ANALIZA MATEMATYCZNA i RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE 2

Zadania dodatkowe

1. Rozwiązać metodą operatorową równania

a)

1

)

0

(

'

,

0

)

0

(

,

sin

''

=

=

=

+

+

+

x

x

t

x

x

, b)

2

)

0

(

'

,

1

)

0

(

,

4

'

''

=

=

=

−

+

+

+

−

x

x

e

x

x

x

t

2. Rozwiązać metodą operatorową układ równań

a)

)

0

(

,

0

)

0

(

,

2

'

2

4

'

+

+

=







+

=

−

=

y

x

y

x

y

y

x

x

; b)

1

)

0

(

,

0

)

0

(

,

'

4

3

'

=

=







+

−

=

−

=

+

+

y

x

e

y

x

y

y

x

x

t

3. Wyznaczyć i narysować splot

)

(

)

(

2

1

t

f

t

f

∗

, jeżeli

a)

))

1

(

)

(

(

2

)

(

,

)

3

(

)

1

(

)

1

(

)

(

2

1

−

−

⋅

=

−

⋅

−

−

⋅

+

=

t

t

t

f

t

t

t

t

t

f

1

1

1

1

b)

)

1

(

)

(

)

(

,

)

1

(

2

)

(

2

2

1

−

−

=

−

⋅

=

t

t

t

f

t

e

t

f

t

1

1

1

4. Dla funkcji

))

(

)

(

(

2

1

)

(

π

−

−

=

t

t

t

f

1

1

: a) napisać całkę Fouriera; b) wyznaczyć i narysować

widmo amplitudowe; c) wyznaczyć widmo fazowe dla

1

,

0

,

2

=

=

−

=

ω

ω

ω

.

5.

Dla funkcji







≥

<

−

=

2

|

|

0

2

|

|

2

|

|

)

(

t

t

t

t

f

a) wyznaczyć transformatę Fouriera; b) wyznaczyć

widmo amplitudowe; c) wyznaczyć i narysować widmo fazowe dla

0

<

ω

.

6.

Rozwiązać równanie:

∫

=

=

−

−

t

x

d

t

x

t

x

0

4

)

0

(

,

0

)

sin(

)

(

2

)

(

'

τ

τ

τ

7.

Obliczyć Z-transformatę ciągu

,...,

2

,

1

,

0

,)

(

=

n

x

n

jeżeli

a)

)

1

(

+

=

n

n

x

n

; b)

n

n

n

x

2

2

2

1

+

+

=

.

5. Wyznaczyć splot ciągów

( ) ( )

x

y

n

n

∗

, jeżeli

a)

1

,

+

=

=

n

y

n

x

n

n

, b)

n

n

n

n

n

y

x

2

,

2

⋅

=

=