)
1
1 ,
1
1.
x
dla x
y
x
dla x
− −
≤ −
=
+
≥ −
1
x
–1 0
y
2)
1
1 ,
3
3
1
0 ,
3
0 .
x
dla x
y
x
dla
x
x
dla
x
− −
≤ −
= − −
− ≤ ≤
−
≥
-1
0
3
x
-3
y
3)
1 ,
1
1
1 ,
1 .
x
dla x
y
dla
x
x
dla
x
−
≤ −
=
− ≤ ≤
≥
-1 0 1
x
49
y
4)
3
3,
3
3
1 ,
1
1
1 ,
1
1 .
x
dla x
x
dla
x
y
x
dla
x
x
dla
x
− −
≤ −
+
− ≤ ≤ −
=
− +
− ≤ ≤
−
≥
2
-3 -1 0 1
x
Zdanie 2. y
a)
2
2
2
0
x
y
−
+ =
1
2
2
0
x
y
+ − =
x
-2 0 1
y
1
b)
(
)
(
)
1
1
1
y
x
x
y
x
− ≤ ⇔
− ≤ ≤ +
;
(
)
(
)
3
1
4
2
x
x
+ ≤ ⇔ − ≤ ≤ −
;
-4 -2 -1 0 1
x
-1
Zadanie 3.
Zbiór A
y
1
-1 0 1
x
-1
50
Zadanie 4.
Sporządzić wykresy funkcji:
a)
1
1
x
y
x
−
=
+
; b)
1
x
y
x
=
−
; c)
2
3
3
2
x
y
x
−
=
−
.
Odpowiedzi.
a)
1
1
x
y
x
−
=
+
b) Na mocy definicji wartości bezwzględnej funkcję można określić następująco:
1,
1
1
1.
1
x
dla
x
x
x
y
x
x
dla
x
x
<
− +
=
=
−
>
−
;
c)
2
3
3
2
x
y
x
−
=
−
.
51
Funkcje elementarne
Definicja 1.
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze i
trygonometryczne.
1.
Funkcja stała ( )
,
f x
c
x
R
=
∈
.
2.
Funkcja potęgowa ( )
f x
x
α
=
, gdzie
α
jest stałą rzeczywistą. Dziedzina i zbiór
wartości zależą od wykładnika
α
.
a)
Jeżeli
α
jest liczbą naturalną, to dziedziną jest R . Zbiór wartości jest
przedziałe
)
0;
∞
, gdy
α
jest liczbą
parzystą oraz R , gdy gdy
α
jest liczbą
nieparzystą.
b)
Jeżeli
α
jest liczbą całkowitą ujemną, to dziedziną jest
{ }
\ 0
R
. Zbiór
wartości to
{ }
\ 0
R
, gdy gdy
α
jest liczbą nieparzystą, oraz przedziałem
( )
0;
∞
, gdy
α
jest liczbą parzystą.
52
c)
Jeżeli
α
jest dodatnią liczbą wymierną
p
q
(ułamek nieskracalny), to
dziedziną jest przedział
)
0;
∞
, gdy q jest liczbą parzystą oraz R , gdy q
jest liczbą nieparzystą. Zbiorem wartości jest przedział
)
0;
∞
, gdy q jest
liczbą parzystą albo , gdy gdy q jest liczbą nieparzystą i p parzystą oraz R ,
gdy q i p są liczbami nieparzystymi.
3. Funkcja wykładnicza ( )
x
f x
a
=
, gdzie
1
a
≠
jest stałą dodatnią.
Dziedziną funkcji wykładniczej jest R , a zbiorem wartości przedział
( )
0;
∞
.
Jeżeli
1
a
>
, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli 0
1
a
< <
, to funkcja jest malejąca.
Zauważmy, że wykresy funkcji
x
y
a
=
i
1
x
y
a
=
sąsymetryczne względem osi Oy .
Wynika to z zależności
1
x
x
a
a
−
=
.
53
Funkcja wykładnicza, której podstawą jest liczba
2, 7182
e
≈
1
, tzn. funkcję ( )
x
f x
e
=
nazywamy exponent i oznaczamy krótko exp(x) .
4. Funkcje trygonometryczne
a) Funkcja ( )
sin
f x
x
=
ma dziedzinę
f
D
R
=
zaś zbiorem wartości jest przedział
1;1
−
.
