1

Pole magnetyczne

Za oddziaływania magnetyczne odpowiedzialne s

ą

ładunki elektryczne w ruchu

Do

ś

wiadczenie Oersteda

Oddziaływanie pomi

ę

dzy pr

ą

dem i magnesem opisujemy wprowadzaj

ą

c poj

ę

cie

pola magnetycznego

Ź

ródła pola magnetycznego

POLE MAGNETYCZNE I JEGO

Ź

RÓDŁA

2

Linie pola magnetycznego, kierunek pola

Pole

magnetyczne

prezentujemy

graficznie

rysuj

ą

c

linie

pola

magnetycznego

Wektor

B

jest styczny do tych linii pola w ka

ż

dym

punkcie. Kierunek linii pola mo

ż

na wyznaczy

ć

za pomoc

ą

kompasu.

Linie pola magnetycznego tworz

ą

zamkni

ę

te p

ę

tle. To,

ż

e linie pola magnetycznego

s

ą

zawsze liniami zamkni

ę

tymi stanowi fundamentaln

ą

ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy stałym

polem magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynaj

ą

si

ę

i ko

ń

cz

ą

na

ładunkach

Linie pola magnetycznego można też wyznaczyć
doświadczalnie przy użyciu np. opiłków żelaza,
które zachowują się jak dipole magnetyczne
(małe magnesy). Opiłki ustawiają się zgodnie
z kierunkiem

B

i dają obraz linii pola

magnetycznego.

Siła Lorentza, wektor indukcji magnetycznej

Sił

ę

działaj

ą

c

ą

na ładunek q poruszaj

ą

cy si

ę

w polu magnetycznym

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v

wi

ąż

emy z indukcj

ą

magnetyczn

ą

B.

to równanie definiuje indukcj

ę

pola magnetycznego

B

Jednostk

ą

indukcji

B

jest tesla; (T);

1 T = 1 N/(Am) = 1 Vs/m

2

≈ 10

8

Gwiazda neutronowa

70

Cewka impulsowa

20

Cewka nadprzewodząca

2

Elektromagnes

≈ 4·10

-5

Ziemia

10

-13

Pracujący mózg

B

maks.

[ T ]

Źródło pola B

θ

B

v

q

F

sin

=

Maksimum siły wyst

ę

puje gdy wektor pr

ę

dko

ś

ci

v

jest prostopadły

do wektora

B

.

Zwrot wektora

F

na rysunku

odpowiada dodatniemu ładunkowi q

RUCH ŁADUNKÓW W POLU MAGNETYCZNYM

B

v

F

×

=

q

3

Przykład 1:

Ruch ładunku w jednorodnym polu magnetycznym

Wektor siły

F

jest prostopadły do wektora pr

ę

dko

ś

ci

v

i wektora

B

,

siła magnetyczna jest sił

ą

do

ś

rodkow

ą

.

B

v

F

×

=

q

Siła magnetyczna zmienia tylko składow

ą

pr

ę

dko

ś

ci

prostopadł

ą

do pola

B

(

θ

= 90º) natomiast nie zmienia

składowej równoległej do pola (

θ

= 0º)

θ

B

v

q

F

sin

=

R

mv

B

qv

2

⊥

⊥

=

R

v

m

qBv

2

)

sin

(

sin

θ

θ

=

lub

qB

mv

R

θ

sin

=

lub

qB

mv

R

⊥

=

qB

m

v

R

T

π

π

2

2

=

=

⊥

θ

π

cos

2

||

v

qB

m

Tv

l

=

=

oraz

Cz

ą

stka przemieszcza si

ę

ze stał

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

wzdłu

ż

pola

B

równocze

ś

nie zataczaj

ą

c pod wpływem siły

magnetycznej okr

ę

gi w płaszczy

ź

nie prostopadłej do pola.

Cz

ą

steczka porusza si

ę

po spirali.

qB

mv

R

=

qU

mv

=

2

2

q

mU

B

R

2

1

=

U

q

B

R

m

2

2

2

=

Przykład 2:

Odchylanie wi

ą

zki elektronów w lampie kineskopu

Przykład 3:

Spektrometr masowy

4

Przykładem akceleratora cyklicznego jest

cyklotron

.

m

qB

R

v

f

π

π

2

2

=

=

qB

mv

R

=

Generator cyklicznie zmienia kierunek pola
elektrycznego przyspieszaj

ą

cego ładunki

w szczelinie pomi

ę

dzy duantami.

Cz

ą

stki (w polu B) poruszaj

ą

si

ę

po spirali. Po

osi

ą

gni

ę

ciu maksymalnego promienia cz

ą

stki s

ą

wyprowadzane poza cyklotron za pomoc

ą

elektrody

nazywanej deflektorem.

