analiza1-cz.1, Definicja zdania


Definicja zdania

Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź zbudowaną zgodnie z zasadami ustalonego języka, której można przypisać jednoznacznie jedną z dwu ocen: prawdę lub fałsz -nazywane wartościami logicznymi danego zdania i oznaczane odpowiednio symbolami 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Definicja formy zdaniowej

Formą zdaniową nazywamy wypowiedź, która może zawierać zmienne, zbudowaną według takich samych reguł gramatycznych jak zdanie. Fakt, że 0x01 graphic
jest zmienną formy zdaniowej0x01 graphic
oznaczamy pisząc 0x01 graphic
.

Uwaga 1. Każde zdanie jest formą zdaniową.

Uwaga 2. Istnieją formy zdaniowe nie będące zdaniami.

Zasada tworzenia zdań z form zdaniowych

Z formy zdaniowej można otrzymać zdanie na dwa sposoby:

  1. Przez podstawienie w miejsce zmiennych, obiektów w stosunku do których będziemy mogli stosować oceny logiczne prawdziwości i fałszu.

  2. Przez stosowanie kwantyfikatorów w odniesieniu do występujących w formie zdaniowej zmiennych. Stosowanie kwantyfikatora dużego do formy 0x01 graphic
    oznacza utworzenie zdania 0x01 graphic
    , które czytamy: „ dla każdego elementu 0x01 graphic
    ze zbioru 0x01 graphic
    jest 0x01 graphic
    ”. Stosowanie kwantyfikatora małego do formy 0x01 graphic
    oznacza utworzenie zdania 0x01 graphic
    , które czytamy: „ istnieje element 0x01 graphic
    ze zbioru 0x01 graphic
    taki, że 0x01 graphic
    ”.

Definicja

Jeśli zakresem zmienności zmiennej 0x01 graphic
w formie 0x01 graphic
jest zbiór 0x01 graphic
, to zbiór tych wszystkich elementów zbioru 0x01 graphic
, które podstawione w miejsce zmiennej 0x01 graphic
w formie 0x01 graphic
dają zdanie prawdziwe oznaczamy jako 0x01 graphic
.

Przykład. Przedział domknięty 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są liczbami rzeczywistymi takimi, że 0x01 graphic
można zapisać jako 0x01 graphic
.

Zasada weryfikacji prawdziwości zdań złożonych

Oceny prawdziwości zdań złożonych dokonujemy na podstawie informacji o prawdziwości ich składników zgodnie z następującymi ustaleniami:

  1. 0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1. 0x01 graphic
      jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic

    0x01 graphic
    jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic


    Definicja tautologii

    Prawem logicznym albo tautologią nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.

    Wykaz ważniejszych tautologii

    1. 0x01 graphic

    2. 0x01 graphic

    3. 0x01 graphic

    4. 0x01 graphic

    5. 0x01 graphic

    6. 0x01 graphic

    7. 0x01 graphic

    8. 0x01 graphic

    9. 0x01 graphic

    10. 0x01 graphic

    11. 0x01 graphic

    12. 0x01 graphic

    13. 0x01 graphic

    14. 0x01 graphic

    1. 0x01 graphic

    2. 0x01 graphic

    3. 0x01 graphic

    4. 0x01 graphic

    5. 0x01 graphic

    6. 0x01 graphic

    7. 0x01 graphic

    8. 0x01 graphic

    Zasada prowadzenia dowodu

    Każdy element rozumowania zwanego dowodem w dowolnej teorii matematycznej daje się uzasadnić tautologią albo aksjomatem tej teorii.

    Definicja iloczynu kartezjańskiego zbiorów

    Iloczynem kartezjańskim zbiorów 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych 0x01 graphic
    takich, że 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    . Iloczyn kartezjański zbiorów 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    oznaczamy jako 0x01 graphic
    .

    Definicja funkcji

    Każdy podzbiór 0x01 graphic
    iloczynu kartezjańskiego 0x01 graphic
    zbiorów 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    nazywamy funkcją odwzorowującą zbiór 0x01 graphic
    w zbiór 0x01 graphic
    o ile spełnia on następujące dwa warunki:

    1. 0x01 graphic

    2. 0x01 graphic
      .

    Fakt, że 0x01 graphic
    jest funkcją odwzorowującą zbiór 0x01 graphic
    w zbiór 0x01 graphic
    oznaczamy pisząc 0x01 graphic
    . Zbiór funkcji odwzorowujących 0x01 graphic
    w 0x01 graphic
    oznaczamy jako 0x01 graphic
    .

    Definicja funkcji różnowartościowej

    Jeśli 0x01 graphic
    to mówimy, że 0x01 graphic
    jest różnowartościowa jeśli spełnia następujący warunek:

    0x01 graphic


    Definicja funkcji odwzorowującej zbiór X na zbiór Y

    Jeśli 0x01 graphic
    to mówimy, że 0x01 graphic
    odwzorowuje zbiór 0x01 graphic
    na zbiór 0x01 graphic
    jeśli spełnia następujący warunek:

    0x01 graphic
    .

    Definicja funkcji wzajemnie jednoznacznej

    Jeśli 0x01 graphic
    to mówimy, że 0x01 graphic
    jest funkcją wzajemnie jednoznaczną jeśli jest funkcją różnowartościową odwzorowującą zbiór 0x01 graphic
    na zbiór 0x01 graphic
    .

    Definicja funkcji odwrotnej

    Niech 0x01 graphic
    będzie funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas zbiór 0x01 graphic
    jest funkcją wzajemnie jednoznaczną odwzorowującą zbiór 0x01 graphic
    na zbiór 0x01 graphic
    . Nazywamy go funkcją odwrotną do funkcji 0x01 graphic
    i oznaczamy jako 0x01 graphic
    .

    Definicja złożenia funkcji

    Niech 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    przy czym 0x01 graphic
    . Zbiór 0x01 graphic
    jest funkcją odwzorowująca zbiór 0x01 graphic
    w zbiór 0x01 graphic
    . Nazywamy go złożeniem funkcji 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    i oznaczamy jako 0x01 graphic
    .

    Definicja obrazu zbioru przez funkcję

    Niech 0x01 graphic
    . Dla dowolnego zbioru 0x01 graphic
    zbiór 0x01 graphic
    nazywamy obrazem zbioru 0x01 graphic
    przez funkcję 0x01 graphic
    i oznaczamy jako 0x01 graphic
    .

    Definicja przeciwobrazu zbioru przez funkcję

    Niech 0x01 graphic
    . Dla dowolnego zbioru0x01 graphic
    zbiór 0x01 graphic
    nazywamy przeciwobrazem zbioru 0x01 graphic
    przez funkcję 0x01 graphic
    i oznaczamy jako 0x01 graphic
    .

