1

Podstawy automatyki i sterowania IV

Sprawozdanie z ćwiczenia 2:

Badania symulacyjne układu napędowego z

silnikiem prądu stałego

Spis treści

1. Wstęp ............................................................................................................................................. 2

2. Model silnika zapisany przy pomocy równań różniczkowych ........................................... 2

2.1.

Opis modelu i schematy analogowe .................................................................................. 2

2.2.

Wyniki obserwacji charakterystyk skokowych ............................................................... 4

3. Model silnika w przestrzeni stanów ....................................................................................... 6

3.1.

Opis modelu i schematy analogowe .................................................................................. 6

3.2.

Wyniki obserwacji charakterystyk skokowych ............................................................... 8

3.3.

Wyniki symulacji przeprowadzonych w trakcie ćwiczenia ............................................ 9

4. Model silnika zapisany przy pomocy transmitancji operatorowej ................................ 10

4.1.

Opis modelu i schematy blokowe ..................................................................................... 10

4.2.

Wyniki obserwacji charakterystyki skokowej ............................................................... 10

4.3.

Wykonanie modelu zasilanego z generatora fali prostokątnej ................................... 11

5. Wnioski ........................................................................................................................................ 12

5.1.

Różnice pomiędzy sposobami opisu modeli układów dynamicznych .......................... 12

5.2.

Wnioski dla otrzymanych rodzin charakterystyk ......................................................... 12

6. Uzupełnienie ............................................................................................................................... 14

6.1.

Odpowiedzi skokowe dla układu opisanego przez równania różniczkowe ................ 14

6.2.

Zależność prędkości obrotowej od współczynnika wypełnienia impulsu .................. 15

2

1. Wstęp

Celem wykonywanego ćwiczenia było zapoznanie się z metodami opisu

matematycznych modeli układów dynamicznych, oraz zastosowaniem środowiska
Simulink do komputerowej symulacji danych modeli. Jako przykład układu dynamicznego,
dla którego przeprowadzono modelowanie, wybrany został silnik elektryczny prądu
stałego, którego schemat ideowy został przedstawiony na rys. 1.

2. Model silnika zapisany przy pomocy równań

różniczkowych

2.1. Opis modelu i schematy analogowe

Równania różniczkowe stanowią najczęściej wyjściowy sposób zapisu modelu układu

dynamicznego. Badany model silnika elektrycznego można wyrazić przy pomocy układu
dwóch równań postaci:

𝑑𝑖

𝑑𝑡

= −

𝑅

𝐿

𝑖 −

𝑘

𝑏

𝐿

𝜔 +

𝑢

𝑎

𝐿

(2.1)

𝑑𝜔

𝑑𝑡

=

𝑘

𝑡

𝐽

𝑖 −

𝑓

𝐽

𝜔

(2.2)

gdzie symbole w powyższych równaniach oznaczają odpowiednio:



𝑖(𝑡) – prąd w obwodzie twornika [A]



𝜔(𝑡) – prędkość obrotowa wału silnika [rad/s]



𝑢

𝑎

– napięcie zasilające obwód twornika [V]



𝑅 – rezystancja uzwojenia twornika [Ω]



𝐿 – indukcyjność obwodu twornika [H]



𝑘

𝑏

– stała elektromotoryczna silnika [Vs/rad]



𝐽 – zredukowany moment bezwładności silnika i elementu obciążającego silnik
[Nm/rad*s^2]



𝑓 – współczynnik tarcia wsiskotycznego [Nm/rad*s]



𝑘

𝑡

– stała momentu silnika [Nm/A]

Na podstawie powyższego układu równań można skonstruować schemat analogowy

programu

Simulink, zamieszczony na rys. 2.

Rysunek 1. Schemat ideowy silnika

3

Rysunek 2. Schemat analogowy silnika zbudowany w oparciu o model równań

różniczkowych

Modyfikacja powyższego schematu, umożliwiająca zbadanie zmienności funkcji prądu

𝑖(𝑡) oraz prędkości obrotowej 𝜔(𝑡) w funkcji zmiennego momentu bezwładności
obciążenia silnika 𝐽 znajduje się na rys. 3. oraz 4.

Rysunek 3. Zmodyfikowany schemat umożliwiający jednoczesną symulację modelu dla

różnych wartości parametru 𝐽

4

Rysunek 4. Rozwinięcie pojedynczego bloku

subsystem, znajdującego się w modelu

zamieszczonym na rys. 3.

