Temat 2

FORMY ZDANIOWE, KWANTYFIKATORY

UWAGA 2.1 (zbiór, element zbioru).

Zbiór, element zbioru oraz relacja należ enia do zbioru są w matematyce poję ciami pierwotnymi, których nie definiujemy. Zbiory oznaczamy dużymi literami, elementy zbiorów małymi.

Zapis a ∈ A oznacza, że a należy do A, czyli a jest elementem zbioru A.

Zapis a ∉ A oznacza, że a nie należy do A, czyli a nie jest elementem zbioru A.

Symbolem ∅ oznaczamy zbiór pusty, który nie posiada żadnego elementu. ♦

Zbiór możemy określić wymieniając jego elementy, przy czym każdy element wymieniamy tylko raz i nie ma znaczenia kolejność ich wymieniania, np.: A = {2, 7, 1, 9, 3}, B = { a, d, c} = { d, a, c}.

Przypomnijmy, że:

N = {1, 2, 3, ...} − zbiór liczb naturalnych,

Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} − zbiór liczb całkowitych,

Q − zbiór liczb wymiernych,

R − zbiór liczb niewymiernych.

DEFINICJA 2.1 (zmienna, warunek − forma zdaniowa, zbiór prawdziwości warunku).

1. Zmienną ( zmienną nazwową) nazywamy dowolną literę, np. x, w miejsce której możemy wstawić nazwę dowolnego elementu danego zbioru, np. zbioru D, który nazywamy dziedziną albo zakresem zmiennej x. Sto-sujemy zapis x ∈ D.

2. Warunkiem zmiennej x ∈

D, nazywamy wypowiedź p( x), która staje się zdaniem, prawdziwym albo fał-

szywym, jeżeli w miejsce zmiennej wstawimy nazwę dowolnego elementu z dziedziny D.

3. Zbiorem prawdziwoś ci warunku p( x), x ∈

D, nazywamy zbiór tych elementów dziedziny, których nazwy

wstawione w miejsce zmiennej zamieniają warunek w zdanie prawdziwe, czyli spełniają warunek. Zbiór ten zapisujemy i czytamy następująco:

{ x ∈

∈

D : p( x)}, czyli „Zbiór x D takich, że p( x)”. ♦

UMOWA 2.1 (maksymalna − domyślna dziedzina zmiennej).

Jeżeli nie jest podana dziedzina zmiennej, to przyjmujemy, że maksymalną − domyś lną dziedziną jest zbiór wszystkich elementów, których nazwy wstawiane w miejsce zmiennej zamieniają warunek w zdanie. ♦

Warunkami jednej zmiennej są np. równania i nierówności jednej zmiennej. Zbiorami prawdziwości takich warunków są zbiory ich rozwiązań.

DEFINICJA 2.2 (warunek − forma zdaniowa wielu zmiennych).

Warunkiem ( formą zdaniową) wielu zmiennych, np. x ∈ D , 1

1 ..., x

∈ D ,

n

n nazywamy wypowiedź

(

p x ,K, x )

1

n zawierającą te zmienne, która staje się zdaniem jeżeli w miejsce każdej zmiennej wstawimy nazwę dowolnego elementu z jej dziedziny. ♦

Zapisy 2 x − y = 5, gdzie x ∈ Z, y ∈ N oraz 2 x + u = 3 w, gdzie x, u, w ∈ R, są przykładami warunków dwóch oraz trzech zmiennych.

PRZYKŁAD 2.1 (kwantyfikatory).

Zapiszemy zdania zastępując zwrot „ dla każ dego” symbolem ∀, a zwrot „ istnieje” symbolem ∃.

dr Dymitr Słezion

1

Matematyka

1. Dla każdego x, x > −2.

∀ x; x > −2.

zdanie fałszywe

2. Dla każdego x ∈ N, x > −2.

∀ x ∈ N; x > −2.

zdanie prawdziwe

3. Istnieje x takie, że x > −2.

∃ x; x > −2.

zdanie prawdziwe

Jeżeli w zapisie nie podano dziedziny zmiennej, to dziedziną domyślną jest zbiór liczb rzeczywistych R. ♦

DEFINICJA 2.3 (kwantyfikatory).

1. Zwrot „ dla każ dego x ∈ D ” albo „ dla dowolnego x ∈ D ”, który zapisujemy symbolicznie ∀ x ∈ D, nazywamy kwantyfikatorem ogólnym.

