dr Dymitr Słezion

1

Matematyka

Temat 2

FORMY ZDANIOWE, KWANTYFIKATORY

U

WAGA

2.1 (zbiór, element zbioru).

Zbiór, element zbioru oraz relacja należenia do zbioru są w matematyce pojęciami pierwotnymi, których

nie definiujemy. Zbiory oznaczamy dużymi literami, elementy zbiorów małymi.

Zapis a

∈

A oznacza, że a należy do A, czyli a jest elementem zbioru A.

Zapis a

∉

A oznacza, że a nie należy do A, czyli a nie jest elementem zbioru A.

Symbolem

∅

oznaczamy zbiór pusty, który nie posiada żadnego elementu.

♦

Zbiór możemy określić wymieniając jego elementy, przy czym każdy element wymieniamy tylko raz i nie

ma znaczenia kolejność ich wymieniania, np.: A = {2, 7, 1, 9, 3}, B = {a, d, c} = {d, a, c}.

Przypomnijmy, że:

N = {1, 2, 3, ...}

−

zbiór liczb naturalnych,

Z = {...,

−

2,

−

1, 0, 1, 2, ...}

−

zbiór liczb całkowitych,

Q

−

zbiór liczb wymiernych,

R

−

zbiór liczb niewymiernych.

D

EFINICJA

2.1 (zmienna, warunek

−−−−

forma zdaniowa, zbiór prawdziwości warunku).

1. Zmienną (zmienną nazwową) nazywamy dowolną literę, np. x, w miejsce której możemy wstawić nazwę

dowolnego elementu danego zbioru, np. zbioru D, który nazywamy dziedziną albo zakresem zmiennej x. Sto-

sujemy zapis x

∈

D.

2. Warunkiem zmiennej x

∈

D, nazywamy wypowiedź p(x), która staje się zdaniem, prawdziwym albo fał-

szywym, jeżeli w miejsce zmiennej wstawimy nazwę dowolnego elementu z dziedziny D.

3. Zbiorem prawdziwości warunku p(x), x

∈

D, nazywamy zbiór tych elementów dziedziny, których nazwy

wstawione w miejsce zmiennej zamieniają warunek w zdanie prawdziwe, czyli spełniają warunek. Zbiór ten

zapisujemy i czytamy następująco:

{x

∈

D : p(x)}, czyli „Zbiór x

∈

D takich, że p(x)”.

♦

U

MOWA

2.1 (maksymalna

−−−−

domyślna dziedzina zmiennej).

Jeżeli nie jest podana dziedzina zmiennej, to przyjmujemy, że maksymalną

−

domyślną dziedziną jest zbiór

wszystkich elementów, których nazwy wstawiane w miejsce zmiennej zamieniają warunek w zdanie.

♦

Warunkami jednej zmiennej są np. równania i nierówności jednej zmiennej. Zbiorami prawdziwości takich

warunków są zbiory ich rozwiązań.

D

EFINICJA

2.2 (warunek

−−−−

forma zdaniowa wielu zmiennych).

Warunkiem (formą zdaniową) wielu zmiennych, np.

,

1

1

D

x

∈

...,

,

n

n

D

x

∈

nazywamy wypowiedź

)

,

,

(

1

n

x

x

p

K

zawierającą te zmienne, która staje się zdaniem jeżeli w miejsce każdej zmiennej wstawimy nazwę

dowolnego elementu z jej dziedziny.

♦

Zapisy 2x

−

y = 5, gdzie x

∈

Z, y

∈

N oraz 2x + u = 3w, gdzie x, u, w

∈

R, są przykładami warunków

dwóch oraz trzech zmiennych.

P

RZYKŁAD

2.1

(kwantyfikatory).

Zapiszemy zdania zastępując zwrot „dla każdego” symbolem

∀

∀

∀

∀

, a zwrot „istnieje” symbolem

∃∃∃∃

.

dr Dymitr Słezion

2

Matematyka

1.

Dla każdego x, x

>

−

2.

∀

x; x

>

−

2.

zdanie fałszywe

2.

Dla każdego x

∈

N, x

>

−

2.

∀

x

∈

N; x

>

−

2.

zdanie prawdziwe

3.

Istnieje x takie, że x

>

−

2.

∃

x; x

>

−

2.

zdanie prawdziwe

Jeżeli w zapisie nie podano dziedziny zmiennej, to dziedziną domyślną jest zbiór liczb rzeczywistych R.

♦

D

EFINICJA

2.3 (kwantyfikatory).

1. Zwrot „dla każdego x

∈

D ” albo „dla dowolnego x

∈

D ”, który zapisujemy symbolicznie

∀

x

∈

D, na-

zywamy kwantyfikatorem ogólnym.

