Zadania z zasady indukcji matematycznej

1

1. Udowodnij metodą indukcji matematycznej prawdziwość wzoru:

(a) ∀

n∈N

2 + 9 + 16 + · · · + (7n − 5) =

(7n−3)n

2

;

(b) ∀

n∈N

3 + 9 + 15 + · · · + (6n − 3) = 3n

2

;

(c) ∀

n∈N

1 + 2 + 3 + · · · + n =

n(n+1)

2

;

(d) ∀

n∈N

3 + 7 + 11 + · · · + (4n − 1) = n(2n + 1);

(e) ∀

n∈N

4 + 12 + 20 + · · · + (8n − 4) = 4n

2

;

(f) ∀

n∈N

2 + 7 + 12 + · · · + (5n − 3) =

n(5n−1)

2

;

(g) ∀

n∈N

2 + 11 + 20 + · · · + (9n − 7) =

n(9n−5)

2

;

(h) ∀

n∈N

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n

2

;

(i) ∀

n∈N

1

2

+ 3

2

+ 5

2

+ · · · + (2n − 1)

2

=

n

3

(4n

2

− 1);

(j) ∀

n∈N

1 + 3

1

+ 3

2

+ · · · + 3

n

=

3

n+1

−1

2

;

(k) ∀

n∈N

4 + 10 + 16 + · · · + (6n − 2) = n(3n + 1);

(l) ∀

n∈N

3 + 10 + 17 + · · · + (7n − 4) =

1

2

n(7n − 1);

(m) ∀

n∈N

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =

1

3

n(n + 1)(n + 2);

(n) ∀

n∈N

1·2·3+2·3·4+· · ·+n(n+1)(n+2) =

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3);

(o) ∀

n∈N

1

1·2

+

1

2·3

+

1

3·4

+ · · · +

1

n(n+1)

=

n

n+1

;

(p) ∀

n∈N

1

1·3

+

1

3·5

+

1

5·7

+ · · · +

1

(2n−1)(2n+1)

=

n

2n+1

;

(q) ∀

n∈N

1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1;

(r) ∀

n∈N

0

9|10

n

− 1;

(s) ∀

n∈N

0

133| 11

n+2

+ 12

2n+1

;

(t) ∀

n∈N

3|4

n

+ 5;

(u) ∀

n∈N,n­2

12|10

n

− 4;

(v) ∀

n∈N

0

3| (10

n

+ 4

n

− 2);

(w) ∀

n∈N

0

7|(n

7

− n);

(x) ∀

n∈N

4| 5

5n−2

+ 3

;

(y) ∀

n∈N

0

3|(n

3

+ 2n);

(z) ∀

n∈N

0

6|(n

3

+ 3n

2

+ 2n);

1

Zadania opracowano na podstawie [14].

1

2. Ciąg (s

n

) jest określony wzorem rekurencyjnym s

1

= 1, s

n

= s

n−1

+

2(n − 1) + 1. Wykaż, że s

n

= n

2

dla każdego n ∈ N.

3. Ciąg (s

n

) jest określony wzorem rekurencyjnym s

0

= a s

n

= 2s

n−1

+b.

Wykaż, że s

n

= 2

n

a + (2

n

− 1)b dla każdego n ∈ N

0

.

4. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a

n

) wzorami:

(a) a

0

= 1, a

1

= 2 oraz a

n

=

a

2

n−1

a

n−2

dla n ­ 2;

(b) a

0

= 1, a

1

= 2 oraz a

n

=

a

2

n−1

−1

a

n−2

dla n ­ 2;

(c) a

0

= 0, a

1

= 1 oraz a

n

=

1

4

(a

n−1

− a

n−2

+ 3)

2

dla n ­ 2.

Oblicz kilka pierwszych wyrazów tego ciągu, a następnie odgadnij i
udowodnij wzór ogólny na a

n

.

5. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a

n

) wzorami: a

0

= 1, a

1

= 2, a

2

= 3

oraz a

n

= a

n−2

+ 2a

n−3

dla n ­ 3. Udowodnij, że a

n

>



3

2



n

dla

wszystkich n ­ 1.

6. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a

n

) wzorami: a

0

= a

1

= a

2

= 1 oraz

a

n

= a

n−1

+ a

n−2

+ a

n−3

dla n ­ 3. Udowodnij, że wszystkie liczby a

n

są nieparzyste oraz udowodnij, że a

n

¬ 2

n−1

dla wszystkich n ­ 1.

7. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a

n

) wzorami: a

0

= 1, a

1

= 3, a

2

= 5

oraz a

n

= 3a

n−2

+ 2a

n−3

dla n ­ 3.

• Udowodnij, że a

n

> 2

n

dla wszystkich n ­ 1;

• Udowodnij, że a

n

< 2

n+1

dla wszystkich n ­ 1;

• Udowodnij, że a

n

= 2a

n−1

+ (−1)

n−1

dla wszystkich n ­ 1.

8. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a

n

) wzorami: a

0

= a

1

= a

2

= 1 oraz

a

n

= a

n−1

+ a

n−3

dla n ­ 3.

• Pokaż, że a

n

­ 2a

n−2

dla wszystkich n ­ 3;

• Udowodnij nierówność a

n

­



√

2



n−2

dla wszystkich n ­ 2;

• Udowodnij, że a

n

¬



3

2



n−1

dla wszystkich n ­ 1.

2