2.2. Wyniki obserwacji charakterystyk skokowych

Model silnika zapisany w postaci równań różniczkowych wykorzystano do symulacji

zmienności charakterystyk skokowych silnika elektrycznego w zależności od momentu
bezwładności silnika 𝐽. Przyjęte wartości stałych parametrów silnika to:



𝑢

𝑎

= 35 V



𝑡 = 7 s (okres pomiaru charakterystyki skokowej)



𝐿 = 3.88 ∙ 10

−3

H



𝑅 = 1.5 Ω



𝑘

𝑏

= 1.2

V ∙s

rad



𝑘

𝑡

= 0.62

Nm

A



𝑓 = 0.169

Nm

rad ∙ s

Badane momenty bezwładności 𝐽 miały zaś wartości ze zbioru: {25 ∙ 10

−4

, 25 ∙ 10

−3

, 25 ∙

10

−2

}

Nm

rad ∙ 𝑠

2

.

Otrzymane charakterystyki zamieszczone zostały na rys. 5. i 6.

5

Rysunek 5. Rodzina charakterystyk prędkości obrotowej ω(t) w zależności od momentu

obciążającego 𝐽

Rysunek 6. Rodzina charakterystyk prądu twornika 𝑖(𝑡) w zależności od momentu

obciążającego 𝐽

6

3. Model silnika w przestrzeni stanów

3.1. Opis modelu i schematy analogowe

Każdy układ dynamiczny, w tym nasz silnik, można opisać w przestrzeni stanu za

pomocą zmiennych stanu. Opisują one jednoznacznie, w każdej chwili czasu, stan
badanego układu, przy czym, wybierana jest ich minimalna liczba pozwalająca na
spełnienie tego warunku. Zbiór wszystkich możliwych wektorów stanu tworzy przestrzeń
stanu.

Dla badanego silnika jako zmienne stanu możemy przyjąć prędkość obrotową 𝜔(𝑡)

oraz prąd w obwodzie twornika 𝑖(𝑡). Ponadto można przyjąć, że rozpatrywany przez nas
silnik, w danych warunkach jest liniowy i stacjonarnym tzn. jego parametry nie zależą od
czasu Równania stanu, otrzymane poprzez odpowiednie przekształcenie równań
różniczkowych (2.1) i (2.2) przyjmują postać:

𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖

(3.1)

𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖

(3.2)

gdzie: macierz stanu 𝑨 = [

−

𝑅

𝐿

−

𝑘

𝑏

𝐿

𝑘

𝑡

𝐽

−

𝑓

𝐽

], macierz sterowania 𝑩 = [

1

𝐿

0

0

0

], macierz

wyjścia 𝑪 = [

1 0
0 1

], macierz transmisyjna 𝑫 = [

0 0
0 0

].

Tak zapisany układ pozwala na implementację w programie

Simulink, który

umieszczono na rys. 7.:

Wyraźnie widać tutaj, że wektorem wejścia jest 𝒖 = [

𝑢

𝑎

0

], a wektorem wyjścia 𝒚 = [

𝑖

𝜔

].

W celu przedstawienia na jednym wykresie rodziny charakterystyk, należało

zmodyfikować ten schemat w sposób przedstawiony na rys. 8. i 9.

Rysunek 7. Schemat modelu silnika na podstawie jego równań stanu.

7

Rysunek 8. Zmodyfikowany schemat umożliwiający jednoczesną symulację modelu dla

różnych wartości parametru 𝑢

𝑎

.

Rysunek 9. Rozwinięcie pojedynczego bloku

subsystem, znajdującego się w

modelu zamieszczonym na rys. 8.

8

3.2. Wyniki obserwacji charakterystyk skokowych

Pierwszym

etapem

przeprowadzonego

ćwiczenia

było

zaobserwowanie

charakterystyki skokowej dla napięcia zasilającego 𝑢

𝑎

= 35 V i momentu bezwładności

silnika 𝐽 = 25.5 ∙ 10

−4

Nm

rad ∙ 𝑠

2

. Pozostałe wartości parametrów pozostały niezmienione.

Otrzymane charakterystyki zamieszczono na rys. 10. i 11.

Rysunek 10. Wykres odpowiedzi prędkości obrotowej na wymuszenie skokowe.

