Kapitalizacja, Dyskonto

•

Procent. Stopa procentowa.

•

Wartość przyszła lokaty przy różnych skokowych częstościach
kapitalizacji. Kapitalizacja ciągła.

•

Wartość obecna znanej wartości przyszłej przy różnych częstościach
dyskonta. Dyskonto ciągłe.

•

Efektywna stopa procentowa.

Procent (Interest) - opłata za prawo do korzystania z kapitału
pieniężnego.

Stopa procentowa (Interest rate) - stosunek procentu do początkowej
wartości kapitału x 100. Potocznie, stopa procentowa jest nazywana
procentem.

Stopa zwrotu, stopa dochodu (rate of return, yield) - różnica względna
między dochodem z inwestycji a wydatkami na nią, wyrażona w
procentach.

Oprocentowanie proste (Simple interest) - procent jest liczony od
wartości kapitału początkowego i jest on proporcjonalny do długości czasu,
na który kapitał został udostępniony. Przy oprocentowaniu prostym odsetki
nie są kapitalizowane (nie są dodawane do kapitału początkowego na
koniec okresu oprocentowania).

(

)

1

,

n

WP

A

rn

A Arn

A I

=

+

= +

= +

gdzie: r – stopa procentowa, n – liczba okresów oprocentowywania, I –
wartość procentu.

Oprocentowanie złożone (Compound interest) - procent składany.
Procent jest doliczany do kapitału na koniec każdego okresu odsetkowego
i suma ta stanowi kapitał na początek kolejnego okresu oprocentowania.
Stosowane są różne standardy traktowania czasu dla okresów kapitalizacji
– czas mierzony odcinkami (np. miesiąc, pół roku, rok itp.) lub czas liczony
w sposób ciągły.

Regułą rynkową jest kapitalizacja dla dyskretnych przedziałów czasu, w
wykładach uniwersyteckich chętnie jest stosowana kapitalizacja ciągła.

( )

1

1

n

n

WP A

r

A I

=

+

= +

gdzie: I

1

– skapitalizowana wartość procentu.

Proste obliczenia z zakresu matematyki finansowej
Kapitalizacja odsetek

•

Kapitalizacja dyskretna:

A – kapitał ulokowany na koncie,
n – liczba lat, na którą lokujemy kapitał,
r – roczna stopa oprocentowania kapitału (stopa procentowa w skali
roku, p.a. = per annum),

♦

Wartość przyszła po n okresach – WP

n

, kapitalizacja roczna:

(

)

1

n

n

WP

A

r

=

+

♦

Wartość przyszła po n okresach, kapitalizacja dyskretna z
częstotliwością m razy w roku - WP

n/m

/

1

mn

n m

r

WP

A

m





=

+









♦

Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji dyskretnej (m razy w
roku).

Jest to stopa, która równoważy efekt kapitalizacji w podokresach

danego okresu:

1

1

m

ef

r

r

m





= +

−









•

Kapitalizacja ciągła

/

lim

1

mn

rn

n m

m

r

WP

A

Ae

m

→∞





=

+

=









gdzie: e = stała = 2,71828; liczba niewymierna, definiowana jako:

...

71828

,

2

1

1

lim

=

=











 +

∞

→

e

x

x

x

.

♦

Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji ciągłej (kapitalizacja
ciągła w roku):

1

−

=

r

ef

e

r

ZWIĄZEK ZACHODZĄCY MIĘDZY STOPĄ PROCENTOWĄ KAPITALIZACJI
CIĄGŁEJ W DANYM OKRESIE I RÓWNOWAŻNĄ STOPĄ PROCENTOWĄ
KAPITALIZACJI DYSKRETNEJ W TYM SAMYM OKRESIE:

r

1

– stopa oprocentowania wkładu w skali roku dla kapitalizacji

ciągłej,
r

2

- równoważna stopa oprocentowania wkładu dla kapitalizacji m

razy w roku.

Mamy zależność:

mn

n

r

m

r

A

Ae











 +

=

2

1

1

m

r

m

r

e











 +

=

2

1

1

Logarytmując stronami otrzymamy związek między r

1

i r

2

:











 +

=

m

r

m

r

2

1

1

ln

gdzie: ln jest symbolem logarytmu naturalnego, ln

e

(logarytmu o

podstawie e).

Zakładając znajomość r

1

możemy z powyższej równości obliczyć r

2

:













−

=

1

1

2

m

r

e

m

r

Dyskontowanie wartości przyszłej WP

•

Wartość bieżąca – WB

Jej obliczenie polega na dyskontowaniu wartości przyszłej (po n latach),
które jest działaniem odwrotnym do kapitalizacji. Chcemy obliczyć WB

n

przy założeniu znajomości WP

n

.

♦

Dyskontowanie dyskretne z częstotliwością raz w roku znanej
wartości WP

n

:

(

)

(

)

1

1

n

n

n

n

n

WP

WB

WP

r

r

−

=

=

+

+

♦

Dyskontowanie dyskretne z częstotliwością m razy w roku znanej
wartości WP

n

:

/

1

1

mn

n

n m

n

mn

WP

r

WB

WP

m

r

m

−





=

=

+













+









♦

Dyskontowania ciągłe znanej wartości WP

n

:

http://notatek.pl/elementy-matematyki-finansowej-z-przykladami?notatka