2. Zwrot „ istnieje x ∈ D ”, który zapisujemy symbolicznie ∃ x ∈ D, nazywamy kwantyfikatorem szczegó-

łowym.

3. Zwrot „ istnieje dokładnie jeden x ∈ D ” zapisujemy w postaci ∃1 x ∈ D.

4. Dziedzinę D zmiennej x nazywamy zakresem kwantyfikatora. ♦

Jeżeli dziedzina rozważanej zmiennej nie jest określona, to jest domyślna.

UWAGA 2.2 (zdania zapisane z użyciem kwantyfikatorów).

Jeżeli p( x), x ∈

D jest warunkiem, to każdy z zapisów:

∀ x ∈ D; p( x),

który czytamy

„ Dla każdego x ∈ D, p( x) ”;

∃ x ∈ D; p( x),

który czytamy

„ Istnieje x ∈ D takie, że p( x) ”;

jest zdaniem (patrz Prz. 2.1). Kwantyfikator obejmuje swoim zasię giem zapisany bezpośrednio po nim warunek.

Jeżeli warunek jest, to należy użyć nawiasów do określenia zasię gu kwantyfikatora. ♦

TWIERDZENIE 2.1 (prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów).

Dla warunku (formy zdaniowej) p( x), x ∈

D, mamy dwa prawa de Morgana:

1. ~ [∀ x ∈ D; p( x)] ⇔ [∃ x ∈ D; ~ p( x)].

2. ~ [∃ x ∈ D; p( x)] ⇔ [∀ x ∈ D; ~ p( x)]. ♦

Zaprzeczanie zdania z kwantyfikatorem polega więc na zmianie kwantyfikatora i zaprzeczeniu warunku, któ-

ry znajduje się w zasięgu kwantyfikatora.

PRZYKŁAD 2.2 (zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorami).

Stosując prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów mamy:

1. [~(∀ x ∈ R; x 2 − 4 = 0)] ⇔ [∃ x ∈ R; ~ ( x 2 − 4 = 0)] ⇔ (∃ x ∈ R; x 2 − 4 ≠ 0).

2. [~(∃ y ∈ R; y 2 + 2 < 0)] ⇔ [∀ y ∈ R; ~( y 2 + 2 < 0)] ⇔ (∀ y ∈ R; y 2 + 2 ≥ 0). ♦

Z warunku wielu zmiennych utworzymy zdanie, poprzedzając go kwantyfikatorami wiążącymi wszystkie zmienne.

PRZYKŁAD 2.3 (zdania zbudowane za pomocą dwóch kwantyfikatorów).

1. ∀ x ∀ y; x + 2 y = 0;

zdanie fałszywe.

2. ∀ y ∀ x; x + 2 y = 0;

zdanie fałszywe.

3. ∀ x ∃ y; x + 2 y = 0;

zdanie prawdziwe.

4. ∃ y ∀ x; x + 2 y = 0;

zdanie fałszywe. ♦

UWAGA 2.3 (zmiana kolejności i zakresu kwantyfikatorów).

1. Zmiana kolejności kwantyfikatorów tego samego rodzaju nie zmienia wartości logicznej zdania.

2. Zmiana kolejności różnych kwantyfikatorów może zmienić wartość logiczną zdania.

dr Dymitr Słezion

2

Matematyka

3. Zmiana zakresu kwantyfikatora może zmienić wartość logiczną zdania. ♦

Często w zdaniach pomija się kwantyfikator ogólny, jest on użyty domyślnie.

UWAGA 2.4 (warunek dostateczny, warunek konieczny).

1. Jeżeli twierdzenie ma postać implikacji:

∀ x ∈ D; [ p( x) ⇒ q( x)],

to warunek p( x) nazywamy warunkiem dostatecznym dla warunku q( x), natomiast warunek q( x) nazywamy

warunkiem koniecznym dla warunku p( x) .

2. Jeżeli twierdzenie ma postać równoważności:

∀ x ∈ D; [ p( x) ⇔ q( x)],

to warunek p( x) nazywamy warunkiem koniecznym i dostatecznym dla warunku q( x) i odwrotnie, warunek q( x) nazywamy warunkiem koniecznym i dostatecznym dla warunku p( x). Mówimy, że warunki te są równoważne. ♦

ZADANIA 2

2.1.

Stwierdzić, która z wypowiedzi jest warunkiem (formą zdaniową). Wyznaczyć zbiór prawdziwości dla każdego warunku, jeżeli dziedzina zmiennej nie jest podana określić dziedzinę domyślną.

a)

4

x − 81 = 0 , x ∈ N.

b)

4

x − 81 = 0 .

c)

4 u = 2 , u ∈ Z.