Rysunek 11. Wykres odpowiedzi natężenia prądu w obwodzie twornika na wymuszenie

skokowe.

9

3.3. Wyniki symulacji przeprowadzonych w trakcie ćwiczenia

Kolejnym etapem obserwacji było uzyskanie rodziny charakterystyk prędkości

obrotowej i natężenia w zależności od napięcia zasilania. Parametry silnika które uległy

zmianie w stosunku do poprzednich wartość: 𝐽 = 30 ∙ 10

−2

Nm

rad ∙ 𝑠

2

, 𝑢

𝑎

∈ {20, 40, 60} V.

Otrzymane charakterystyki zamieszczono na rys. 12. i 13.

Rysunek 12. Rodzina charakterystyk prędkości obrotowej w zależności od napięcia

zasilania.

Rysunek 13. Rodzina charakterystyk prądu twornika w zależności od

napięcia zasilania.

10

4. Model silnika zapisany przy pomocy transmitancji

operatorowej

4.1. Opis modelu i schematy blokowe

Obciążony silnik można także opisać za pomocą jego transmitancji. Wielkością

wejściową silnika jest napięcie 𝑈

𝑎

(𝑠), zaś wyjściową prędkość kątowa 𝛺(𝑠). Wówczas

transmitancję 𝐺(𝑠) silnika opisuje wzór:

𝐺(𝑠) =

𝛺(𝑠)

𝑈

𝑎

(𝑠)

=

𝑘

𝑡

𝑠

2

𝐽𝐿 + 𝑠(𝑅𝐽 + 𝐿𝑓) + 𝑅𝑓 + 𝑘

𝑏

𝑘

𝑡

(4.1)

Tak opisany model silnika można przedstawić za pomocą schematu blokowego

umieszczonego na rys. 14. Schemat ten zrealizowano w MATLAB-

Simulink.

4.2. Wyniki obserwacji charakterystyki skokowej

W pierwszym kroku wyznaczono wykres odpowiedzi silnika na wymuszenie skokowe,

biorąc za parametry 𝐽 = 25.5 ∙ 10

−4

Nm

rad ∙ 𝑠

2

oraz 𝑢

𝑎

= 35 V (pozostałe parametry

pozostały bez zmian w stosunku do poprzednich symulacji); został on umieszczony na rys.
15.

Rysunek 14. Schemat blokowy modelu silnika zapisanego w postaci transmitancyjnej.

Rysunek 15. Odpowiedź prędkości obrotowej na wymuszenie skokowe.

11

4.3. Wykonanie modelu zasilanego z generatora fali prostokątnej

Schemat z poprzedniego podpunktu przekształcono tak, aby zasilany był napięciem z

generatora fali prostokątnej. Część zasadnicza została zamknięta w „podsystem” oraz
zwielokrotniona w celu otrzymania rodziny charakterystyk w zależności od wartości
współczynnika wypełnienia impulsu ℎ. Zmieniony schemat blokowy zobrazowany jest na
rys. 16.

Wprowadzono następujące zmiany w parametrach:



𝑢

𝑎

= 100 V



𝐽 = 30 ∙ 10

−2

Nm

rad ∙ 𝑠

2



𝑓

generatora

= 1 kHz



ℎ ∈ {20, 40, 60, 80} %

Pozostałe parametry pozostają nadal bez zmian. Przeprowadzono symulację (czas

symulacji 𝑡 = 5 s), a otrzymane wartości prędkości kątowej w zależności od czasu i
współczynnika wypełnienia impulsu ℎ przedstawiono na rys. 17:

Rysunek 16. Zmodyfikowany schemat blokowy modelu służący do wyznaczenia rodziny

charakterystyk prędkości obrotowej w funkcji współczynnika wypełnienia impulsu

h

.

Rysunek 17. Zależność prędkości obrotowej od współczynnika

wypełnienia impulsu w czasie.

12

5. Wnioski

5.1. Różnice pomiędzy sposobami opisu modeli układów dynamicznych

Równania różniczkowe opisują model dynamiczny w sposób zwięzły i łatwy do

interpretacji fizycznej. Na ogół wszystkie występujące wielkości mają sens fizyczny – w
odróżnieniu od równań stanu, gdzie dla zbudowania wektora stanu należy niekiedy
wprowadzić zmienne stanu, które z punktu widzenia dynamiki układu są nieistotne.
Jednakże do przeprowadzenia obliczeń numerycznych i tak niezbędne staje się
sprowadzenie układu równań różniczkowych do układu równań rzędu pierwszego, co w
praktyce jest równoważne przejściu do opisu w równaniach stanu.

