Opis i prezentacja graficzna zmiennych.
Opis zmiennych wykonujemy zgodnie ze schematem zawartym w poniŜszej tabeli:
zmienne
Miara tendencji
centralnej
Miara
rozproszenia
Inne
Grafika
NOMINALNE
Dominanta
Liczba kategorii
Wykres kołowy
lub słupkowy
PORZĄDKOWE Mediana
Dominanta
Kwartyle
Odchylenie
ć
wiartkowe
Wykres
słupkowy
ILOŚCIOWE
(interwałowe i
ilorazowe)
Ś
rednia
Mediana
Dominanta
Odchylenie
standardowe
Kwartyle
Odchylenie
ć
wiartkowe
Kurtoza
Skośność
Histogram
1. Zmienne nominalne.
Respondenci w ankiecie odpowiedzieli na pytanie o wykonywany zawód lub zajęcie w
następujący sposób:
osoba
zawód
osoba
zawód
osoba
zawód
1
uczeń
16
przedsiębiorca
31
tokarz
2
nauczyciel
17
tokarz
32
księgowa
3
przedsiębiorca
18
księgowa
33
student
4
tokarz
19
student
34
uczeń
5
księgowa
20
uczeń
35
nauczyciel
6
student
21
pracownik biura
36
sprzedawca
7
uczeń
22
uczeń
37
przedsiębiorca
8
nauczyciel
23
księgowa
38
pracownik biura
9
sprzedawca
24
skrawacz
39
księgowa
10
przedsiębiorca
25
spawacz
40
adwokat
11
pracownik biura
26
student
41
przedsiębiorca
12
uczeń
27
uczeń
42
student
13
księgowa
28
sprzedawca
43
uczeń
14
skrawacz
29
lekarz
44
sprzedawca
15
spawacz
30
nauczyciel
45
lekarz
Dane powyŜsze naleŜy pogrupować, a niektóre występujące pojedynczo zawody
połączyć we wspólne kategorie np. osoby uczące się, pracownicy fizyczni, pracownicy
umysłowi, przedstawiciele wolnych zawodów:
1
adwokat
wolny zawód
24
spawacz
pracownik fizyczny
2
księgowa
pracownik umysłowy
25
spawacz
pracownik fizyczny
3
księgowa
pracownik umysłowy
26
sprzedawca
pracownik fizyczny
4
księgowa
pracownik umysłowy
27
sprzedawca
pracownik fizyczny
5
księgowa
pracownik umysłowy
28
sprzedawca
pracownik fizyczny
6
księgowa
pracownik umysłowy
29
sprzedawca
pracownik fizyczny
7
księgowa
pracownik umysłowy
30
student
osoba ucz
ą
ca si
ę
8
lekarz
wolny zawód
31
student
osoba ucz
ą
ca si
ę
9
lekarz
wolny zawód
32
student
osoba ucz
ą
ca si
ę
10
nauczyciel
pracownik umysłowy
33
student
osoba ucz
ą
ca si
ę
11
nauczyciel
pracownik umysłowy
34
student
osoba ucz
ą
ca si
ę
12
nauczyciel
pracownik umysłowy
35
tokarz
pracownik fizyczny
13
nauczyciel
pracownik umysłowy
36
tokarz
pracownik fizyczny
14
pracownik biura
pracownik umysłowy
37
tokarz
pracownik fizyczny
15
pracownik biura
pracownik umysłowy
38
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
16
pracownik biura
pracownik umysłowy
39
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
17
przedsiębiorca
wolny zawód
40
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
18
przedsiębiorca
wolny zawód
41
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
19
przedsiębiorca
wolny zawód
42
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
20
przedsiębiorca
wolny zawód
43
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
21
przedsiębiorca
wolny zawód
44
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
22
skrawacz
pracownik fizyczny
45
uczeń
osoba ucz
ą
ca si
ę
23
skrawacz
pracownik fizyczny
Obliczamy ile osób naleŜy do kaŜdej z kategorii:
Kategoria
Cz
ę
sto
ść
Procent
wolny zawód
8
17,8
pracownik
umysłowy
13
28,9
pracownik
fizyczny
11
24,4
osoba ucz
ą
ca si
ę
13
28,9
Ogółem
45
100,0
Jak widać w naszym zestawieniu występują DWIE dominanty. Wśród respondentów
najczęściej występują pracownicy umysłowi (13 osób) i osoby uczące się (równieŜ
13). Wykres prezentujący częstości zaprezentowany jest poniŜej:
2. Zmienne porządkowe.
Respondentów poproszono o określenie ich aktualnego samopoczucia na skali od 1
(bardzo złe) do 5 (doskonałe). Uzyskany w ten sposób pomiar daje się przedstawić na
skali porządkowej. Osoby ankietowane udzieliły następujących odpowiedzi:.
