Politechnika Gdańska Teoria

Sprężystości i Plastyczności M-SE4

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

sem. VI KBI r. 2005/2006

Katedra Mechaniki Budowli

prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek

ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 2

- algebra tensorów, zastosowanie operatorów różniczkowych -

1. Dane

są wektory

oraz

i

i

a

=

a

e

i

i

b

=

b

e . Zapisać w rozwiniętej formie, stosując zapis

wskaźnikowy, następujące wielkości:

a)

b)

×

a b

⊗

a

b

c) (iloczyn skalarny) d)

⋅

a b

2

a

Przedstawić je, tam, gdzie można, w postaci formalnej, z użyciem wektor bazowych e

i

,

i = 1, 2, 3.

2.

Dany jest wektor

oraz tensor II walencji

i

i

u

=

u

e

kl

k

l

R

=

⊗

R

e

e . Wykonać działanie

nasunięcia prostego

przedstawiając jego rezultat w postaci wskaźnikowej

(z użyciem wektorów bazowych e

R u

i

, i = 1, 2, 3) wskazać odpowiednik tego zadania

w zestawie zadań rozwiązanych na ćwiczeniach nr 1.

3.

Dane jest pole wektorowe:

( )

2

1 2

1 2 3

2

3 2

4x x

x x x

x x

⎛

⎞

⎜

⎟

≡

= ⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

u

u x

Obliczyć: a)

b)

div u

grad

= ∇

u

u

c)

(

)

grad div u

d)

rot

u

e)

f)

(

)

0.5

T

=

∇ + ∇

S

u

u

u

(

)

0.5

T

=

∇ − ∇

A

u

u

u

g)

+

S

A

u

u

Wyrazić każdą z tych wielkości stosując zapis wskaźnikowy.

4.

Dana jest funkcja skalarna (pole skalarne) w R

2

:

( )

4

2 2

1

1

2

2

4

x

x x

x

ϕ ϕ

≡

=

+

+

x

Definiujemy operator różniczkowy:

( )

( )

( )

(

)

4

L

⋅ = ∇ ⋅ = ∆ ∆ ⋅

. Obliczyć

( )

L

ϕ

.

Termin wydania:

wykład nr 3

Termin oddania:

wykład nr 5