ANALIZA MATEMATYCZNA i RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE 2
Zadania dodatkowe
1. Rozwiązać metodą operatorową równania
a)
1
)
0
(
'
,
0
)
0
(
,
sin
''
=
=
=
+
+
+
x
x
t
x
x
, b)
2
)
0
(
'
,
1
)
0
(
,
4
'
''
=
=
=
−
+
+
+
−
x
x
e
x
x
x
t
2. Rozwiązać metodą operatorową układ równań
a)
)
0
(
,
0
)
0
(
,
2
'
2
4
'
+
+
=
+
=
−
=
y
x
y
x
y
y
x
x
; b)
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
'
4
3
'
=
=
+
−
=
−
=
+
+
y
x
e
y
x
y
y
x
x
t
3. Wyznaczyć i narysować splot
)
(
)
(
2
1
t
f
t
f
∗
, jeżeli
a)
))
1
(
)
(
(
2
)
(
,
)
3
(
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
−
−
⋅
=
−
⋅
−
−
⋅
+
=
t
t
t
f
t
t
t
t
t
f
1
1
1
1
b)
)
1
(
)
(
)
(
,
)
1
(
2
)
(
2
2
1
−
−
=
−
⋅
=
t
t
t
f
t
e
t
f
t
1
1
1
4. Dla funkcji
))
(
)
(
(
2
1
)
(
π
−
−
=
t
t
t
f
1
1
: a) napisać całkę Fouriera; b) wyznaczyć i narysować
widmo amplitudowe; c) wyznaczyć widmo fazowe dla
1
,
0
,
2
=
=
−
=
ω
ω
ω
.
5.
Dla funkcji
≥
<
−
=
2
|
|
0
2
|
|
2
|
|
)
(
t
t
t
t
f
a) wyznaczyć transformatę Fouriera; b) wyznaczyć
widmo amplitudowe; c) wyznaczyć i narysować widmo fazowe dla
0
<
ω
.
6.
Rozwiązać równanie:
∫
=
=
−
−
t
x
d
t
x
t
x
0
4
)
0
(
,
0
)
sin(
)
(
2
)
(
'
τ
τ
τ
7.
Obliczyć Z-transformatę ciągu
,...,
2
,
1
,
0
,)
(
=
n
x
n
jeżeli
a)
)
1
(
+
=
n
n
x
n
; b)
n
n
n
x
2
2
2
1
+
+
=
.
5. Wyznaczyć splot ciągów
( ) ( )
x
y
n
n
∗
, jeżeli
a)
1
,
+
=
=
n
y
n
x
n
n
, b)
n
n
n
n
n
y
x
2
,
2
⋅
=
=