Wykres funkcji
sin
y
x
=
.
b) Funkcja ( )
cos
f x
x
=
ma dziedzinę
f
D
R
=
zaś zbiorem wartości jest przedział
1;1
−
.
Wykres funkcji
cos
y
x
=
.
c) Funkcja ( )
f x
=
tg
x
ma dziedzinę
{
}
1
2
\
,
R
k
k
Z
π + π
∈
. Zbiorem wartości jest R .
Wykres funkcji
y
=
tg x.
1
Liczba e jest granicą ciągu
(
)
1
1
n
n
+
, gdy
n
dąży do
∞
.
54
d) Funkcja ( )
f x
=
ctg
x
ma dziedzinę
{ }
\
,
R
k
k
Z
π
∈
. Zbiorem wartości jest R .
Wykres funkcji
y
=
ctg x.
Definicja 2.
Funkcje, które można otrzymać
z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą
skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia i odwracania , nazywamy
funkcjami elementarnymi.
3. Ciągi liczbowe
Podstawowe określenia
Definicja 1.
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych tj. funkcję
:
f N
R
→
.
Oznacza to, że każdej liczbie naturalnej n
N
∈
przyporządkowana jest jednoznacznie liczba
rzeczywista ( )
f n
R
∈
, którą będziemy oznaczali symbolem
n
a
i nazywali
n
−
tym wyrazem
ciągu. Zatem
( )
n
a
f n
=
. Ciągi o takich wyrazach będziemy oznaczać przez
( )
n
a
. Zbiór
wyrazów ciągu
( )
n
a
tj. zbiór
{
}
:
n
a
n
N
∈
oznaczamy krótko przez
{ }
n
a
.
Sposoby określania ciągów.
1. Podanie wzoru
( )
n
a
f n
=
.
Przykłady:
a)
2
n
a
n
=
; b)
2
5
1
n
n
a
n
+
=
+
; c)
( )
1
1
1
2
n
n
a
=
+ −
; d)
1
n
a
n
n
=
+ −
.
55
W tym przypadku znając wzór możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu.
Na przykład dla ciągu b) dziesiąty wyraz
10
2 10 5
25
10 1
11
a
⋅ +
=
=
+
a dla ciągu c) czwarty wyraz
jest równy
( )
4
4
1
1
1
1
2
a
=
+ −
=
.
2. Definicje rekurencyjne (indukcyjne).
Każdy wyraz ciągu wyraża się przez wyrazy poprzednie.
Przykłady.
a)
1
,
n
n
a
a
r
n
N
+
=
+
∈
, (ciąg arytmetyczny) . Liczbę r nazywamy różnicą tego ciągu.
b)
1
,
n
n
a
a
q
n
N
+
= ⋅
∈
, (ciąg geometryczny) . . Liczbę q nazywamy ilorazem tego ciągu.
c)
1
1
2 ,
2
,
n
n
a
a
a
n
N
+
=
=
+
∈
.
d)
1
2
2
1
1,
2 ,
,
n
n
n
a
a
a
a
a
n
N
+
+
=
=
=
+
∈
, (ciąg Fibonacciego).
Każdy wyraz tego ciągu jest sumą dwóch poprzednich. Kolejne liczby tego ciągu to:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
W tym przypadku nie mamy podanego wzoru na
n
−
ty wyraz. Wzory te możemy
wyprowadzić stosując np. zasadę indukcji matematycznej.
Omówimy je poniżej dla podanych przykładów.
a) Z wiadomości ze szkoły średniej wiemy, że w ciągu arytmetycznym
n
−
ty wyraz wyraża
się wzorem:
1
(
1)
n
a
a
n
r
=
+ −
.
b) Z wiadomości ze szkoły średniej wiemy, że w ciągu geometrycznym
n
−
ty wyraz wyraża
się wzorem:
1
1
n
n
a
a
q
−
= ⋅
.
c) Zauważmy, że
( )
( )
2
1
4
2
2
2
2
2 cos
2 cos
2
a
π
π
=
= ⋅
=
=
.
Wyraz
( )
( )
(
)
( )
( )
3
2
2
1
4
4
8
2
2
2 2 cos
2 1 cos
2 2 cos
2 cos
a
a
π
π
π
π
=
+
=
+
=
+
=
⋅
=
.