    Definicja dziedziny i zbioru wartości funkcji

    Niech f : XY. Wówczas zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i oznaczamy jako Df natomiast f[X] nazywamy zbiorem wartości funkcji i oznaczamy jako Wf.

    Przykłady rodzin funkcji

    Niech f : XY.


    Ciągłość. Niech x0 R.

    Definicja otoczenia, sąsiedztwa i punktu skupienia

    Niech a, b R i a < x0 < b. Otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, prawostronnym) punktu x0 nazywamy przedział (a, b) ((a, x0], [x0 , b)). Rodzinę zbiorów będących otoczeniami (otoczeniami lewostronnymi, prawostronnymi) punktu x0 oznaczać będziemy symbolem O(x0) (O -(x0), O+(x0)). Każdy zbiór postaci U \ {x0}, gdzie U O(x0) (U O -(x0), U O+(x0)) nazywać będziemy sąsiedztwem (sąsiedztwem lewostronnym, prawostronnym) punktu x0. Rodzinę zbiorów będących sąsiedztwami (sąsiedztwami lewostronnymi, prawostronnymi) oznaczać będziemy symbolem S(x0) (S -(x0), S+(x0)).

    Niech XR. Mówimy, że x0 jest punktem skupienia (lewostronnym, prawostronnym punktem skupienia) zbioru X, jeśli

    0x01 graphic
    (0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    ).

    Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X oznaczamy jako Xd (Xd-, Xd+).

    Niech f będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

    Definicja granicy funkcji

    Niech x0 ∈ (Df)d (x0 ∈ (Df)d-, x0 ∈ (Df)d+ ). Mówimy, że gR jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie x0, gdy

    0x01 graphic
    (0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    ).

    Fakt, że g jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) zapisujemy symbolicznie

    0x01 graphic
    (0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    ).

    Definicja ciągłości funkcji

    Niech x0 Df.

    f jest ciągła w x0x0 ∉ (Df)d0x01 graphic

    f jest lewostronnie ciągła w x0x0 ∉ (Df)d-0x01 graphic

    f jest prawostronnie ciągła w x0x0 ∉ (Df)d+0x01 graphic

    Niech XR. Mówimy, że f jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczać będziemy przez Cf.

    Uwaga. Funkcja jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła lewostronnie i prawostronnie w tym punkcie.

    Rodzaje nieciągłości - definicja

    Niech x0 Df. Mówimy, że x0 jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji f, jeśli istnieją i są skończone granice 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    przy czym 0x01 graphic
    lub 0x01 graphic
    Mówimy, że x0 jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, jeśli x0Cf i x0 nie jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju.

    Twierdzenia o funkcjach ciągłych

    Twierdzenie Weierstrassa-Darboux. Niech a, bR, a < b, [a, b] ⊂ Cf. Wówczas funkcja f jest ograniczona na [a, b]. Ponadto

    1. 0x01 graphic
      ;

    2. 0x01 graphic
      ;

    3. 0x01 graphic

    Twierdzenie o klasie funkcji ciągłych

    Funkcje elementarne są ciągłe. Działania algebraiczne wykonywane na funkcjach ciągłych dają funkcje ciągłe. Złożenia funkcji ciągłych są funkcjami ciągłymi. Funkcje odwrotne do funkcji ciągłych (o ile istnieją) też są funkcjami ciągłymi.

    Uwaga. Jeśli x0Cf i f(x0) > 0, to 0x01 graphic

    Definicja ciągłości jednostajnej

    Niech XDf. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła na X, jeśli

    0x01 graphic

    Uwaga. Jeśli f jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, to jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

    Uwaga. Istnieją funkcje ciągłe w każdym punkcie zbioru X lecz nie będące jednostajnie ciągłymi na tym zbiorze.

    Uwaga. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest na tym przedziale jednostajnie ciągła.

    SZEREGI LICZBOWE

    Definicja szeregu

    Niech 0x01 graphic
    będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg 0x01 graphic
    gdzie 0x01 graphic
    . Taki szereg liczbowy oznaczamy symbolem 0x01 graphic
    . Liczbę 0x01 graphic
    nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę 0x01 graphic
    - n-tą sumą tego szeregu.

    Definicja szeregu zbieżnego, rozbieżnego i sumy szeregu

    Mówimy, że szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny jeśli ciąg 0x01 graphic
    jest zbieżny do granicy skończonej zwanej w tym przypadku sumą szeregu i oznaczanej symbolem identycznym z symbolem szeregu.

    Mówimy, że szereg 0x01 graphic
    jest rozbieżny gdy nie jest zbieżny.

    Twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów

    Jeśli szeregi 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    są zbieżne odpowiednio do liczb 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    , to dla dowolnych liczb rzeczywistych 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    zbieżny jest również szereg 0x01 graphic
    przy czym suma tego szeregu wynosi 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego

    Szereg 0x01 graphic
    zwany szeregiem geometrycznym o podstawie 0x01 graphic
    jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie o zbieżności szeregu harmonicznego

    Szereg 0x01 graphic
    zwany szeregiem harmonicznym rzędu 0x01 graphic
    jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
    .

    Warunek konieczny zbieżności szeregu

    Jeśli szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny to 0x01 graphic
    .

    Niech 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    oznaczają szeregi liczbowe.

    Uwaga. Jeśli ciągi 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    różnią się skończoną ilością wyrazów, to oba szeregi 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

    KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

    Kryterium porównawcze

    Jeśli 0x01 graphic
    to ze zbieżności szeregu 0x01 graphic
    wynika zbieżność szeregu 0x01 graphic
    i z rozbieżności szeregu 0x01 graphic
    wynika rozbieżność szeregu 0x01 graphic
    .

    Kryterium ilorazowe

    Jeśli 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    , to oba szeregi 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

    Kryterium Cauchy'ego

    Jeśli 0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    jest zbieżny gdy 0x01 graphic
    i rozbieżny gdy 0x01 graphic
    .

    Kryterium d'Alemberta

    Jeśli 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny gdy 0x01 graphic
    i rozbieżny gdy 0x01 graphic
    .

    Kryterium Raabego

    Jeśli 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny gdy 0x01 graphic
    i rozbieżny gdy 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie o zagęszczaniu

    Jeśli 0x01 graphic
    jest ciągiem nierosnącym o wyrazach nieujemnych to szeregi 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

    Kryterium Dirichleta

    Jeśli ciąg sum częściowych szeregu 0x01 graphic
    jest ograniczony oraz 0x01 graphic
    jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do zera to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny.

    Kryterium Abela

    Jeśli szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny i ciąg 0x01 graphic
    jest monotoniczny i ograniczony, to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny.

    Kryterium Leibniza

    Jeśli 0x01 graphic
    jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg 0x01 graphic
    zwany szeregiem naprzemiennym jest zbieżny.

