Politechnika Gdańska Teoria Sprężystości i Plastyczności M-SE4
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska sem. VI KBI r. 2005/2006
Katedra Mechaniki Budowli
prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 2
- algebra tensorów, zastosowanie operatorów różniczkowych –
1. Dane
są wektory a = a e oraz b = b e . Zapisać w rozwiniętej formie, stosując zapis i
i
i
i
wskaźnikowy, następujące wielkości: a) a×b b)
a ⊗ b c)
a ⋅ b (iloczyn skalarny) d) 2
a
Przedstawić je, tam, gdzie można, w postaci formalnej, z użyciem wektor bazowych e ,
i
i = 1, 2, 3.
.......................................................................................................................................................
a) a×b ⇒ e a b e =
k
( a b − a b , a b − a b , T
a b − a b
ijk
i
j
2 3
3 2
3 1
1 3
1 2
2 1 )
⎡
⎤
1
a 1
b
1
a 2
b
1
a 3
b
b)
⎢
⎥
a ⊗ b ⇒ a b e ⊗ e = a b a b
a b e ⊗ e
i
j
i
j
2 1
2 2
2 3
⎢
⎥ i
j
⎢
⎥
⎣ 3
a 1
b
3
a 2
b
3
a 3
b ⎦
c) a ⋅b = a b = a b + a b + a b i
i
1 1
2 2
3 3
d)
2
2
T
2
2
2
a = a a = a a = a + a + a = a i
i
1
2
3
2.
Dany jest wektor u = u e oraz tensor II walencji R = R e ⊗ e . Wykonać działanie i
i
kl
k
l
nasunięcia prostego R u przedstawiając jego rezultat w postaci wskaźnikowej (z użyciem wektorów bazowych e ,
i
i = 1, 2, 3) wskazać odpowiednik tego zadania w zestawie ćwiczeń nr 1.
.......................................................................................................................................................
R u = R e ⊗ e u e = R u δ e = R u e ij
i
j
k
k
ij
k
jk
i
ij
j
i
Odpowiednik z ćwiczeń nr 1 – przykład: A u ij
j
2
⎛ 4
⎞
1
x 2
x
⎜
⎟
3.
Dane jest pole wektorowe: u ≡ u (x) = ⎜
1
x 2
x 3
x ⎟
2
⎜
⎟
⎝ 3
x 2
x ⎠
Obliczyć: a) div u
b) grad u = ∇u
c) grad ( divu) d) rot u
e) S
u
0.5(
T
=
∇u + ∇u ) f) A u
0.5(
T
=
∇u − ∇u ) g) S + A u
u
Wyrazić każdą z tych wielkości stosując zapis wskaźnikowy.
.......................................................................................................................................................
a)
2
2
2
div u = u = u + u
+ u = 4 x + x x + x = 5 x + x x i, i
1,1
2,2
3,3
2
1 3
2
2
1 3
2
⎡ u
u
u ⎤
⎡ 4 x
8 x x
0 ⎤
1,1
1,2
1,3
2
1 2
⎢
⎥ ⎢
⎥
b) grad u = u = u u
u
= x x
x x
x x
i, j
⎢ 2,1
2,2
2,3 ⎥
⎢ 2 3
1 3
1 2 ⎥
2
⎢ u
u
u ⎥
⎢ 0
2
⎥
⎣ 3,1
3,2
3,3 ⎦
⎣
2
x 3
x
2
x ⎦
⎡ u ⎤ ⎡ u + u
+ u ⎤ ⎡ x ⎤
j , j 1
1,11
2,21
3,31
3
⎢
⎥ ⎢
⎥
c)
⎢
⎥
grad ( div u) = u
= u
= u + u
+ u
= 10 x
j, ji
⎢ j, j 2 ⎥ ⎢ 1,12
2,22
3,32 ⎥
2
⎢
⎥
⎢ u ⎥ ⎢ u + u + u ⎥ ⎢ x ⎥
⎣ j, j 3 ⎦ ⎣ 1,13
2,23
3,33 ⎦
⎣ 1 ⎦
⎛ u − u ⎞ ⎛ 2
−
⎞
3,2
2,3
3
x 2
x
1
x 2
x
⎜
⎟
d)
⎜
⎟
rot u = u
− u
=
0
⎜ 1,3
3,1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
u
− u
x x − 8
⎝ 2,1
1,2 ⎠
⎝ 2 3
1
x 2
x ⎠
⎡
8 +
2
⎤
1
x
3
4
x
x
x
0
⎢
2
2
2
⎥
⎢
⎥
x + x
x + x
S
1
T
1
8
2
e) u
( u u ) (
⎢
⎥
=
∇ + ∇
=
u
+ u
= x
x x
x
i j
j i )
1
3
1
3
,
,
2
1 3
2
2
2
⎢
2
2
⎥
⎢
⎥
x + 2
1
3
x
2
⎢
0
⎥
2
x
2
x
⎢⎣
2
⎥⎦
⎡
8 −
⎤
1
x
3
0
x
x
0
⎢
2
2
⎥
⎢
⎥
− x + x
x − x
A
1
T
1
8
2
f) u
( u u ) (
⎢
⎥
=
∇ − ∇
=
u
− u
= x
x
i j
j i )
1
3
1
3
0
,
,
2
2
2
2
⎢
2
2
⎥
⎢
⎥
− x + 2
1
3
⎢
0
x
x
0
⎥
2
⎢⎣
2
⎥⎦
g)
S
A
u + u = ∇u
4.
Dana jest funkcja skalarna (pole skalarne) w R2: ϕ ≡ ϕ (x) 4
2 2
4
=
+
+
1
x
1
x 2
x
2
x
Definiujemy operator różniczkowy: ( ) 4
L ⋅ = ∇ (⋅) = ∆ (∆ (⋅)) . Obliczyć L (ϕ ) .
.......................................................................................................................................................
2
2
∆ϕ = ϕ +ϕ = 14 x +14 =
,11
,22
1
2
x
g (x)
L (ϕ ) = ∆ (∆ϕ ) = ∆ g = g + g
= 56
,11
,22