Politechnika Gdańska Teoria Sprężystości i Plastyczności M-SE4

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska sem. VI KBI r. 2005/2006

Katedra Mechaniki Budowli

prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 2

- algebra tensorów, zastosowanie operatorów różniczkowych -

1. Dane

są wektory a = a e oraz b = b e . Zapisać w rozwiniętej formie, stosując zapis i

i

i

i

wskaźnikowy, następujące wielkości: a) a×b b)

a ⊗ b c)

a ⋅ b (iloczyn skalarny) d) 2

a

Przedstawić je, tam, gdzie można, w postaci formalnej, z użyciem wektor bazowych e ,

i

i = 1, 2, 3.

2.

Dany jest wektor u = u e oraz tensor II walencji R = R e ⊗ e . Wykonać działanie i

i

kl

k

l

nasunięcia prostego R u przedstawiając jego rezultat w postaci wskaźnikowej (z użyciem wektorów bazowych e ,

i

i = 1, 2, 3) wskazać odpowiednik tego zadania w zestawie zadań rozwiązanych na ćwiczeniach nr 1.

2

⎛ 4

⎞

1

x 2

x

⎜

⎟

3.

Dane jest pole wektorowe: u ≡ u (x) = ⎜

1

x 2

x 3

x ⎟

2

⎜

⎟

⎝ 3

x 2

x ⎠

Obliczyć: a) div u

b) grad u = ∇u

c) grad ( divu) d) rot u

e) S

u

0.5(

T

=

∇u + ∇u ) f) A u

0.5(

T

=

∇u − ∇u ) g) S + A u

u

Wyrazić każdą z tych wielkości stosując zapis wskaźnikowy.

4.

Dana jest funkcja skalarna (pole skalarne) w R2: ϕ ≡ ϕ (x) 4

2 2

4

=

+

+

1

x

1

x 2

x

2

x

Definiujemy operator różniczkowy: ( ) 4

L ⋅ = ∇ (⋅) = ∆ (∆ (⋅)) . Obliczyć L (ϕ ) .

Termin wydania:

wykład nr 3

Termin oddania:

wykład nr 5