    Definicja zbieżności bezwzględnej

    Mówimy, że szereg 0x01 graphic
    jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg 0x01 graphic
    .

    Uwaga Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.

    Uwaga Istnieją szeregi zbieżne lecz nie bezwzględnie zbieżne.

    Definicja szeregu zbieżnego warunkowo

    Szereg zbieżny lecz nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

    Twierdzenie

    Jeśli szereg 0x01 graphic
    jest bezwzględnie zbieżny, to dla dowolnej permutacji 0x01 graphic
    liczb naturalnych szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny i ma taką samą sumę jak szereg 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie Cauchy'ego

    Jeśli szeregi 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    są bezwzględnie zbieżne, to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny przy czym suma tego szeregu wynosi 0x01 graphic
    gdzie 0x01 graphic
    oznacza sumę szeregu 0x01 graphic
    , a 0x01 graphic
    sumę szeregu 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie Riemanna

    Niech 0x01 graphic
    będzie szeregiem warunkowo zbieżnym. Dla dowolnego 0x01 graphic
    istnieje permutacja 0x01 graphic
    zbioru liczb naturalnych taka, że 0x01 graphic
    jest sumą szeregu 0x01 graphic
    .

    CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

    Przyjmijmy, że 0x01 graphic
    .

    Definicja ciągu funkcyjnego

    Ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze 0x01 graphic
    nazywamy każdą funkcję odwzorowującą zbiór 0x01 graphic
    w zbiór 0x01 graphic
    . Załóżmy, że 0x01 graphic
    . Wówczas dla oznaczenia ciągu funkcyjnego, którego n-tym wyrazem jest funkcja 0x01 graphic
    używamy oznaczenie 0x01 graphic
    .

    Niech 0x01 graphic
    oznacza ciąg funkcyjny taki, że 0x01 graphic
    . Niech 0x01 graphic
    .

    Definicja zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego

    Mówimy, że ciąg 0x01 graphic
    jest punktowo zbieżny na zbiorze 0x01 graphic
    do funkcji 0x01 graphic
    jeśli 0x01 graphic
    .

    Definicja zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego

    Mówimy, że ciąg 0x01 graphic
    jest jednostajnie zbieżny na zbiorze 0x01 graphic
    do funkcji 0x01 graphic
    jeśli 0x01 graphic
    .

    Fakt, że 0x01 graphic
    jest punktowo zbieżny do funkcji 0x01 graphic
    na zbiorze 0x01 graphic
    oznaczamy pisząc 0x01 graphic
    .

    Fakt, że 0x01 graphic
    jest jednostajnie zbieżny do funkcji 0x01 graphic
    na zbiorze 0x01 graphic
    oznaczamy pisząc 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie

    Jeśli 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    .

    Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

    Twierdzenie Weierstrassa

    Niech 0x01 graphic
    dla 0x01 graphic
    . Wówczas 0x01 graphic

    Twierdzenie

    Jeśli 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    jest ciągła na X, to również f jest ciągła na X.

    Definicja funkcji przedziałami liniowej

    Niech 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    i niech 0x01 graphic
    . Funkcję f nazywamy przedziałami liniową na przedziale 0x01 graphic
    jeśli f jest ciągła na 0x01 graphic
    oraz jeśli istnieją układy liczb0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    takie, że 0x01 graphic

    Twierdzenie

    Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji przedziałami liniowych na tym przedziale.

    Definicja szeregu funkcyjnego

    Niech 0x01 graphic
    będzie ciągiem funkcyjnym takim, że 0x01 graphic
    . Szeregiem funkcyjnym nazywamy ciąg funkcyjny 0x01 graphic
    gdzie 0x01 graphic
    . Taki szereg funkcyjny oznaczamy symbolem 0x01 graphic
    . Funkcję 0x01 graphic
    nazywamy n-tym wyrazem a funkcję 0x01 graphic
    nazywamy n-tą sumą tego szeregu.

    Definicja zbieżności punktowej i jednostajnej szeregu funkcyjnego

    Szereg funkcyjny 0x01 graphic
    jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na zbiorze X gdy ciąg funkcyjny 0x01 graphic
    jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na tym zbiorze.

    Funkcję będącą granicą ciągu funkcyjnego 0x01 graphic
    o ile ona istnieje nazywamy sumą szeregu 0x01 graphic
    i oznaczamy tak jak sam szereg.

    Wniosek. Szereg funkcyjny 0x01 graphic
    jest punktowo zbieżny na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
    jest zbieżny.

    Wniosek. Jeśli szereg funkcyjny 0x01 graphic
    jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X, to jest punktowo zbieżny na tym zbiorze.

    Twierdzenie Weierstrassa

    Niech 0x01 graphic
    będzie szeregiem funkcyjnym funkcji określonych na zbiorze X, a 0x01 graphic
    szeregiem liczbowym zbieżnym takim, że 0x01 graphic
    .

    Wówczas szereg 0x01 graphic
    jest jednostajnie zbieżny oraz 0x01 graphic
    jest bezwzględnie zbieżny.

    Definicja szeregu potęgowego

    Niech 0x01 graphic
    i niech 0x01 graphic
    dla 0x01 graphic
    . Załóżmy, że

    0x01 graphic
    jest funkcją taką, że 0x01 graphic

    0x01 graphic
    jest funkcją taką, że 0x01 graphic
    dla 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    .

    Szereg funkcyjny 0x01 graphic
    nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie 0x01 graphic
    i współczynnikach 0x01 graphic
    . Oznaczamy go symbolicznie jako 0x01 graphic
    .

    Definicja promienia zbieżności szeregu potęgowego

    Liczbę 0x01 graphic
    nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
    .

    Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego nie zależy od jego środka 0x01 graphic
    a jedynie od współczynników 0x01 graphic
    dla 0x01 graphic
    .

    Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego jest zawsze liczbą nieujemną.

    Niech R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
    .


    Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda

    1. Jeśli 0x01 graphic
      , to 0x01 graphic

    2. Jeśli 0x01 graphic
      , to 0x01 graphic

    Twierdzenie o punktach zbieżności szeregu potęgowego

    Jeśli R = 0, to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny jedynie dla 0x01 graphic
    .

    Jeśli R = ∞, to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego 0x01 graphic
    .

    Jeśli R 0x01 graphic
    , to szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego 0x01 graphic
    oraz rozbieżny dla 0x01 graphic
    .

    Definicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego

    Przedziałem zbieżności szeregu 0x01 graphic
    nazywamy zbiór 0x01 graphic

    Twierdzenie

    Szereg potęgowy 0x01 graphic
    jest zbieżny jednostajnie w każdym przedziale domkniętym zawartym w przedziale zbieżności szeregu potęgowego.

    Niech 0x01 graphic
    będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej

    Definicja ilorazu różnicowego

    Niech 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    . Ilorazem różnicowym funkcji 0x01 graphic
    pomiędzy punktami 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    nazywamy liczbę 0x01 graphic
    .

