1

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

Modele optymalizacji liniowej

Studia przypadków

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

Proces budowy modelu

1. Zdefiniowanie decyzji (zmiennych

decyzyjnych) x

2. Ustalenie warunków wyznaczających

zbiór decyzji dopuszczalnych D

3. Przyjęcie miernika realizacji celu f
4. Określenie podjęcia decyzji optymalnej

2

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

Kopalnia węgla brunatnego 1

• Kopalnia eksploatuje węgiel brunatny na trzech

poziomach wydobywczych: A, B i C.

• Ze względów jakościowych wydobycie węgla z

poziomu A musi być co najmniej dwa razy większe

niż z poziomu B.

• Cena sprzedaży węgla wynosi 60 zł/t.
• Zaplanować wydobycie dobowe z każdego poziomu

wydobywczego

• Zdefiniuj model optymalizacji liniowej

maksymalizujący zysk.

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

20

Minimalne wydobycie dobowe

kopalni [tys.t]

22

Maksymalne wydobycie dobowe

kopalni [tys.t]

8

8

12

Maksymalne wydobycie dobowe

[tys.t]

30

35

38

Jednostkowy koszt wydobycia

[zł/t]

wartości

graniczne

C

B

A

Kopalnia węgla brunatnego 1

3

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

• Kopalnia odkrywkowa węgla brunatnego prowadzi

eksploatację na 4 poziomach wydobywczych: dwóch

nadkładowych: N1 i N2 oraz dwóch węglowych: W1 i W2.

Maksymalne wydobycie dobowe na każdym poziomie jest

ograniczone wydajnością koparki.

• Urobek z poziomów: N2(nadkładowego) i W1(węglowego)

jest odstawiany jednym taśmociągiem o wydajności dobowej

nie większej niż 20 000 [t].

• Ze względów jakościowych wydobycie węgla z poziomu W1

musi być co najmniej 2 razy większe niż z poziomu W2.

• Ze względu na zachowanie odpowiedniego wyprzedzenia

frontów eksploatacyjnych wydobycie nadkładu* musi być

co najmniej 3 razy większe niż wydobycie węgla.

• Cena sprzedaży węgla wynosi 60 zł/t.

Kopalnia węgla brunatnego 2

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

10

minimalne wydobycie dobowe

węgla w kopalni [tys. t]

15

maksymalne wydobycie

dobowe węgla w kopalni
[tys. t]

8

8

18

25

maksymalne wydobycie

dobowe koparki [tys. t]*

18

14

12

10

jednostkowy koszt wydobycia

[zł/t]

wartości

graniczne

W2

W1

N2

N1

Kopalnia węgla brunatnego 2

4

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

• Kopalnia podziemna rud eksploatuje aktualnie 4

pola wydobywcze: północne (N), południowe (S),

wschodnie (E) i zachodnie (W). Ruda miedzi jest

wydobywana w polach N i S zaś ruda srebra w

polach W i E.

• Urobek z pól N i E jest transportowany szybem

północnym a urobek z pól S i W szybem

południowym.

• Ze względów geotechnicznych nie należy

wstrzymywać wydobycia w żadnym polu –

minimalne wydobycie w każdym polu powinno

wynosić co najmniej 15% łącznego wydobycia rudy.

Kopalnia rudy miedzi

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

7 000

maksymalna dobowa wydajność

szybu południowego [t]

5 000

maksymalna dobowa wydajność

szybu północnego [t]

9 000

minimalne wydobycie dobowe rudy

w kopalni [t]

11 000

maksymalne wydobycie dobowe

rudy w kopalni [t]

210

180

240

250

jednostkowy koszt wydobycia [zł/t]

wartości

graniczne

W

E

S

N

pola wydobywcze

Kopalnia rudy miedzi

5

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

Koparka - Samochody

• Zakład ma dwa samochody A i B o ładowności ŁA ton, ŁB

ton.

• Koparka może załadować co najwyżej K samochodów w

ciągu zmiany, niezależnie od ich ładowności.

• Dzienny limit paliwa dla zakładu wynosi LP litrów.
• Samochód A zużywa na jeden pełny cykl transportowy Za

litrów paliwa, samochód Zb litrów.

• W ciągu zmiany samochód A może wykonać co najwyżej

Ca pełnych cykli transportowych, samochód B - Cb cykli.

• Zdefinuj model optymalizacji liniowej maksymalizujący ilość

przetransportowanego urobku.

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

15

Maks. liczba załadowań / zmianę

250

Limit paliwa

8

10

Maksymalna liczba cykli / zmianę

20

15

Zużycie paliwa / cykl

12

10

Ładowność samochodów

B

A

Samochody

Koparka - Samochody

6

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

Produkcja – różne wyroby

• Do wykonania dwóch wyrobów A i B

przedsiębiorstwo zużywa stal i blachę

ocynkowaną.

• Przy produkcji wyrobów A i B wykorzystywane

są urządzenia: prościarki, giętarki i nożyce do

cięcia blachy.

• Przyjmując, że znane są Ci zasoby jakimi

dysponuje przedsiębiorstwo (czas dostępności

urządzeń, ilość materiałów), normatywy zużycia

zasobów na jednostkę wyrobu oraz zysk ze

sprzedaży wyrobów, zdefinuj model

optymalizacji liniowej maksymalizujący zysk

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

200

Czas dostępności nożyc

150

Czas dostępności giętarki

200

Czas dostępności prościarki

15000

Limit blachy

10000

Limit stali

110

100

Zysk jednostkowy

70

50

Zużycie stali

120

100

Zużycie blachy

4

6

Czas pracy nożyc / jedn. wyrobu

15

10

Czas pracy giętarki / jedn. wyrobu

7

5

Czas pracy prościarki / jedn. wyrobu

B

A

7

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

Produkcja – różne technologie

• Do produkcji wyrobu przedsiębiorstwo może

zastosować trzy technologie A, B i C.

• Znane są jednostkowe nakłady zasobów

(energia, surowiec, koszt) ponoszone na

wyprodukowanie jednostki wyrobu w danej

technologii oraz wielkość zasobów, jakimi

dysponuje przedsiębiorstwo.

• Zdefinuj model optymalizacji liniowej

maksymalizujący wielkość produkcji

Badania Operacyjne

Bogumił Dałkowski

100000

Budżet do dyspozycji

5000

ilość dostępnego surowca

250

Ilość dostępnej energii

2500

2000

1000

Koszt jedn. wyrobu

150

120

100

Zużycie surowca / jedn. wyrobu

12

10

5

Zużycie energii / jedn. wyrobu

C

B

A

Produkcja – różne technologie