2. Zwrot „istnieje x

∈

D ”, który zapisujemy symbolicznie

∃

x

∈

D, nazywamy kwantyfikatorem szczegó-

łowym.

3. Zwrot „istnieje dokładnie jeden x

∈

D ” zapisujemy w postaci

∃

1

x

∈

D.

4. Dziedzinę D zmiennej x nazywamy zakresem kwantyfikatora.

♦

Jeżeli dziedzina rozważanej zmiennej nie jest określona, to jest domyślna.

U

WAGA

2.2 (zdania zapisane z użyciem kwantyfikatorów).

Jeżeli p(x), x

∈

D jest warunkiem, to każdy z zapisów:

∀

x

∈

D; p(x),

który czytamy

„ Dla każdego x

∈

D, p(x) ”;

∃

x

∈

D; p(x),

który czytamy

„ Istnieje x

∈

D takie, że p(x) ”;

jest zdaniem (patrz Prz. 2.1). Kwantyfikator obejmuje swoim zasięgiem zapisany bezpośrednio po nim warunek.

Jeżeli warunek jest, to należy użyć nawiasów do określenia zasięgu kwantyfikatora.

♦

T

WIERDZENIE

2.1 (prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów).

Dla warunku (formy zdaniowej) p(x), x

∈

D, mamy dwa prawa de Morgana:

1. ~ [

∀

x

∈

D; p(x)]

⇔

[

∃

x

∈

D; ~ p(x)].

2. ~ [

∃

x

∈

D; p(x)]

⇔

[

∀

x

∈

D; ~ p(x)].

♦

Zaprzeczanie zdania z kwantyfikatorem polega więc na zmianie kwantyfikatora i zaprzeczeniu warunku, któ-

ry znajduje się w zasięgu kwantyfikatora.

P

RZYKŁAD

2.2

(zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorami).

Stosując prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów mamy:

1. [~(

∀

x

∈

R; x

2

−

4 = 0)]

⇔

[

∃

x

∈

R; ~ (x

2

−

4 = 0)]

⇔

(

∃

x

∈

R; x

2

−

4

≠

0).

2. [~(

∃

y

∈

R; y

2

+ 2

<

0)]

⇔

[

∀

y

∈

R; ~( y

2

+ 2

<

0)]

⇔

(

∀

y

∈

R; y

2

+ 2

≥

0).

♦

Z warunku wielu zmiennych utworzymy zdanie, poprzedzając go kwantyfikatorami wiążącymi wszystkie

zmienne.

P

RZYKŁAD

2.3

(zdania zbudowane za pomocą dwóch kwantyfikatorów).

1.

∀

x

∀

y; x + 2y = 0;

zdanie fałszywe.

2.

∀

y

∀

x; x + 2y = 0;

zdanie fałszywe.

3.

∀

x

∃

y; x + 2y = 0;

zdanie prawdziwe.

4.

∃

y

∀

x; x + 2y = 0;

zdanie fałszywe.

♦

U

WAGA

2.3 (zmiana kolejności i zakresu kwantyfikatorów).

1. Zmiana kolejności kwantyfikatorów tego samego rodzaju nie zmienia wartości logicznej zdania.

2. Zmiana kolejności różnych kwantyfikatorów może zmienić wartość logiczną zdania.

dr Dymitr Słezion

3

Matematyka

3. Zmiana zakresu kwantyfikatora może zmienić wartość logiczną zdania.

♦

Często w zdaniach pomija się kwantyfikator ogólny, jest on użyty domyślnie.

U

WAGA

2.4 (warunek dostateczny, warunek konieczny).

1. Jeżeli twierdzenie ma postać implikacji:

∀

x

∈

D; [p(x) ⇒ q(x)],

to warunek p(x) nazywamy warunkiem dostatecznym dla warunku q(x), natomiast warunek q(x) nazywamy

warunkiem koniecznym dla warunku p(x) .

2. Jeżeli twierdzenie ma postać równoważności:

∀

x

∈

D; [p(x)

⇔

q(x)],

to warunek p(x) nazywamy warunkiem koniecznym i dostatecznym dla warunku q(x) i odwrotnie, warunek

q(x) nazywamy warunkiem koniecznym i dostatecznym dla warunku p(x). Mówimy, że warunki te są równo-

ważne.

♦

Z

ADANIA

2

2.1.

Stwierdzić, która z wypowiedzi jest warunkiem (formą zdaniową). Wyznaczyć zbiór prawdziwości dla

każdego warunku, jeżeli dziedzina zmiennej nie jest podana określić dziedzinę domyślną.

a)

0

81

4

=

−

x

, x

∈

N.

b)

0

81

4

=

−

x

.

c)

2

4

=

u

, u

∈

Z.