(zastosowaliśmy tutaj wzór
2
1 cos 2
2 cos
+
α =
α
).
Stawiamy hipotezę, że
( )
1
2
2 cos
n
n
a
+
π
=
.
Prawdziwość tej hipotezy udowodnimy stosując zasadę indukcji matematycznej.
1. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla
1
n
=
.
( )
( )
2
1
4
2
2
2 cos
2 cos
2
2
2
a
π
π
=
=
= ⋅
=
.
2. Załóżmy, że dla dowolnego
1
n
≥
( )
1
2
2 cos
n
n
a
+
π
=
. Mamy wykazać, że
( )
2
1
2
2 cos
n
n
a
+
π
+
=
.
56
Mamy
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2
2
1
2
2
2 2
2
2
2 2 cos
2 1 cos
2 2 cos
2 cos
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
+
π
π
π
π
+
⋅
=
+
=
+
=
+
=
⋅
=
,
co mieliśmy udowodnić. Na podstawie zasady indukcji matematycznej otrzymany wzór jest
prawdziwy dla każdej liczny naturalnej
n
.
d) Rozpatrzmy ciąg Fibonacciego:
1
2
2
1
1,
2 ,
,
n
n
n
a
a
a
a
a
n
+
+
=
=
=
+
∈
ℕ .
Udowodnimy za pomocą indukcji matematycznej, że
1
1
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
n
a
+
+
+
−
=
−
.
1. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla
1
n
=
oraz dla
2
n
=
.
(
)
2
2
1
1 2 5
5
1 2 5
5
1
1
5
1
5
1
1
4 5
1
2
2
4
4
5
5
5
a
+
+ − −
+
+
−
=
−
=
=
⋅
=
.
(
)
3
3
2
1 3 5 15 5 5
1 3 5 15 5 5
1
1
5
1
5
1
2
2
8
5
5
1
16 5
2.
8
5
a
+
+ +
− −
+ −
+
−
=
−
=
=
=
⋅
=
.
2. Załóżmy, że dla dowolnego
1
n
≥
1
1
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
n
a
+
+
+
−
=
−
oraz
2
2
1
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
n
a
+
+
+
+
−
=
−
.
Mamy wykazać, że
3
3
2
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
n
a
+
+
+
+
−
=
−
.
Dowód. Korzystamy z określenia ciągu i założenia indukcyjnego:
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
=
+ =
2
2
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
+
+
+
−
−
+
1
1
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
+
+
+
−
−
=
1
1
1
1
5
1
5
1
1
5
1
5
1
1
2
2
2
2
5
5
n
n
+
+
+
+
−
−
+ −
+
.
Zauważmy, że
2
1
5
3
5
6 2 5
1
5
1
2
2
4
2
+
+
+
+
+ =
=
=
i analogicznie
57
2
1
5
3
5
6 2 5
1
5
1
2
2
4
2
−
−
−
−
+ =
=
=
.
Uwzględniając powyższe otrzymujemy
1
2
1
2
2
1
1
5
1
5
1
1
5
1
5
2
2
2
2
5
5
n
n
n
a
+
+
+
+
+
−
−
=
−
=
3
3
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
+
+
+
−
=
−
, co mieliśmy udowodnić.
Na podstawie zasady indukcji matematycznej wzór
1
1
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
n
a
+
+
+
−
=
−
.
jest prawdziwy dla każdej liczny naturalnej
n
.
Przepis słowny
Przykład.
a)
:
n
a
n -ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 3 .
b)
:
n
a
n -ta liczba pierwsza.
Własności ciągów
Definicja
Ciąg
( )
n
a
jest ograniczony z dołu , jeżeli istnieje liczba m
R
∈
taka, że dla każdej liczby
naturalnej n
N
∈
spełniona jest nierówność:
n
a
m
≥
.
Definicja
Ciąg
( )
n
a
jest ograniczony z góry , jeżeli istnieje liczba M
R
∈
taka, że dla każdej liczby
naturalnej n
∈
ℕ spełniona jest nierówność:
n
a
M
≤
.
Definicja
Ciąg
( )
n
a
jest ograniczony , jeżeli istnieją liczby ,
,
m M
R
m
M
∈
<
takie, że dla każdej
liczby naturalnej n
∈
ℕ spełniona jest nierówność:
n
m
a
M
≤
≤
.