Maksymalna energia jak

ą

uzyskuj

ą

cz

ą

stki

w cyklotronie jest ograniczona relatywistycznym
wzrostem ich masy.

Przykład 3:

Akceleratory

Działanie pola magnetycznego na przewodnik z pr

ą

dem

siła magnetyczna działa na ładunki w ruchu zatem działa na cały przewodnik z pr

ą

dem

θ

B

Nev

F

u

sin

=

θ

θ

sin

sin

lB

I

B

nSe

I

e

l

nS

F

=

=

B

l

F

×

=

I

N

jest liczb

ą

elektronów zawartych w danym

przewodniku o długo

ś

ci

l

i przekroju poprzecznym

S

,

a

v

u

ich

ś

redni

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

unoszenia.

nSl

N

=

S

nev

I

u

=

n jest koncentracj

ą

elektronów

PRZEWODNIKI Z PR

Ą

DEM W POLU MAGNETYCZNYM

B

v

F

×

=

q

5

Obwód z pr

ą

dem

siły działaj

ą

ce na ramk

ę

znosz

ą

si

ę

wzajemnie

Siły

F

a

działaj

ą

ce na boki a tworz

ą

par

ę

sił daj

ą

c

ą

wypadkowy moment

siły obracaj

ą

cy ramk

ę

θ

θ

θ

sin

sin

2

sin

2

b

F

b

F

b

F

M

a

a

a

=

+

=

IaB

F

a

=

θ

θ

sin

sin

ISB

IabB

M

=

=

B

S

M

×

=

I

S

jest wektorem powierzchni

S

µ

I

=

B

S

M

×

=

I

B

M

×

=

µµµµ

Wektor

µ

jest prostopadły do płaszczyzny ramki z pr

ą

dem

Pole magnetyczne działa na ramk

ę

z pr

ą

dem momentem skr

ę

caj

ą

cym obracaj

ą

c j

ą

tak jak

igł

ę

kompasu. Ramka zachowuje si

ę

wi

ę

c tak jak igła kompasu czyli dipol magnetyczny.

θ

µ

cos

B

E

−

=

⋅

−

=

B

µµµµ

energia osi

ą

ga minimum dla

momentu dipolowego

µ

równoległego i o zwrocie
zewn

ę

trznego pola

magnetycznego

B

, a maksimum

gdy moment dipolowy jest
skierowany przeciwnie do pola

Magnetyczny moment dipolowy

Obracaj

ą

c dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje prac

ę

i wobec tego dipol

posiada energi

ę

potencjaln

ą

.

θ

µ

θ

θ

µ

θ

θ

θ

θ

cos

'

'

sin

)

'

(

0

0

0

0

0

0

B

d

B

E

Md

E

d

E

E

−

=

+

=

−

−

=

−

=

∫

∫

∫

θ

'

M

B

E

µ

−

=

0

6

Moment dipolowy elektronu

„Kołow

ą

ramk

ą

z pr

ą

dem" jest elektron kr

ążą

cy po orbicie w atomie

Moment dipolowy elektronu kr

ążą

cego po orbicie o promieniu r

)

(

2

r

I

e

π

µ

=

Nat

ęż

enie pr

ą

du I wytwarzanego przez elektron

o ładunku e przebiegaj

ą

cy orbit

ę

w czasie T

(okres obiegu)

r

π

ev

T

e

t

q

I

2

=

=

=

Własno

ś

ci magnetyczne ciał s

ą

okre

ś

lone przez zachowanie si

ę

elementarnych (elektronowych) dipoli w polu magnetycznym.

L

m

e

(mvr)

m

e

evr

)

r

(

r

π

ev

µ

e

2

2

2

2

2

=

=

=

=

π

L = mvr jest momentem p

ę

du elektronu

L

m

e

µ

e

2

=

Efekt Halla

Na ładunki (pr

ą

d) działała siła odchylaj

ą

ca powoduj

ą

ca zakrzywienie ich torów w

kierunku jednej ze

ś

cianek bocznych płytki.

Gromadzenie si

ę

ładunków na

ś

ciance

bocznej powoduje powstanie
poprzecznego pola elektrycznego Halla

E

H

.