2.2. Określić podane zbiory jako zbiory prawdziwości odpowiednich warunków:

a) Zbiór liczb naturalnych, parzystych.

b) Zbiór liczb naturalnych, nieparzystych.

c) Zbiór liczb naturalnych, podzielnych przez 5.

2.3. Określić wartość logiczną zdania, jeżeli zakres kwantyfikatora ( dziedzina zmiennej) nie jest podany okre-

ś

lić najpierw zakres domyślny. Tam gdzie jest to możliwe uzasadnić odpowiedź podając odpowiedni przykład

lub kontrprzykład. Korzystając z praw de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów oraz praw rachunku zdań

zapisać zaprzeczenie zdania.

a)

∀

k

∈

N ; 0

<

k.

b)

∀

k

∈

Z ; 0

<

k.

c)

∃

k

∈

N ; 0

<

k.

d)

∀

x;

x

2

9

0

− =

.

e)

∃

x;

x

2

9

0

− =

.

f)

∀

u

∈

Z ; (u

<

7

∨

u

>

0).

g)

∃

u

∈

Z ; (u

<

7

∧

u

>

0).

h)

∀

y

∈

Z ; (y

<

0 ⇒ y

<

4).

W przypadku zdania

−

twierdzenia h) zwrócić uwagę na fakt, że każda liczba, która nie spełnia warunku ko-

niecznego nie spełnia również warunku dostatecznego. Podać przykłady liczb, które spełniają warunek koniecz-

ny, ale nie spełniają warunku dostatecznego.

2.4. Określić wartość logiczną zdania i zapisać jego zaprzeczenie, określić najpierw domyślne zakresy kwantyfi-

katorów. Tam gdzie jest to możliwe skrócić zapis, w przypadku zapisu skróconego podać pełny zapis z dwoma

kwantyfikatorami.

a)

∀

x

∈

Z

∃

y

∈

Z ;

0

3

=

−

y

x

.

b)

∃

y

∈

Z

∀

x

∈

Z ;

0

3

=

−

y

x

.

c)

∃

x, y

∈

Z ;

0

3

=

−

y

x

.

d)

∀

<

−

+

;

.

x, y

y

x

x

2

3

2

dr Dymitr Słezion

4

Matematyka

Odpowiedzi, wskazówki.

2.1. a) {3}. b) {

−

3, 3}, x

∈

R. c) Nie jest warunkiem. 2.2. a) {x = 2n : n

∈

N}. b) {x = 2n

−

1 : n

∈

N}. c)

{x = 5n : n

∈

N}. 2.3. a) 1, ~(

∀

k

∈

N ; 0

<

k)

⇔

∃

k

∈

N ; 0

≥

k.

b) 0. c) 1, ~(

∃

k

∈

N ; 0

<

k)

⇔

∀

k

∈

N ; 0

≥

k.

d) x

∈

R, 0, ~(

∀

x ;

0

9

2

=

−

x

)

⇔ (∃

x ;

0

9

2

≠

−

x

).

e) x

∈

R, 1. f) 1, ~[

∀

u

∈

Z ; (u

<

7

∨

u

>

0)]

⇔

∃

u

∈

Z

; (u

≥

7

∧

u

≤

0).

g) 1, ~[

∃

u

∈

Z ; (u

<

7

∧

u

>

0)]

⇔

(∀

u

∈

Z; (u

≥

7

∨

u

≤

0).

h) 1, ~

∀

y

∈

Z

; (y

<

0 ⇒ y

<

4)

⇔

∃

y

∈

Z ; (y

<

0

∧

y

≥

4), „ y

<

0 ”

−

warunek dostateczny, „ y

<

4 ”

−

warunek konieczny,

np. y = 2 spełnia warunek konieczny i nie spełnia warunku dostatecznego.

2.4. a) 1, ~(

∀

x

∈

Z

∃

y

∈

Z ;

3

0

x

y

− =

)

⇔

∃

x

∈

Z

∀

y

∈

Z ;

0

3

≠

−

y

x

).

b) 0. c) 1. d) 0,

~

⇔

+

−

<

∈

∀

∈

∀

)

2

3

(

2

x

x

y

;

y

x

R

R

2

3

2

+

−

≥

∈

∃

∈

∃

x

x

y

;

y

x

R

R

.

W

YMAGANE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI

1. Definicje zmiennej, warunku, kwantyfikatorów.

2. Zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorami

−

prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów.

3. Warunek dostateczny, warunek konieczny.