Uwaga.
W definicji można tak dobrać stałe
m
i M , aby 0
M
m
<
= −
. Wtedy ograniczoność może
być określona następująco:
0
n
M R
n N
a
M
< ∈
∈
≤
∃ ∀
.
58
Przykład.
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone:
a)
1
2
1
n
n
a
n
+
=
−
; b)
4 3cos
n
a
n
= −
; c)
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
(
1)
n
a
n n
=
+
+
+ +
⋅
⋅
⋅
+
;
d)
2
3
1
1
1
1
...
3 1
3
1
3
1
3
1
n
n
a
=
+
+
+ +
+
+
+
+
.
Rozwiązanie.
a) Dla każdego n
∈
ℕ mamy
1
1
2
2
2
1
n
n
+
<
≤
−
.
Istotnie nierówność
1
1
2
2
1
n
n
+
<
−
jest równoważna nierówności 1 1
− <
, zaś nierówność
1
2
2
1
n
n
+ ≤
−
jest równoważna nierówności
1
n
≥
.
b) Ponieważ 1 cos
1
n
− ≤
≤
, więc dla każdego n
∈
ℕ
1
4 3 1
4 3cos
4 ( 3)
7
n
= − ⋅ ≤ −
≤ − − =
.
c) Korzystamy z następującej równości:
1
1
1
(
1)
1
n n
n
n
= −
+
+
.
Zatem
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
...
1
1 2
2 3
3 4
(
1)
2
2
3
3
4
1
1
n
a
n n
n
n
n
=
+
+
+ +
= − + − + − + + −
= −
⋅
⋅
⋅
+
+
+
.
Wynika stąd, że dla każdej liczby naturalnej
n
1
1
2
n
a
≤
<
.
d) Łatwo zauważyć, że dla każdego n
∈
ℕ wyrazy ciągu są dodatnie, więc ciąg jest
ograniczony od dołu przez 0. Ponadto
( )
(
)
1
1
3
3
2
3
2
3
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
...
3 1
3
1
2
3
1
3
1
3
1
3
3
3
n
n
n
n
a
−
=
+
+
+ +
< +
+
+ +
=
<
+
−
+
+
+
.
Zastosowaliśmy tutaj wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
Zatem ciąg jest ograniczony z góry przez
1
2
.
Ciągi monotoniczne
Ciąg
( )
n
a
jest rosnący jeżeli
1
n
n
n N
a
a
+
∈
<
∀
,
(
)
1
0
n
n
a
a
+
−
>
,
(każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego).
59
Ciąg
( )
n
a
jest malejący jeżeli
1
n
n
n N
a
a
+
∈
>
∀
,
(
)
1
0
n
n
a
a
+
−
<
,
(każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego).
Ciąg
( )
n
a
jest niemalejący jeżeli
1
n
n
n N
a
a
+
∈
≤
∀
,
(
)
1
0
n
n
a
a
+
−
≥
,
(każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego).
Ciąg
( )
n
a
jest nierosnący jeżeli
1
n
n
n N
a
a
+
∈
≥
∀
,
(
)
1
0
n
n
a
a
+
−
≤
,
(każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego).
Uwaga.
1. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy ciągami monotonicznymi.
Ciągi rosnące i malejące bywają też nazywane ciągami ściśle monotonicznymi.
2. Jeżeli założymy, że dla każdego n
N
∈
0
n
a
>
, to warunki monotoniczności możemy
zapisać w równoważnych postaciach. I tak:
−
dla ciągu rosnącego:
1
1
n
n
n N
a
a
+
∈
>
∀
;
−
dla ciągu malejącego:
1
1
n
n
n N
a
a
+
∈
<
∀
;
−
dla ciągu niemalejącego:
1
1
n
n
n N
a
a
+
∈
≥
∀
;
−
dla ciągu nierosnącego:
1
1
n
n
n N
a
a
+
∈
≤
∀
.
Przykład.
1. Sprawdzić, czy podane ciągi są monotoniczne:
a)
2
1
3
n
n
a
n
+
=
+
; b)
2
n
a
n
n
=
−
; c)
2
!
n
n
a
n
=
.