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, otoczeniem prawostronnym).

    Definicja pochodnej .

    Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji 0x01 graphic
    w punkcie 0x01 graphic
    nazywamy granicę 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    ) o ile ona istnieje. Oznaczamy ją wtedy jako 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    ,0x01 graphic
    ).

    Definicja różniczkowalności funkcji.

    Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie, prawostronnie) w punkcie 0x01 graphic
    jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną).

    Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.

    Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna w prawym krańcu.

    Definicja kąta nachylenia.

    Niech 0x01 graphic
    będzie dowolną prostą na płaszczyźnie0x01 graphic
    w której0x01 graphic
    oznacza oś odciętych. Jeśli 0x01 graphic
    , to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej 0x01 graphic
    jest zero. Jeśli 0x01 graphic
    to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej 0x01 graphic
    jest kąt, którego jednym z ramion jest 0x01 graphic
    , a drugim odcinek 0x01 graphic
    przebiegający w górnej półpłaszczyźnie.

    Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.

    Prostą przechodzącą przez punkty, 0x01 graphic
    ,0x01 graphic
    nazywać będziemy sieczną. Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji 0x01 graphic
    pomiędzy punktami 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    jest tangensem kąta nachylenia siecznej. Przy ustalonym 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    zmierzającym do 0x01 graphic
    zauważamy, że sieczne wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy o ile ona istnieje położenie prostej, którą nazwiemy styczną do wykresu funkcji w punkcie0x01 graphic
    . Pozwala to na spostrzeżenie, że pochodna funkcji jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie 0x01 graphic
    .

    Wniosek.

    Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie 0x01 graphic
    ma postać 0x01 graphic
    .

    Definicja.

    Normalną do wykresu funkcji f w punkcie 0x01 graphic
    nazywamy prostą prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.

    Definicja.

    Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w 0x01 graphic
    . Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego kąt 0x01 graphic
    , pomiędzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

    Wniosek. 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie.

    Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.

    Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

    Twierdzenie.

    Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    , to funkcje

    [Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ]są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:

    [Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001 ]

    Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że 0x01 graphic
    .

    Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.

    Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).

    Jeśli funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
    , zaś funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
    to funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
    przy czym [Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001 ].

    Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)

    Niech 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    jest ciągłą i różnowartościową funkcją różniczkowalną w punkcie 0x01 graphic
    , taką, że 0x01 graphic
    , to funkcja odwrotna 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    .

    Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej są prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.

    Wzory na pochodne funkcji elementarnych

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    Definicja różniczki .

    Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
    . Różniczką funkcji f w punkcie 0x01 graphic
    nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej 0x01 graphic
    przypisuje liczbę 0x01 graphic
    . Różniczkę funkcji f w punkcie 0x01 graphic
    będziemy oznaczać jako 0x01 graphic
    .

    Uwaga. Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w dowolnym punkcie przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej 0x01 graphic
    nią samą. Stąd wniosek, że 0x01 graphic
    . Ponieważ różniczka funkcji f w dowolnym punkcie 0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    , więc możemy zapisać, że 0x01 graphic
    . W powyższym wzorze 0x01 graphic
    jest funkcją, 0x01 graphic
    jest funkcją, a 0x01 graphic
    jest liczbą. Wzór ten można zapisać w postaci 0x01 graphic
    . Jest on oczywiście prawdziwy dla dowolnego argumentu 0x01 graphic
    i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest funkcją stałą. Argument 0x01 graphic
    z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.

    Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już pochodną 0x01 graphic
    funkcji 0x01 graphic
    rzędu 0x01 graphic
    w każdym punkcie wspomnianego otoczenia. Jeśli 0x01 graphic
    jest funkcją różniczkowalną w punkcie 0x01 graphic
    to jej pochodną w tym punkcie nazywać będziemy pochodną rzędu 0x01 graphic
    funkcji 0x01 graphic
    w punkcie 0x01 graphic
    . Pochodną rzędu 0x01 graphic
    funkcji 0x01 graphic
    w punkcie 0x01 graphic
    oznaczać będziemy jako 0x01 graphic
    . Przyjmujemy ponadto, że 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie

    Jeżeli f i g mają pochodne rzędu 0x01 graphic
    w punkcie 0x01 graphic
    , to funkcja 0x01 graphic
    ma pochodną rzędu n w punkcie 0x01 graphic
    i wyraża się ona wzorem

    0x01 graphic
    (wzór Leibniza).

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie (ROLLE'A)

    Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ], różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ], oraz [Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ], to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie (CAUCHE'EGO )

    Jeżeli funkcje 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    są ciągłe w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ], różniczkowalne w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ] to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że0x01 graphic
    .

    Twierdzenie (LAGRANGEA).

    Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]i różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ], to istnieje punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że 0x01 graphic
    .

    Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.

    Twierdzenie.

    Niech funkcja 0x01 graphic
    będzie różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]0x01 graphic
    [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ].

    1. Jeśli0x01 graphic
      to funkcja f jest stała w przedziale I.

    2. Jeśli 0x01 graphic
      to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.

    3. Jeśli 0x01 graphic
      to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.

    4. Jeśli 0x01 graphic
      to funkcja f jest malejąca w przedziale I.

    5. Jeśli 0x01 graphic
      to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.

    Twierdzenie.

    Jeżeli funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca w tym przedziale, to0x01 graphic
    .

    Twierdzenie.

    Jeżeli funkcja 0x01 graphic
    jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca w tym przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy 0x01 graphic
    oraz zbiór 0x01 graphic
    nie zawiera przedziału.

    Twierdzenie.

    Niech 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech 0x01 graphic
    . Jeżeli 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie. (REGUŁA DE L'HOSPITALA)

    Niech 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie 0x01 graphic
    punktu 0x01 graphic
    oraz0x01 graphic
    . Jeżeli 0x01 graphic
    , oraz istnieje granica 0x01 graphic
    (właściwa lub nie), to istnieje również granica 0x01 graphic
    przy czym 0x01 graphic
    .

    Uwaga: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

    Twierdzenie (WZÓR TAYLORA)

    Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu 0x01 graphic
    w przedziale 0x01 graphic
    oraz pochodną rzędu 0x01 graphic
    w przedziale 0x01 graphic
    , to istnieje punkt 0x01 graphic
    taki, że 0x01 graphic
    . Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy jako0x01 graphic
    i nazywać resztą w postaci Lagrange'a. Tak więc 0x01 graphic

    Wniosek. Dla 0x01 graphic
    otrzymujemy twierdzenie Lagrange'a.

    Uwaga Wzory twierdzeń o wartości średniej i wzór Taylora są prawdziwe również w przypadku, gdy 0x01 graphic
    .