osoba
samopoczucie
osoba
samopoczucie
osoba
samopoczucie
1
1
16
1
31
4
2
2
17
2
32
4
3
2
18
3
33
3
4
1
19
2
34
2
5
2
20
2
35
2
6
4
21
3
36
3
7
4
22
3
37
4
8
5
23
2
38
3
9
3
24
1
39
2
10
2
25
2
40
3
11
1
26
2
41
2
12
1
27
1
42
4
13
2
28
2
43
4
14
3
29
3
44
3
15
2
30
4
45
5
Sortujemy pomiary od najniŜszego do najwyŜszego i zliczamy odpowiedzi, a
następnie obliczamy uzyskany procent i procent skumulowany. Uzyskujemy
następujące wyniki:
Poziom
samopoczucia
Cz
ę
sto
ść
Procent
Procent skumulowany
1
7
15,6
15,6
2
17
37,8
53,3
3
11
24,4
77,8
4
8
17,8
95,6
5
2
4,4
100,0
Ogółem
45
100,0
Z powyŜszej tabeli wynika, iŜ dominanta wynosiła 2 (tak swoje samopoczucie
określiło 37,8% badanych). Mediana – czyli pomiar środkowy równieŜ ma wartość
równą 2. Połowa badanych ma samopoczucie na poziomie 2 i niŜszym, a druga
połowa na poziomie 2 i wyŜszym.
Wartość 1 kwartyla wynosi 2. Pierwsze 25 % respondentów ma samopoczucie na
poziomie 2 i niŜszym. Wartość 3 kwartyla to 3. Oznacza to, iŜ 25% respondentów ma
samopoczucie na poziomie 3 i wyŜszym.
Obliczamy odchylenie ćwiartkowe:
Odchylenie wynosi 0,5, co oznacza, Ŝe wyniki połowy badanych odchylają się od
mediany o ok. ½ kategorii.
Odchylenie ćwiartkowe posłuŜy nam równieŜ do obliczenia pozycyjnego
współczynnika zmienności:
Współczynnik zmienności ma wartość 0,25, co świadczy o niewielkim zróŜnicowaniu
zmiennej. Rozkład zmiennej graficznie przedstawimy przy pomocy wykresu
słupkowego:
5
,
0
2
2
3
2
1
3
=
−
=
−
=
Q
Q
Q
25
,
0
2
5
,
0
=
=
=
Me
Q
Q
V
3. Zmienne interwałowe i ilorazowe.
Badanych zapytano równieŜ o ich wiek. Otrzymano następujące odpowiedzi:
osoba
wiek
osoba
wiek
osoba
wiek
1
52
16
25
31
29
2
19
17
28
32
50
3
20
18
25
33
45
4
21
19
34
34
48
5
21
20
37
35
46
6
21
21
24
36
25
7
17
22
28
37
35
8
15
23
36
38
38
9
14
24
48
39
36
10
15
25
42
40
42
11
16
26
36
41
41
12
12
27
37
42
35
13
17
28
45
43
36
14
11
29
41
44
36
15
35
30
58
45
38
Podobnie, jak w przypadku danych porządkowych sortujemy pomiary od najniŜszego
do najwyŜszego i zliczamy odpowiedzi, a następnie obliczamy uzyskany procent i
procent skumulowany. Uzyskujemy następujące wyniki:
Wiek
Cz
ę
sto
ść
Procent
Procent
skumulowany
Wiek
Cz
ę
sto
ść
Procent
Procent
skumulowany
11,00
1
2,2
2,2
34,00
1
2,2
46,7
12,00
1
2,2
4,4
35,00
3
6,7
53,3
14,00
1
2,2
6,7
36,00
5
11,1
64,4
15,00
2
4,4
11,1
37,00
2
4,4
68,9
16,00
1
2,2
13,3
38,00
2
4,4
73,3
17,00
2
4,4
17,8
41,00
2
4,4
77,8
19,00
1
2,2
20,0
42,00
2
4,4
82,2
20,00
1
2,2
22,2
45,00
2
4,4
86,7
21,00
3
6,7
28,9
46,00
1
2,2
88,9
24,00
1
2,2
31,1
48,00
2
4,4
93,3
25,00
3
6,7
37,8
50,00
1
2,2
95,6
28,00
2
4,4
42,2
52,00
1
2,2
97,8
29,00
1
2,2
44,4
58,00
1
2,2
100,0
Ogółem:
45
100,0
Z powyŜszego zestawienia wynika, iŜ dominanta dla wieku wynosi 36 lat. Do takiego wieku
przyznało się 5 ankietowanych (11,1 %).