Zapisanie modelu silnika w postaci równań stanu pozwala w prosty sposób

zasymulować jego działanie z wykorzystaniem oprogramowania komputerowego.
Zastosowana forma jest prosta i umożliwia również modelowanie bardziej złożonych
układów, w tym równań wyższego stopnia w sposób przyjazny komputerowi i
użytkownikowi.

Opis transmitancją jest częstotliwościowym modelem układu (w postaci zasadniczej

określonym w dziedzinie 𝑠). Określa ogólne właściwości stacjonarnego układu liniowego o
jednym wyjściu u jednym wejściu. Zakładając zerowy stan początkowy pozwala zbadać
zachowanie układu przy różnych częstotliwościach wejściowych.

5.2. Wnioski dla otrzymanych rodzin charakterystyk

Zwiększenie momentu obciążającego prowadzi do wolniejszego rozpędzania się wału

silnika oraz znacznie zwiększa prąd rozruchowy. Przekroczenie bezpiecznych wartości
prądu może prowadzić do spalenia uzwojenia silnika – czego za wszelką cenę należy
unikać.

W pierwszym modelu silnika, z małym momentem bezwładności, wyraźnie widoczne

jest początkowy silny wzrost natężenia prądu i prędkości obrotowej, które mogą być
niebezpieczne, jednak są one bardzo krótkotrwałe i bardzo szybko dochodzi do ustalenia
się zadanej wartości. Rodziny uzyskanych charakterystyk potwierdzają, że nasze model
układu jest liniowy - dwu i trzykrotne zwiększenie wymuszenia powoduje proporcjonalny
przyrost wyjścia. Jest to jeden ze sposobów sterowania prędkością obrotową silnika,
jednak trzeba mieć na uwadze początkowe przekroczenia wartości natężeń, które
ponownie, mogą zaszkodzić naszemu układowi. Dodatkowo widoczne jest, że stałą
czasowa ustalenia się odpowiedzi skokowej w każdym przypadku jest taka sama. Dowodzi
to, że jest ona niezależna od wymuszenia. Zmienia się jedynie wartość maksymalna
uzyskanych wartości.

Wykres odpowiedzi skokowej na wymuszenie jednostkowe jest taki sam, jak w

przypadku tego uzyskanego w modelu symulacyjnym wykorzystującym zmienne stanu.
Stanowi to pewne potwierdzenie, że opis transmitancją jest równoważnym sposobem
opisu typu wejście-wyjście w stosunku do opisu zmiennymi stanu. W dalszej części
ćwiczenia analizowana była zależność odpowiedzi skokowej w zależności od wymuszenia
falą prostokątną o różnym wypełnieniu sygnałów. Jest to przykład sterowania silnikiem
za pomocą metody PWM (Pulse Width Modulation), bardzo popularnej ponieważ pozwala

13

uniknąć bardziej skomplikowanego procesu sterowania za pomocą zmiany napięcia. Z
zaprezentowanych na wykresie wyników wnioskuję, że maksymalna prędkość obrotowa
silnika jest wprost proporcjonalna do wypełnienia sygnału, natomiast czas osiągniecia
maksymalnych (dla danego wypełnienia sygnału) obrotów pozostaje taki sam niezależnie
od wypełnienia sygnału.

14

6. Uzupełnienie

6.1. Odpowiedzi skokowe dla układu opisanego przez równania

różniczkowe

Wykresy odpowiedzi skokowych prędkości obrotowej oraz natężenia prądu twornika

zostały zamieszczone odpowiednio na rys. 18. i 19.

Rysunek 18. Wykres odpowiedzi prędkości obrotowej na wymuszenie skokowe.

Rysunek 19. Wykres odpowiedzi prędkości obrotowej na wymuszenie skokowe.

15

6.2. Zależność prędkości obrotowej od współczynnika wypełnienia

impulsu

Wykres zależności prędkości ustalonej prędkości obrotowej

𝜔 od współczynnika wypełnienia

impulsu ℎ umieszczono na rys. 20.

Rysunek 20. Wykres prędkości obrotowej 𝜔 w funkcji współczynnika wypełnienia ℎ.