    Wniosek. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy 0x01 graphic
    , to otrzymujemy wzór Maclaurina 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie.

    Załóżmy, że funkcja 0x01 graphic
    ma pochodną dowolnego rzędu 0x01 graphic
    w przedziale 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    .

    Uwaga. Założenie istnienia pochodnych dowolnego rzędu 0x01 graphic
    nie wystarcza do udowodnienia powyższego wzoru nawet wtedy, gdy wzbogacić je założeniem zbieżności szeregu 0x01 graphic
    .

    Wniosek. Załóżmy, że funkcja 0x01 graphic
    ma pochodną dowolnego rzędu 0x01 graphic
    w przedziale pomiędzy liczbami 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic

    Twierdzenie.

    Jeśli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    ma pochodną dowolnego rzędu 0x01 graphic
    w każdym punkcie 0x01 graphic
    położonym wewnątrz przedziału zbieżności szeregu 0x01 graphic
    przy czym 0x01 graphic
    dla 0x01 graphic
    , oraz 0x01 graphic
    dla. 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie (o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego)

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    jest ciągiem funkcyjnym złożonym z funkcji mających ciągłe pochodne na przedziale 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    , oraz 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    jest różniczkowalna na 0x01 graphic
    , przy czym 0x01 graphic
    .

    Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
    .

    Definicja.

    Funkcja f osiąga w punkcie 0x01 graphic
    maksimum (minimum) lokalne, jeżeli 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    ).

    Definicja.

    Funkcja f osiąga w punkcie 0x01 graphic
    maksimum (minimum) lokalne właściwe, jeżeli 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    ).

    Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.

    Twierdzenie Fermata. (warunek konieczny istnienia ekstremum).

    Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie 0x01 graphic
    oraz jest różniczkowalna w tym punkcie, to 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie. ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego .

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    . Przyjmijmy, że0x01 graphic
    jest ciągła na 0x01 graphic
    i różniczkowalna na 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    ma w punkcie 0x01 graphic
    minimum właściwe. Jeśli 0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    ma w punkcie 0x01 graphic
    maksimum właściwe.

    Twierdzenie. (II warunek wystarczający).

    Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu 0x01 graphic
    w pewnym otoczeniu punktu0x01 graphic
    , ciągłą w punkcie 0x01 graphic
    , oraz 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    , to w przypadku gdy n jest liczbą parzystą, funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie 0x01 graphic
    . Jest to maksimum właściwe, gdy 0x01 graphic
    , zaś minimum właściwe, gdy 0x01 graphic
    . Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie 0x01 graphic
    .

    Definicja ekstremum absolutnego.

    Niech 0x01 graphic
    i niech f będzie funkcją rzeczywistą taka, że 0x01 graphic
    . Mówimy, że 0x01 graphic
    osiąga w punkcie 0x01 graphic
    maksimum (minimum) absolutne na zbiorze A, jeżeli

    0x01 graphic

    Twierdzenie

    Niech 0x01 graphic
    będzie ciągła w przedziale 0x01 graphic
    i różniczkowalna w 0x01 graphic
    . Funkcja 0x01 graphic
    osiąga w tym przedziale swoje ekstrema absolutne w punktach zbioru 0x01 graphic

    Definicja.

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    jest funkcją różniczkowalną w punkcie0x01 graphic
    . Funkcję 0x01 graphic
    nazywamy wypukłą (wklęsłą) w punkcie 0x01 graphic
    jeśli 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    ). Funkcję 0x01 graphic
    nazywamy wypukłą (wklęsłą) na przedziale 0x01 graphic
    , gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.

    Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości (wklęsłości))

    Załóżmy, że istnieje druga pochodna funkcji 0x01 graphic
    w przedziale 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    ) to funkcja 0x01 graphic
    jest wypukła (wklęsła) na 0x01 graphic
    .

    Definicja punktu przegięcia

    Mówimy, że funkcja0x01 graphic
    ciągła w punkcie 0x01 graphic
    ma w punkcie 0x01 graphic
    punkt przegięcia, jeśli funkcja ta jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu 0x01 graphic
    i wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )

    Jeśli funkcja 0x01 graphic
    ma pochodną rzędu drugiego w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
    ciągłą w 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    jest punktem przegięcia funkcji 0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie ( I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    . Przyjmijmy, że0x01 graphic
    ma pochodną rzędu pierwszego na 0x01 graphic
    i pochodną rzędu drugiego na 0x01 graphic
    . Jeśli 0x01 graphic
    lub 0x01 graphic
    to 0x01 graphic
    ma w punkcie 0x01 graphic
    punkt przegięcia.

    Twierdzenie. (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

    Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu 0x01 graphic
    w pewnym otoczeniu punktu0x01 graphic
    , ciągłą w punkcie 0x01 graphic
    , oraz 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    , to w przypadku gdy n jest liczbą nieparzystą, funkcja f ma w punkcie 0x01 graphic
    punkt przegięcia.. Jeśli n jest liczbą parzystą, to f nie ma punktu przegięcia w punkcie 0x01 graphic
    .

    Definicja asymptoty pionowej

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    jest funkcją określoną na pewnym sąsiedztwie punktu0x01 graphic
    . Prostą o równaniu 0x01 graphic
    nazywamy asymptotą pionową funkcji 0x01 graphic
    gdy 0x01 graphic
    .

    Definicja asymptoty ukosnej

    Załóżmy, że 0x01 graphic
    jest funkcją określoną na pewnym przedziale 0x01 graphic
    . Prostą o równaniu 0x01 graphic
    nazywamy asymptotą ukośną w minus nieskończoności (plus nieskończoności) funkcji 0x01 graphic
    gdy 0x01 graphic
    (0x01 graphic
    ).

    Twierdzenie o współczynnikach asymptoty ukośnej

    Prosta o równaniu 0x01 graphic
    jest asymptotą ukośną funkcji 0x01 graphic
    w minus nieskończoności (plus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
    (0x01 graphic

    Definicja (funkcji pierwotnej).

    Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeśli

    0x01 graphic

    Gdy I jest przedziałem domkniętym (I=[a,b]) lub jednostronnie domkniętym (I=[a,b) lub I=(a,b]), to przez pochodną funkcji w punktach a i b należy rozumieć pochodną jednostronną, odpowiednio F'+(a) i F'-(b).

    Twierdzenie (Podstawowe własności funkcji pierwotnych)

    Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wówczas

    (1) każda funkcja postaci F(x)+C, gdzie C=const, jest również funkcją pierwotną funkcji f

    (2) jeśli ponadto funkcja G jest też funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I, to G=F+C na przedziale I, gdzie C=const.

    Uwaga:

    Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcje pierwotne funkcji f na przedziale I mają postać:

    (*) F(x)+C gdzie cR i F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I

    oraz tylko funkcje postaci (*) są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale I.

    Definicja (całki nieoznaczonej).