Mediana – czyli pomiar środkowy jest równa
wartości 35 lat. Połowa badanych ma 35 lat lub mniej, a druga połowa 35 lat i więcej.
Z tabeli odczytujemy równieŜ kwartale. Wynoszą one odpowiednio 21 lat (Q1) i 41
lat (Q3). Obliczamy równieŜ odchylenie ćwiartkowe i pozycyjny współczynnik
zmienności:
Dla wieku – zmiennej ilorazowej – musimy obliczyć takŜe średnią i odchylenie
standardowe. W tym celu sumujemy wartości pomiarów i ich kwadratów:
lp
x
x
2
)
(
x
x
−
2
)
(
x
x
−
3
)
(
x
x
−
4
)
(
x
x
−
1
52
2704
20,22
408,85
8266,91
167157,01
2
19
361
-12,78
163,33
-2087,34
26676,17
3
20
400
-11,78
138,77
-1634,69
19256,67
4
21
441
-10,78
116,21
-1252,73
13504,39
5
21
441
-10,78
116,21
-1252,73
13504,39
6
21
441
-10,78
116,21
-1252,73
13504,39
7
17
289
-14,78
218,45
-3228,67
47719,70
8
15
225
-16,78
281,57
-4724,72
79280,76
9
14
196
-17,78
316,13
-5620,76
99937,17
10
15
225
-16,78
281,57
-4724,72
79280,76
11
16
256
-15,78
249,01
-3929,35
62005,18
12
12
144
-19,78
391,25
-7738,89
153075,31
13
17
289
-14,78
218,45
-3228,67
47719,70
14
11
121
-20,78
431,81
-8972,98
186458,49
15
35
1225
3,22
10,37
33,39
107,50
16
25
625
-6,78
45,97
-311,67
2113,09
17
28
784
-3,78
14,29
-54,01
204,16
18
25
625
-6,78
45,97
-311,67
2113,09
19
34
1156
2,22
4,93
10,94
24,29
20
37
1369
5,22
27,25
142,24
742,48
21
24
576
-7,78
60,53
-470,91
3663,69
22
28
784
-3,78
14,29
-54,01
204,16
23
36
1296
4,22
17,81
75,15
317,14
24
48
2304
16,22
263,09
4267,29
69215,51
25
42
1764
10,22
104,45
1067,46
10909,47
26
36
1296
4,22
17,81
75,15
317,14
27
37
1369
5,22
27,25
142,24
742,48
10
2
21
41
2
1
3
=
−
=
−
=
Q
Q
Q
29
,
0
35
10
=
=
=
Me
Q
Q
V
28
45
2025
13,22
174,77
2310,44
30543,99
29
41
1681
9,22
85,01
783,78
7226,43
30
58
3364
26,22
687,49
18025,95
472640,30
31
29
841
-2,78
7,73
-21,48
59,73
32
50
2500
18,22
331,97
6048,46
110203,02
33
45
2025
13,22
174,77
2310,44
30543,99
34
48
2304
16,22
263,09
4267,29
69215,51
35
46
2116
14,22
202,21
2875,40
40888,24
36
25
625
-6,78
45,97
-311,67
2113,09
37
35
1225
3,22
10,37
33,39
107,50
38
38
1444
6,22
38,69
240,64
1496,79
39
36
1296
4,22
17,81
75,15
317,14
40
42
1764
10,22
104,45
1067,46
10909,47
41
41
1681
9,22
85,01
783,78
7226,43
42
35
1225
3,22
10,37
33,39
107,50
43
36
1296
4,22
17,81
75,15
317,14
44
36
1296
4,22
17,81
75,15
317,14
45
38
1444
6,22
38,69
240,64
1496,79
suma:
1430
51858
0,00
6415,78
2142,91 1885484,51
ś
rednia
31,78
Wartość średnią obliczamy ze wzoru:
Odchylenie standardowe obliczymy natomiast w następujący sposób:
NaleŜy zwrócić uwagę, iŜ podany wyŜej wzór na odchylenie ma w mianowniku
wartość N-1 – jest to bowiem estymator odchylenia standardowego (estymator,
czyli statystyka słuŜąca do szacowania wartości statystyki w populacji). Wartość ta
róŜni się od wartości statystyki w próbie, którą obliczalibyśmy korzystając ze wzorów:
lub
W przypadku korzystania z drugiego wzoru wykorzystalibyśmy sumę kwadratów
poszczególnych pomiarów obliczoną w trzeciej kolumnie powyŜszej tabeli.
