MMF 1 – Egzamin pisemny FM + FT – 22.02.2010

1. (6 pkt) Znajd´

z wszystkie pierwiastki r´

ownania

q

−

√

3 + i z

3

−

1

64

√

2



1 − i

√

3



10

= 0

Ka ˙zdy z perwiastk´

ow przedstaw w postaci wyk ladniczej. Nast

ι

epnie korzystaj

ι

ac

z informacji, ˙ze sin

π

12

=

1
4

(

√

6 −

√

2), cos

π

12

=

1
4

(

√

6 +

√

2) oraz z podstawowych

w lasno´

sci funkcji trygonometrycznych zapisz ka ˙zdy z pierwiastk´

ow w postaci

algebraicznej.

2. (6 pkt) Znajd´

z macierz odwrotn

ι

a do macierzy:

A =






1

1

i

1

2

1

−i

1

1






a) korzystaj

ι

ac z metody dope lnie´

n algebraicznych,

b) korzystaj

ι

ac z metody Gaussa.

c) Wida´

c, ˙ze kolumny macierzy A = {~

v

1

, ~

v

2

, ~

v

3

} mo˙zna wybra´

c jako baz

ι

e w

przestrzeni C

3

. Zortonormalizuj t

ι

e baz

ι

e tak aby jeden z wektor´

ow nowej

bazy by l r´

ownoleg ly do wektora ~

v

1

.

3. (6 pkt) Podaj liczb

ι

e rozwi

ι

aza´

n uk ladu r´

owna´

n w zale ˙zno´

sci od warto´

sci rzeczy-

wistego parametru a:

x + 2y −

3z =

a

3x −

y +

5z =

2

ax +

y + (a

2

− 14)z = a + 2

W przypadkach kiedy rozwi

ι

azania istniej

ι

a znajd´

z je.

4. (7 pkt) Prosz

ι

e znale´

z´

c warto´

sci w lasne i wektory w lasne macierzy

B =








2

−1

1

2

−1

2

−1

1

1

−1

2

−1

2

1

−1

2








Nast

ι

epnie prosz

ι

e wybra´

c cztery ortonormalne wektory w lasne oraz zbudowa´

c z

nich ortogonaln

ι

a macierz O diagonalizuj

ι

ac

ι

a macierz B poprzez transformacj

ι

e

podobie´

nstwa O

T

BO = Λ i podaj macierz Λ.