E

B

F

F

−

=

H

u

e

e

E

B

v

−

=

×

)

(

B

v

E

×

−

=

u

H

B

v

E

u

H

=

ne

j

neS

I

v

u

=

=

d

V

E

LP

H

∆

=

H

eE

jB

n

=

gdzie:

7

POLE MAGNETYCZNE WOKÓŁ PRZEWODNIKÓW Z PR

Ą

DEM

Opiłki

ż

elaza rozsypane na

powierzchni kartki umieszczonej
prostopadle do przewodnika z
pr

ą

dem odzwierciedlaj

ą

kształt linii

pola magnetycznego

Linie pola

B

wytwarzanego przez przewodnik s

ą

zamkni

ę

tymi

współ

ś

rodkowymi okr

ę

gami w płaszczy

ź

nie prostopadłej do przewodnika.

Wektor

B

jest styczny do tych linii pola w ka

ż

dym punkcie.

Je

ś

li kciuk prawej r

ę

ki wskazuje kierunek pr

ą

du

i

, to zgi

ę

te palce wskazuj

ą

kierunek

B

(linie pola

B

kr

ążą

wokół pr

ą

du).

Prawo Ampère'a

Zwi

ą

zek pomi

ę

dzy pr

ą

dem (

ź

ródłem pola

B

) a indukcj

ą

magnetyczn

ą

jest wyra

ż

ony poprzez prawo Ampère'a:

∫

=

I

0

d

µ

l

B

Linie pole magnetycznego wokół przewodnika z pr

ą

dem stanowi

ą

zamkni

ę

te okr

ę

gi st

ą

d w prawie Ampère'a sumujemy (całkujemy) po

zamkni

ę

tym konturze (liczymy całk

ę

krzywoliniow

ą

).

Kr

ąż

enie wektora

B

po dowolnym zamkni

ę

tym

konturze jest proporcjonalne do nat

ęż

enia pr

ą

du

obj

ę

tego konturem.

8

∫

=

I

0

d

µ

l

B

Stała

µ

0

= 4

π

·10

-7

Tm/A, jest tzw.

przenikalno

ś

ci

ą

magnetyczn

ą

pró

ż

ni

∫

=

I

r

µ

µ

0

d l

B

Gdy pole magnetyczne jest wytworzone nie w pró

ż

ni ale w jakim

ś

o

ś

rodku to fakt ten uwzgl

ę

dniamy wprowadzaj

ą

c stał

ą

materiałow

ą

µ

r

zwan

ą

wzgl

ę

dn

ą

przenikalno

ś

ci

ą

magnetyczn

ą

o

ś

rodka

Przykład 1

- prostoliniowy przewodnik

I

r

B

0

2

µ

π

=

W ka

ż

dym punkcie naszego konturu pole B jest do

niego styczne (równoległe do elementu konturu dl )

r

I

B

π

µ

2

0

=

Je

ż

eli chcemy obliczy

ć

pole wewn

ą

trz przewodnika to

wybieramy kontur kołowy o promieniu r < R, gdzie R jest
promieniem przewodnika.

Wewn

ą

trz konturu przepływa pr

ą

d i b

ę

d

ą

cy cz

ęś

ci

ą

całkowitego pr

ą

du I

2

2

R

r

I

i

π

π

=

2

0

2 R

Ir

B

π

µ

=

Przykład 3

-

Cewka (solenoid)

Je

ż

eli mamy do czynienia z solenoidem to pole magnetyczne wewn

ą

trz solenoidu jest

jednorodne, a na zewn

ą

trz równe zeru.

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+

=

a

d

d

c

c

b

b

a

l

B

l

B

l

B

l

B

l

B

d

d

d

d

d

∫

=

b

a

h

B

l

B d

Inh

I

całk

=

.

Inh

Bh

0

µ

=

n – g

ę

sto

ść

zwojów (ilo

ść

zwojów na jednostk

ę

długo

ś

ci)

nI

B

0

µ

=

nI

B

r

0

µ

µ

=

lub

9

Oddziaływanie równoległych przewodników z pr

ą

dem

Przewodniki z pr

ą

dem oddziaływuj

ą

na siebie za po

ś

rednictwem pola magnetycznego.

Przewodniki, w których pr

ą

dy płyn

ą

w tych samych kierunkach przyci

ą

gaj

ą

si

ę

,

a te w których pr

ą

dy maj

ą

kierunki przeciwne odpychaj

ą

si

ę

.

Przewodnik

a

wytwarza w swoim otoczeniu

w odległo

ś

ci

d

pole magnetyczne

d

I

B

a

a

π

µ

2

0

=

W tym polu znajduje si

ę

przewodnik

b

, w którym

płynie pr

ą

d

I

b

. Na odcinek

l

tego przewodnika

działa siła

d

I

I

l

lB

I

F

b

a

a

b

b

π

µ

2

0

=

=

Jednostki:
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano do definicji ampera. Załó

ż

my,

ż

e

d

= 1m oraz,

ż

e w przewodnikach płyn

ą

jednakowe

pr

ą

dy

I

a

= I

b

= I

. Je

ż

eli dobierzemy tak pr

ą

d

aby siła przyci

ą

gania przewodników, na 1 m ich długo

ś

ci, wynosiła 2·10

-7

N to mówimy,

ż

e

nat

ęż

enie pr

ą

du w tych przewodnikach jest równe jednemu amperowi.