    Niech F będzie funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji:

    {F(x)+C: CR}

    i oznaczamy 0x01 graphic
    .

    Uwaga

    Działania i operacje na całkach nieoznaczonych oznaczają działania i operacje na funkcjach pierwotnych reprezentujących te całki. Jeśli F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to zapisujemy 0x01 graphic
    , gdzie CR.

    Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące

    Wnioski:

    Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy:

    (1) 0x01 graphic

    (2) 0x01 graphic

    Twierdzenie

    Niech dany będzie punkt x0 wewnątrz przedziału I i niech dana będzie dowolna liczba y0R. Jeśli funkcja f posiada funkcję pierwotną w przedziale I, to istnieje tylko jedna funkcja pierwotna F taka, że F(x0)=y0.

    Uwaga:

    Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że przez każdy punkt płaszczyzny o odciętej xI przechodzi krzywa całkowa (tzn. wykres funkcji pierwotnej). Ponieważ krzywe całkowe są do siebie równoległe, więc przez każdy punkt płaszczyzny przechodzić może tylko jedna krzywa całkowa danej funkcji f.

    Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące wzory na całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych:

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)

    Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale I, to:

    (1) 0x01 graphic

    (2) 0x01 graphic

    Twierdzenie (o całkowaniu granicy ciągu funkcyjnego)

    Jeżeli funkcje fn są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz ciąg {fn} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość

    0x01 graphic

    Korzystając z powyższego twierdzenia dowodzi się

    Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

    Każda funkcja ciągła na przedziale I posiada w tym przedziale funkcję pierwotną

    Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)

    Jeżeli funkcje fn są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz szereg funkcyjny 0x01 graphic
    jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość:

    0x01 graphic

    Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

    Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to 0x01 graphic

    Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

    Jeżeli :

    1) funkcja f: I→R jest ciągła na przedziale I

    2) funkcja 0x01 graphic
    ma ciągłą pochodną na przedziale 0x01 graphic
    ,

    to 0x01 graphic
    +c , gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f oraz cR.

    Definicja (całki oznaczonej Riemanna).

    Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] i niech zbiór Pn={x0, x1,…, xn} oznacza podział odcinka [a,b] na n części, przy czym a= x0< x1<…< xn=b. Niech

    xk=xk-xk-1 oznacza długość k-tego odcinka podziału Pn, gdzie 1kn oraz δ(Pn)=max{xk: 1kn} oznacza średnicę podziału Pn, zaś xk*[ xk-1, xk] oznacza punkt pośredni k-tego odcinka podziału Pn, gdzie 1kn.

    Sumą całkową funkcji f na przedziale [a,b] odpowiadającą podziałowi Pn oraz punktom pośrednim xk* tego podziału gdzie 1kn, nazywamy liczbę

    0x01 graphic
    .

    Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem;

    0x01 graphic

    o ile istnieje granica właściwa występująca po prawej stronie znaku równości oraz granica ta nie zależy od sposobu podziałów Pn przedziału [a,b] ani od sposobu wyboru punktów pośrednich xk*, gdzie 1kn. Ponadto przyjmujemy 0x01 graphic
    dla a<b.

    Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [a,b] nazywamy funkcją całkowalną na [a,b].

    Uwaga

    Każda funkcja całkowalna jest ograniczona, ale nie każda funkcja ograniczona na przedziale jest na nim całkowalna np. funkcja Dirichleta na przedziale [0,1].

    Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie (R)

    Twierdzenie 1

    Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale I=[a,b], to jest również całkowalna na każdym podprzedziale [c,d]I.

    Twierdzenie 2

    Jeśli f jest całkowalna na przedziale I, zaś  jest funkcją ciągłą, to funkcja f jest całkowalna na I.

    Twierdzenie 3.

    Jeśli a=t0< t1<… tn-1< tn=b oraz f jest całkowalna na każdym przedziale [ti,ti+1], i{0,…,n-1}, to f jest całkowalna na [a,b].

    Twierdzenie 4 (warunek wystarczający całkowalności)

    Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.

    Uwaga *

    Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcja ciągła na przedziale jest na nim całkowalna. Z drugiej strony funkcja całkowalna na przedziale może mieć nieskończenie wiele punktów nieciągłości.

    Twierdzenie 5

    Jeśli funkcja f jest monotoniczna i ograniczona na przedziale [a,b], to jest całkowalna na [a,b].

    Twierdzenie 6 (Newtona - Leibnitza, I podstawowe twierdzenie rachunku całkowego)

    Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to 0x01 graphic
    , gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale. Różnicę F(b)-F(a) oznaczamy 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 7 (o liniowości całki oznaczonej)

    Jeżeli funkcja f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to

    1) 0x01 graphic

    2) 0x01 graphic
    gdzie cR

    Twierdzenie 8 (o całkowaniu przez części)

    Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b], to

    0x01 graphic

    Twierdzenie 9 (o całkowaniu przez podstawienie)

    Jeżeli:

    1) funkcja 0x01 graphic
    ma ciągłą pochodną na przedziale [,]

    2) ()=a, ()=b,

    3) funkcja f jest ciągła na [a,b],

    wówczas 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 10 (o równości całek)

    Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja g także jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 11 (addytywność całki względem przedziału całkowania)

    Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz c(a,b), to

    0x01 graphic

    Twierdzenie 12 (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)

    Jeżeli funkcja f i g spełniają warunki:

    1) są całkowalne na przedziale [a,b],

    2) 0x01 graphic

    to 0x01 graphic

    Uwaga

    Jeżeli nierówność w założeniu twierdzenia jest ostra, to także nierówność w tezie jest ostra.

    Twierdzenie 13 (o całce funkcji nieparzystej, parzystej i okresowej)

    Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz

    1) jest nieparzysta, to 0x01 graphic
    ;

    2) jest parzysta, to 0x01 graphic
    ;

    3) ma okres T, to 0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 14

    Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz istnieją liczby m, MR takie, że

    0x01 graphic

    wówczas 0x01 graphic
    .

    Definicja (wartości średniej funkcji)

    Niech f będzie całkowalną na przedziale [a,b]. Wartością średnią funkcji f na przedziale [a,b] nazywamy liczbę

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 15 (całkowe o wartości średniej funkcji)

    Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 16 (nierówność Schwartza)

    Jeśli f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to

    0x01 graphic

    Definicja (funkcji górnej granicy całkowania)

    Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c[a,b]. Funkcję 0x01 graphic
    , gdzie x[a,b], nazywamy funkcja górnej granicy całkowania.

    Twierdzenie 17 (o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania)

    Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c[a,b], to funkcja 0x01 graphic
    , gdzie x[a,b] jest ciągła na przedziale [a,b].

    Twierdzenie 18 (II główne twierdzenie rachunku całkowego)

    Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie x0[a,b], to funkcja 0x01 graphic
    , gdzie c[a,b], ma pochodną właściwą w punkcie x0 oraz 0x01 graphic
    .