Rozwiązanie.
a)
2
1
3
n
n
a
n
+
=
+
,
1
2(
1) 1
2
3
(
1) 3
4
n
n
n
a
n
n
+
+ +
+
=
=
+ +
+
.
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
1
2
3
3
2
1
4
2
3
2
1
5
0
4
3
2
1
4
2
1
4
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
+
+
+ −
+
+
+
+
−
=
−
=
=
>
+
+
+
+
+
+
dla każdego n
N
∈
. Zatem ciąg jest rosnący.
60
b)
2
n
a
n
n
=
−
,
2
2
1
(
1)
(
1)
,
n
a
n
n
n
n
+
= +
− + =
+
(
) (
)
2
2
1
2
0
n
n
a
a
n
n
n
n
n
+
−
=
+ −
− =
>
dla każdego n
N
∈
. Zatem ciąg jest rosnący.
c) Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, to monotoniczność zbadamy rozpatrując
iloraz
1
n
n
a
a
+
. Mamy
2
!
n
n
a
n
=
,
(
)
1
2
2
2
(
1)!
!
1
n
n
n
a
n
n n
+
⋅
=
=
+
+
oraz
1
2
1
1
n
n
a
a
n
+
=
≤
+
.
Ciąg jest zatem nierosnący.
2. Udowodnić, że ciąg
( )
n
a
określony rekurencyjnie:
1
1
2 ,
2
,
n
n
a
a
a
n
N
+
=
=
+
∈
,
jest ograniczony i rosnący.
Rozwiązanie.
Zauważmy, że wyrazy ciągu
( )
n
a
są dodatnie. Zatem ciąg ten jest ograniczony od dołu przez
0. Udowodnimy teraz, że ciąg
( )
n
a
jest ograniczony z góry przez 2. Zastosujemy zasadę
indukcji matematycznej.
Dla
1
n
=
1
2
2
a
=
<
.
Załóżmy, ze dla dowolnego
1
n
≥
2
n
a
<
. Mamy wykazać, że
1
2
n
a
+
<
.
Istotnie z założenia indukcyjnego
2
n
a
<
wynika, że
1
2
2
2
2
n
n
a
a
+
=
+
<
+ =
.
Chcemy wykazać, że
1
2
n
n
n
a
a
a
+
=
+
>
. Nierówność
2
n
n
a
a
+
>
jest równoważna
nierówności
2
2
0
n
n
a
a
− − <
. Funkcja
2
2
y
x
x
=
− −
ma miejsca zerowe
1
1
x
= −
oraz
2
2
x
=
i dla 0
2
x
< <
przyjmuje wartości ujemne. Ponieważ udowodniliśmy,
ż
e
2
n
x
a
=
<
, więc wynika stąd, że nierówność
2
2
0
n
n
a
a
− − <
czyli nierówność
1
n
n
a
a
+
>
jest prawdziwa dla każdego n
N
∈
. Zatem ciąg jest rosnący.
61
BIBLOGRAFIA
1.
Banaś J. , Podstawy matematyki dka ekonomistów,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
2
.
Gurgul H. , Suder M. Matematyka dla kierunków ekonomicznych ,
Oficyna a Wolter Kluwer business , Kraków .2009.
3. Gewert M. , Skoczylas., Wstęp do analizy i algebry, Teoria, przykłady, zadania,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław ,2009.
4. Gewert M. , Skoczylas., Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław ,2006.
5. Żakowski W., Decewicz G., Matematyka, Część I., Wydawnictwo Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1994.
Opracował: dr Franciszek Bogowski
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka podstawowe wzory i Nieznany
Matematyka zaawansowana rroznic Nieznany
matematyka 1(4) id 284045 Nieznany
Matematyka dyskretna opracowani Nieznany
Matematyka 4 id 283195 Nieznany
Matematyka 5 id 283204 Nieznany
Modele matematyczne ukladow reg Nieznany
Edukacja matematyczna 4 id 1503 Nieznany
Analiza matematyczna 1 lz am11a Nieznany (2)
matematyka3lo id 284120 Nieznany
matematyka diagonalizacja2 id 2 Nieznany
MATEMATYKAA3 id 284122 Nieznany
Matematyka 7 id 283208 Nieznany
Matematyka 6 id 283207 Nieznany
matematyka 3 id 284119 Nieznany
Anteny i Matematyka 5 Delta id Nieznany (2)
więcej podobnych podstron