2.2. Określić podane zbiory jako zbiory prawdziwości odpowiednich warunków:

a) Zbiór liczb naturalnych, parzystych.

b) Zbiór liczb naturalnych, nieparzystych.

c) Zbiór liczb naturalnych, podzielnych przez 5.

2.3. Określić wartość logiczną zdania, jeżeli zakres kwantyfikatora ( dziedzina zmiennej) nie jest podany okre-

ślić najpierw zakres domyślny. Tam gdzie jest to możliwe uzasadnić odpowiedź podając odpowiedni przykład lub kontrprzykład. Korzystając z praw de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów oraz praw rachunku zdań zapisać zaprzeczenie zdania.

a) ∀ k ∈ N ; 0 < k.

b) ∀ k ∈ Z ; 0 < k.

c) ∃ k ∈ N ; 0 < k.

d) ∀ x; x 2 − 9 = 0 .

e) ∃ x; x 2 − 9 = 0 .

f) ∀ u ∈ Z ; ( u < 7 ∨ u > 0).

g) ∃ u ∈ Z ; ( u < 7 ∧ u > 0).

h) ∀ y ∈ Z ; ( y < 0 ⇒ y < 4).

W przypadku zdania − twierdzenia h) zwrócić uwagę na fakt, że każda liczba, która nie spełnia warunku ko-niecznego nie spełnia również warunku dostatecznego. Podać przykłady liczb, które spełniają warunek konieczny, ale nie spełniają warunku dostatecznego.

2.4. Określić wartość logiczną zdania i zapisać jego zaprzeczenie, określić najpierw domyślne zakresy kwantyfikatorów. Tam gdzie jest to możliwe skrócić zapis, w przypadku zapisu skróconego podać pełny zapis z dwoma kwantyfikatorami.

a)

∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z ; 3 x − y = 0 .

b)

∃ y ∈ Z ∀ x ∈ Z ; 3 x − y = 0 .

c)

∃ x, y ∈ Z ;

2

3 x − y = 0 .

d)

∀ x,

y ; y < x − 3 x + 2 .

dr Dymitr Słezion

3

Matematyka

Odpowiedzi, wskazówki.

2.1. a) {3}. b) {−3, 3}, x ∈ R. c) Nie jest warunkiem. 2.2. a) { x = 2 n : n ∈ N}. b) { x = 2 n −1 : n ∈ N}. c)

{ x = 5 n : n ∈ N}. 2.3. a) 1, ~(∀ k ∈ N ; 0 < k) ⇔ ∃ k ∈ N ; 0 ≥ k. b) 0. c) 1, ~(∃ k ∈ N ; 0 < k) ⇔ ∀ k ∈ N ; 0 ≥ k.

d) x ∈ R, 0, ~(∀ x ; 2

x − 9 = 0 ) ⇔ (∃ x ; 2

x − 9 ≠ 0 ). e) x ∈ R, 1. f) 1, ~[∀ u ∈ Z ; ( u < 7 ∨ u > 0)] ⇔ ∃ u ∈ Z

; ( u ≥ 7 ∧ u ≤ 0). g) 1, ~[∃ u ∈ Z ; ( u < 7 ∧ u > 0)] ⇔ (∀ u ∈ Z; ( u ≥ 7 ∨ u ≤ 0). h) 1, ~∀ y ∈ Z

; ( y < 0 ⇒ y < 4) ⇔ ∃ y ∈ Z ; ( y < 0 ∧ y ≥ 4), „ y < 0 ”− warunek dostateczny, „ y < 4 ” − warunek konieczny, np. y = 2 spełnia warunek konieczny i nie spełnia warunku dostatecznego.

2.4. a) 1, ~(∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z ; 3 x − y = 0 ) ⇔ ∃ x ∈ Z ∀ y ∈ Z ; 3 x − y ≠ 0 ). b) 0. c) 1. d) 0,

~ ∀

( x ∈

∀

R y ∈

;

R y < 2

x − 3 x + 2) ⇔

2

∃ x ∈ ∃

R y ∈

;

R y ≥ x − 3 x + 2 .

WYMAGANE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI

1. Definicje zmiennej, warunku, kwantyfikatorów.

2. Zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorami − prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów.

3. Warunek dostateczny, warunek konieczny.

dr Dymitr Słezion

4

Matematyka