    Uwaga

    Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to jej funkcja górnej granicy całkowania F jest funkcją pierwotną funkcji f.

    Twierdzenie 19 (O całkowaniu ciągu funkcyjnego)

    Jeżeli ciąg {fn}nN funkcji ciągłych na przedziale [a,b] jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to

    0x01 graphic

    Twierdzenie 20 (O całkowaniu szeregu funkcyjnego)

    Jeżeli funkcje fn, dla n=1, 2, …, są ciągłe na przedziale [a,b] i szereg 0x01 graphic
    jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to

    0x01 graphic

    Z powyższego twierdzenia jako bezpośredni wniosek mamy

    Twierdzenie 21 (O całkowaniu szeregów potęgowych)

    Niech 0<R≤+∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
    , wówczas 0x01 graphic
    ma ten sam promień zbieżności R oraz

    0x01 graphic

    dla każdego t∈(x0-R, x0+R).

    Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

    1) Pole figury płaskiej

    Twierdzenie 1

    Niech krzywa AB będzie określona równaniem y=f(x) dla x[a,b], gdzie f jest funkcją dodatnią i ciągłą w przedziale [a,b]. Wtedy pole P trapezu krzywoliniowego ograniczonego krzywa AB z góry oraz prostymi y=0, x=a, x=b, wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Wniosek 1

    Jeżeli krzywa AB ograniczająca z góry trapez krzywoliniowy P opisany w twierdzeniu 1 jest określona za pomocą równań parametrycznych:

    (*) 0x01 graphic

    gdzie x=a dla t=, x=b dla t=, funkcje x i y mają ciągłe pochodne i y jest dodatnia w przedziale [,], zaś krzywa AB nie ma punktów wielokrotnych, wówczas pole trapezu krzywoliniowego P wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Wniosek 2

    Jeżeli trapez krzywoliniowy P określony jest następująco:

    0x01 graphic

    gdzie funkcje f1 i f2 są ciągłe na przedziale [a,b] oraz f1(x)f2(x) dla każdego x[a,b], wtedy pole trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 2

    Niech AOB będzie wycinkiem ograniczonym krzywa AB i dwoma promieniami Oa i OB. (z których każdy może być punktem) i niech krzywa AB będzie określona równaniem biegunowym:

    0x01 graphic

    gdzie g jest funkcją ciągłą i dodatnią w przedziale 0x01 graphic
    . Wtedy pole P wycinka AOB wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Wniosek 3

    Jeśli krzywa AB jest określona równaniami parametrycznymi (*) i spełnia założenia z wniosku 1, wówczas pole wycinka AOB wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    2) Długość łuku krzywej

    Twierdzenie 3

    Jeżeli łuk l dany jest równaniami parametrycznymi:

    0x01 graphic

    przy czym nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne na przedziale [,], to długość l łuku l wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 4

    Jeżeli łuk l dany jest równaniem jawnym 0x01 graphic
    , gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wówczas długość l tego łuku wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 5

    Jeżeli łuk l dany jest równaniem biegunowym 0x01 graphic
    , gdzie g jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale 0x01 graphic
    , wówczas długość l łuku l wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    3) Objętość bryły obrotowej.

    Twierdzenie 6 (objętość bryły)

    Niech S(x), gdzie x∈[a.b], oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną prostopadłą do osi OX w przestrzeni X oraz niech S będzie funkcją ciągłą na przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem;

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 7 (objętość bryły obrotowej)

    Niech 0x01 graphic
    , gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], oznacza trapez krzywoliniowy. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokół osi 0x wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    4) Pole powierzchni obrotowej.

    Twierdzenie 8

    Niech krzywa AB będzie dana równaniem 0x01 graphic
    , gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB dokoła osi Ox wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Twierdzenie 9

    Niech krzywa AB będzie dana równaniami parametrycznymi:

    0x01 graphic

    gdzie funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne i y jest nieujemna na przedziale 0x01 graphic
    , oraz krzywa AB nie posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB wokół osi Ox wyraża się wzorem:

    0x01 graphic
    .

    Całki niewłaściwe

    W rozważaniach tego rozdziału będziemy zakładać, że wszystkie funkcje sa całkowalne na dowolnym przedziale domkniętym zawartym w ich dziedzinie.

    Definicja (całki niewłaściwej pierwszego rodzaju)

    Niech funkcja f: [a, +∞) →R. Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na półprostej [a, +∞) definiujemy następująco:

    0x01 graphic
    .

    Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na [a, +∞)jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub -∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub do -∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

    Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na (-∞,b], a mianowicie:

    0x01 graphic
    .

    Niech f: R→R. Całkę niewłaściwą z funkcji f na prostej (-∞, +∞) definiujemy następująco:

    0x01 graphic
    ,

    gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (-∞, +∞) jest zbieżna.

    Uwaga:

    Zbieżność całki niewłaściwej na (-∞, +∞) nie zależy od wyboru liczby a.

    Wniosek:

    Całka niewłaściwa postaci 0x01 graphic
    , gdzie a>0, jest zbieżna dla p>1 i rozbieżna do +∞ dla p≤1.

    Analogiczny fakt jest prawdziwy dla całek 0x01 graphic
    , gdzie b<0, o ile funkcja podcałkowa jest poprawnie określona.

    Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju

    Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)

    Niech funkcje f i g spełniają warunek:

    0x01 graphic

    Wówczas:

    1. jeśli całka 0x01 graphic
      jest zbieżna, to także całka 0x01 graphic
      jest zbieżna;

    2. jeśli całka 0x01 graphic
      jest rozbieżna, to także całka 0x01 graphic
      jest rozbieżna.

    Uwaga:

    Twierdzenie to zachodzi także dla funkcji f i g niedodatnich. Ponadto prawdziwe są analogiczne twierdzenie dla całek niewłaściwych na półprostej (-∞,b].

    Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe)

    Niech funkcje f i g będą dodatnie (ujemne) na półprostej [a, +∞) oraz niech spełniają warunek:

    0x01 graphic
    , gdzie 0<k<+∞. Wówczas całki 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

    Definicja (zbieżności bezwzględnej całek niewłaściwych I rodzaju).

    Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa z funkcji f.

    Twierdzenie 3

    Jeżeli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto

    0x01 graphic
    .

    Definicja (całek niewłaściwych drugiego rodzaju)

    Niech funkcja f: (a,b]→R będzie nieograniczona tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f na (a,b] definiujemy następująco:

    0x01 graphic
    .

    Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (a,b] jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub -∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub -∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

    Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa drugiego rodzaju z funkcji f:{a,b) i nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:

    0x01 graphic
    .

