Definicje z analizy

1. Kres zbioru

Kresem górnym zbioru A jest jego najmniejsze ograniczenie górne. (oznaczamy jako sup A).

Kresem dolnym zbioru A jest jego największe ograniczenie dolne. (oznaczamy jako inf A).

2. Granica ciągu

Granicą ciągu nazywamy taką liczbę g dla której spełnione jest:

  > 0  N  N  n > N n  N d(x

n

, g) < 

Ciąg mający granicę jest zbieżny.

3. Granica funkcji

Niech x będzie punktem skupienia zbioru X. Mówimy, że y jest granicą funkcji

Y

X

f

→

:

w

punkcie x gdy:

ε

δ

δ

ε

<

⇒

<

≠

∈

∀

>

∃

>

∀

)

),

(

(

)

,

(

,

0

0

y

z

f

d

x

z

d

x

z

X

z

4. Definicja funkcji

Funkcją

Y

X

f

→

:

nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X

dokładnie jednego el. ze zbioru Y.

5. Funkcja ciągła

Funkcja

Y

X

f

→

:

jest ciągła w punkcie

X

x

∈

wtedy i tylko wtedy gdy:

ε

δ

δ

ε

<

⇒

<

∈

∀

>

∃

>

∀

))

(

),

(

(

)

,

(

0

0

x

f

z

f

d

x

z

d

X

z

Funkcja jest ciągła na przedziale <a,b>, wtedy gdy jest ciągła w każdym jej punkcie.

6. Suma szeregu

Sumą szeregu nazywa się liczbę

o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy.
Najłatwiej przedstawić sumę szeregu jako granicę sum częściowych które wyrażają się
wzorem:

Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma − rozbieżnym.

Przykłady są w 5 wykładzie na stronie prof. Domańskiego

7. Pochodna funkcji

Pochodną w punkcie x

0

nazywamy granicę ilorazów różnicowych:

8. Całka nieoznaczona

Otóż mamy pierwotną funkcji f:

gdzie,

Wyrażenie F(x) + C nazywa się całką nieoznaczoną funkcji podcałkowej f; zmienną x nazywa
się w tym kontekście zmienną całkowania.

9. Całka Riemanna

Całka dolna Riemanna

∫

b

a

dx

x

f

)

(

z funkcji f na przedziale [a,b] jest określona jako:

Sup {L(f,P): P jest dowolnym(każdym) podziałem [a,b]}

a całka górna:

Inf {U(f,P): P jest dowolnym(każdym) podziałem [a,b]}

Całkę Reimanna otrzymujemy wtedy kiedy całka dolna Riemanna jest równa całce górnej.

10. Ekstremum lokalne

Ekstremum lokalne to minimalna lub maksymalna wartość funkcji f w danym przedziale,
zakładając że, funkcja f jest określona na tym przedziale.