MMF 1 – Egzamin pisemny FM + FT – 28.02.2010

1. (6 pkt) Znajd´

z wszystkie pierwiastki r´

ownania



2 + i

√

12



3/4

−

1

4

(1 − i)z

3

= 0

Ka ˙zdy z pierwiastk´

ow przedstaw w postaci wyk ladniczej i algebraicznej.

2. (6 pkt) Wyznacz rz

ι

ad macierzy

A =








a

1

−1

a

1

a

1 −a

−1 −a

a

−1

−a −1 −a

1








w zale ˙zno´

sci od warto´

sci rzeczywistego parametru a.

3. (6 pkt) Znajd´

z wszystkie rozwi

ι

azania uk ladu r´

owna´

n lub wyka ˙z, ˙ze uk lad jest

sprzeczny:

x

1

+ 2x

2

+

x

3

+

x

4

+ 3x

5

= 0

2x

1

− x

2

− 3x

3

+ 2x

4

+ 5x

5

= 3

−x

1

+

x

2

+ 2x

3

− x

4

+

x

5

= 5

3x

1

+ 3x

2

+

x

3

− 2x

4

+

x

5

= 0

4. (7 pkt) Prosz

ι

e znale´

z´

c warto´

sci w lasne i wektory w lasne macierzy

B =






2

i

1

−i 2 −i

1

i

2






Nast

ι

epnie prosz

ι

e wybra´

c trzy ortonormalne wektory w lasne oraz zbudowa´

c z

nich unitarn

ι

a macierz U diagonalizuj

ι

ac

ι

a macierz B poprzez transformacj

ι

e po-

dobie´

nstwa U

†

BU = Λ i zapisa´

c macierz Λ.