    Niech funkcja f: [a,c)∪(c,b]→R będzie nieograniczona tylko na obu jednostronnych sąsiedztwach punktu c. Całka niewłaściwą z funkcji f na [a,b] definiujemy następująco:

    0x01 graphic
    .

    Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na [a,b] jest zbieżna.

    Analogicznie, jeśli f: (a,b)→R jest nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b, to całkę niewłaściwą z funkcji f na (a,b) definiujemy następująco:

    0x01 graphic

    gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b), przy czym zbieżność powyższej całki niewłaściwej nie zależy od wyboru punktu d.

    Uwaga 1

    Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju (analogicznie jak dla całek niewłaściwych pierwszego rodzaju) całka niewłaściwa postaci

    0x01 graphic
    , gdzie b>0

    jest zbieżna dla p<1 i rozbieżna do +∞ dla p≥1.

    Uwaga 2

    Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju z funkcji f na przedziale (a,b] ( lub [a,b) ) prawdziwe są kryteria zbieżności porównawcze i ilorazowe analogiczne jak dla całek pierwszego rodzaju w twierdzeniach 1 i 2.

    Twierdzenie 4 (Kryterium całkowe zbieżności szeregów)

    Niech funkcja f: [n0, +∞)→[0, +∞), gdzie n0∈N, będzie nierosnąca. Wówczas 0x01 graphic
    i całka niewłaściwa 0x01 graphic
    są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

    Wiadomości uzupełniające.

    1. Szeregi Taylora i Maclaurina

    Definicja (Szeregu Taylora)

    Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

    0x01 graphic

    nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0. Jeżeli x0=0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

    Uwaga

    Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

    Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

    Jeżeli:

    1. funkcja f ma w otoczeniu U(x0) pochodne dowolnego rzędu,

    2. dla każdego x∈U(x0) 0x01 graphic
      , gdzie

    0x01 graphic

    oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.

    Wówczas:

    0x01 graphic
    dla każdego x∈U(x0).

    Uwaga

    Zamiast założenia (20 można przyjąć:

    (2') wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.

    0x01 graphic

    Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

    Jeżeli 0x01 graphic
    dla każdego x z pewnego otoczenia U(x0), to 0x01 graphic
    dla n=0,1,2,…

    1. Ciągi i szeregi ortogonalne

    Niech V={f:[a,b]→R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny następująco:

    0x01 graphic
    ;

    oraz określamy normę kwadratową funkcji f:

    0x01 graphic
    .

    Definicja

    Ciąg funkcyjny {fn}nN nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (fn,fm)=0 dla n≠m i 0x01 graphic
    dla wszystkich n.

    Definicja

    Jeżeli {cn}nN jest ciągiem liczbowym, zaś {fn}nN jest ciągiem funkcyjnym ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny 0x01 graphic
    nazywamy szeregiem ortogonalnym.

    Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)

    Jeżeli szereg ortogonalny 0x01 graphic
    jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki cn wyrażają się wzorami:

    0x01 graphic

    Uwaga

    Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg istnieje, to jest nim szereg 0x01 graphic
    , gdzie 0x01 graphic
    .

    Liczby cn określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu {fn}nN.

    1. Szereg trygonometryczny Fouriera

    Lemat

    Ciąg funkcyjny {ϕn}nN określony następująco:

    0x01 graphic

    gdzie l>0, jest ciągiem funkcji okresowych o okresie 2l, ortogonalnych w przedziale [-l,l] (ogólniej: w każdym przedziale [a, 2l+a] ), przy czym 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    .

    Wniosek

    Współczynniki Fouriera funkcji f(x) w przedziale [a, 2l+a] względem ciągu ortogonalnego {ϕn}nN wyrażają się następująco:

    0x01 graphic

    Definicja (Szeregu trygonometrycznego Fouriera)

    Szereg Fouriera funkcji f(x) względem ciągu ortogonalnego {ϕn}nN w przedziale [-l, l] zapisujemy tradycyjnie:

    0x01 graphic
    ,

    gdzie a0=c0, an=c2n-1, bn=c2n określone są wzorami z powyższego wniosku. Szereg ten nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) w przedziale [-l, l] i zapisujemy

    f(x)~0x01 graphic

    Uwaga

    Wychodząc od dowolnej funkcji całkowalnej f(x) i określając współczynniki a0, an, bn wzorami Fouriera nie otrzymujemy na ogół w powyższym wyrażeniu równości. Funkcja musi spełniać dość silne warunki, aby równość zachodziła.

    Definicja

    Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale [a,b] warunki Dirichleta, jeżeli:

    1. f(x) jest przedziałami monotoniczna w (a,b)

    2. f(x) jest ciągła w przedziale (a,b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (tzn. istnieją skończone granice jednostronne w tych punktach), przy czym w każdym punkcie nieciągłości x0 spełniony jest warunek:

    0x01 graphic
    , gdzie 0x01 graphic
    i 0x01 graphic

    1. w końcach przedziału [a,b] zachodzą równości:

    0x01 graphic
    .

    Uwaga:

    Jest wiadome, że funkcja spełniająca warunki Dirichleta w przedziale [a,b] jest całkowalna w sensie Riemanna w [a,b].

    Twierdzenie (Dirichleta)

    Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale [a, 2l+a] warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera

    0x01 graphic

    dla x∈[a, 2l+a] o współczynnikach zadanych wzorami z wniosku powyżej. Jeśli ponadto funkcja f(x) jest okresowa o okresie 2l, to równość powyższa zachodzi dla każdego x z dziedziny funkcji.

    Uwaga

    Jeśli funkcja f(x) spełniająca w przedziale [-l, l] warunki Dirichleta jest parzysta, to rozwija się w szereg Fouriera postaci:

    0x01 graphic
    .

    Jeśli natomiast f(x) jest nieparzysta w [-l, l], to jej szereg Fouriera jest równy:

    0x01 graphic
    .

    35



    Wyszukiwarka

    Podobne podstrony:
    Analiza matematyczna 2 Definicje, twierdzenia, wzory
    Analiza cz.3
    analiza Âci▒ga , Definicje:
    Analiza cz 1
    Analiza matematyczna 2 Definicje, twierdzenia, wzory (2)
    Analiza cz 2
    analiza matematyczna 2 definicje twierdzenia wzory
    Analiza matematyczna 2 Definicje, twierdzenia, wzory (2)
    Analiza cz.2
    Analiza matematyczna 1 DEFINICJE, WZORY(2) id 60882
    BizAgi Studio Cz, 2 Definiowanie modelu danych
    LOGIKA (definicje, zdania)
    M Gewert, Z Skoczylas Analiza matematyczna 2 definicje, twierdzenia, wzory
    mikroekonomia cz 2 definicje
    Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory
    analiza matematyczna 2 definicje twierdzenia wzory
    Analiza matematyczna 2 Definicje, twierdzenia, wzory
    3 cz Definicje i skróty używane w hotelu

    więcej podobnych podstron