Prawo Biota-Savarta

Prawo Ampère'a mo

ż

na stosowa

ć

tylko gdy znana jest symetria pola.

Gdy ta symetria nie jest znana to wówczas dzielimy przewodnik z pr

ą

dem na ró

ż

niczkowo

małe elementy i stosuj

ą

c prawo Biota-Savarta obliczamy pole jakie one wytwarzaj

ą

w danym punkcie.

3

0

4

r

π

I

µ

µ

r

r

dl

dB

×

=

2

0

sin

4

r

θ

dl

π

I

µ

µ

dB

r

=

Nast

ę

pnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych pr

ą

dów

ż

eby uzyska

ć

wypadkowy wektor B.

warto

ść

liczbowa d

B

pole

dB

w punkcie P

10

Przykład – przewodnik kołowy

α

dB

dB

z

cos

=

2

0

4

cos

πr

dl

α

I

µ

dB

z

=

2

2

z

R

r

+

=

2

2

cos

z

R

R

r

R

+

=

=

α

dl

)

z

(R

π

IR

µ

dB

z

2

3

2

2

0

4

+

=

2

0

2

0

4

90

sin

4

r

dl

π

I

µ

r

dl

π

I

µ

dB

o

=

=

prawo Biota-Savarta

2

3

2

2

2

0

2

3

2

2

0

2

0

2

3

2

2

0

)

(

2

)

2

(

)

(

4

)

(

4

d

z

R

IR

R

z

R

IR

dl

z

R

IR

B

B

R

z

+

=

+

=

=

+

=

=

∫

∫

µ

π

π

µ

π

µ

π

0

=

+

=

−

+

L

L

L

λ

λ

λ

WYJA

Ś

NIENIE POCHODZENIA SIŁ MAGNETYCZNYCH

W układzie laboratoryjnym (L) przewodnik z prądem
jest obojętny:

(

)

2

/

1

c

v

u

v

u

−

=

−

−

λ

λ

W układzie własnym elektronów gęstość ładunku „-” jest
mniejsza niż w układzie L:

−

λ

+

λ

l

q

=

λ

(

)

2

/

1

c

v

u

v

L

u

−

=

−

−

λ

λ

(

)

2

/

1

c

v

l

l

u

v

L

u

−

=

Transformacja z układu własnego elektronów (poruszającego
się wraz z elektronami z prędkością

v

u

) do układu

laboratoryjnego (L):

( )

(

)

( )

(

)

( )

2

2

2

2

2

'

/

1

/

1

/

'

1

/

1

/

'

1

c

v

c

v

v

c

v

c

v

c

v

u

L

u

L

v

L

u

−

+

=

−

−

=

−

=

−

−

−

−

λ

λ

λ

λ

( )

2

'

/

1

1

c

v

L

L

−

=

+

+

λ

λ

W układzie poruszającym się z prędkością

v

wraz z ładunkiem q (L’) :

2

1

'

c

v

v

v

v

v

u

u

+

+

=

11

2

1

'

c

v

v

v

v

v

u

u

+

+

=

0

=

+

=

−

+

λ

λ

λ

( )

2

2

'

'

'

/

1

c

v

c

v

v

u

L

L

L

L

−

=

+

=

−

−

+

−

λ

λ

λ

λ

Gęstość ładunków w przewodniku widziana w
układzie własnym poruszającego się ładunku q (L’) :

( )

2

2

0

0

'

'

'

/

1

2

2

c

v

c

r

v

v

r

q

E

q

F

L

u

L

L

L

−

=

=

=

−

−

ε

π

λ

ε

π

λ

Siła Coulomba w układzie własnym poruszającego się
ładunku q (L’):

−

=

λ

u

v

I

2

0

0

/

1

c

ε

µ

=

podstawmy:

y’

x’

Transformacja siły do układu laboratorujnego (L):

( )

2

'

/

1

c

v

dt

dt

L

L

−

=

'

L
y

L
y

dp

dp

=

( )

'

2

'

/

1

L

L
y

L

L
y

dt

c

v

dp

dt

dp

−

=

( )

2

'

/

1

c

v

F

F

L

L

−

=

qvB

r

I

qv

F

L

=

=

π

µ

2

0

Siła Lorentza