MMF 1 – Egzamin pisemny FM + FT – 22.02.2010
1. (6 pkt) Znajd´
z wszystkie pierwiastki r´
ownania
q
−
√
3 + i z
3
−
1
64
√
2
1 − i
√
3
10
= 0
Ka ˙zdy z perwiastk´
ow przedstaw w postaci wyk ladniczej. Nast
ι
epnie korzystaj
ι
ac
z informacji, ˙ze sin
π
12
=
1
4
(
√
6 −
√
2), cos
π
12
=
1
4
(
√
6 +
√
2) oraz z podstawowych
w lasno´
sci funkcji trygonometrycznych zapisz ka ˙zdy z pierwiastk´
ow w postaci
algebraicznej.
2. (6 pkt) Znajd´
z macierz odwrotn
ι
a do macierzy:
A =
1
1
i
1
2
1
−i
1
1
a) korzystaj
ι
ac z metody dope lnie´
n algebraicznych,
b) korzystaj
ι
ac z metody Gaussa.
c) Wida´
c, ˙ze kolumny macierzy A = {~
v
1
, ~
v
2
, ~
v
3
} mo˙zna wybra´
c jako baz
ι
e w
przestrzeni C
3
. Zortonormalizuj t
ι
e baz
ι
e tak aby jeden z wektor´
ow nowej
bazy by l r´
ownoleg ly do wektora ~
v
1
.
3. (6 pkt) Podaj liczb
ι
e rozwi
ι
aza´
n uk ladu r´
owna´
n w zale ˙zno´
sci od warto´
sci rzeczy-
wistego parametru a:
x + 2y −
3z =
a
3x −
y +
5z =
2
ax +
y + (a
2
− 14)z = a + 2
W przypadkach kiedy rozwi
ι
azania istniej
ι
a znajd´
z je.
4. (7 pkt) Prosz
ι
e znale´
z´
c warto´
sci w lasne i wektory w lasne macierzy
B =
2
−1
1
2
−1
2
−1
1
1
−1
2
−1
2
1
−1
2
Nast
ι
epnie prosz
ι
e wybra´
c cztery ortonormalne wektory w lasne oraz zbudowa´
c z
nich ortogonaln
ι
a macierz O diagonalizuj
ι
ac
ι
a macierz B poprzez transformacj
ι
e
podobie´
nstwa O
T
BO = Λ i podaj macierz Λ.