78
,
31
45
1430
1
=
=
=
∑
=
N
X
X
N
i
i
08
,
12
1
45
78
,
6415
1
)
(
2
=
−
=
−
−
=
∑
N
X
X
s
N
X
X
s
∑
−
=
2
)
(
2
2
−
=
∑
∑
N
X
N
X
s
Obliczone wartości pozwolą nam na obliczenie współczynnika zmienności dla danych
interwałowych:
Obliczona wartość współczynnika pozwala ocenić zmienność cechy, którą w tym
przypadku naleŜy określić jako niewielką.
Kolejne kolumny tabeli zawierające róŜnicę między pomiarem a średnią podniesione
do kolejnych potęg posłuŜą do obliczenia statystyk opisowych nazywanych
momentami średniej.
Pierwszy moment, to
0
)
(
1
=
−
=
∑
N
X
X
m
Jak wiadomo suma róŜnic poszczególnych pomiarów od średniej zawsze jest równa
zero.
Drugi moment ma wartość:
57
,
142
45
78
,
6415
)
(
2
2
=
=
−
=
∑
N
X
X
m
,
trzeci :
62
,
47
45
91
,
2142
)
(
3
3
=
=
−
=
∑
N
X
X
m
,
zaś czwarty analogicznie:
66
,
41899
45
1885484,51
)
(
4
4
=
=
−
=
∑
N
X
X
m
Trzeci i czwarty moment zostaną uŜyte do obliczenia skośności i kurtozy rozkładu –
niezbędnych elementów opisu statystycznego zmiennej interwałowej.
Skośność obliczamy ze wzoru:
03
,
0
57
,
142
57
,
142
62
,
47
2
2
3
1
=
=
=
m
m
m
g
Interpretując skośność naleŜy pamiętać, iŜ bezwzględna wartość skośności
dwukrotnie większa od swego błędu standardowego jest wskaźnikiem odejścia od
symetrii rozkładu. Dlatego naleŜy obliczoną wartość skośności porównać z błędem
standardowym skośności (SES), który obliczymy następująco:
38
,
0
78
,
31
08
,
12
=
=
=
x
s
v
[
]
35
,
0
48
*
46
*
43
44
*
45
*
6
)
3
)(
1
)(
2
(
)
1
(
6
=
=
+
+
−
−
=
n
n
n
n
n
SES
0,03 < 2*0,35
W naszym przykładzie bezwzględna wartość skośności nie przekracza
podwojonego błędu standardowego, zatem rozkład NIE JEST skośny.
Opierając się na wartościach czwartego i drugiego momentu obliczymy kurtozę:
94
,
0
)
57
,
142
(
66
,
41899
3
2
2
2
4
2
−
=
=
−
=
m
m
g
Podobnie jak w omawianym wyŜej sposobie interpretowania skośności uzyskany
wynik kurtozy naleŜy porównać z podwojonym błędem standardowym kurtozy (SEK).
69
,
0
50
*
42
1
2025
35
,
0
*
2
)
5
)(
3
(
1
*
2
2
=
−
=
+
−
−
=
n
n
n
SES
SEK
||||
-0,94
||||
< 2*0,69
W przypadku naszych danych bezwzględna wartość kurtozy jest mniejsza od
podwojonego błędu standardowego kurtozy, rozkład jest zatem mezokurtyczny.
Przed rozpoczęciem wykreślania histogramu naleŜy pogrupować dane ilościowe w
przedziały. Optymalną liczbę przedziałów klasowych dla naszych danych
wyznaczamy według następującego algorytmu:
1. Odszukujemy pomiar największy i najmniejszy
x
min
= 11
x
max
= 58
2. Wyznaczamy rozstęp (R)
R = x
max
– x
min
= 58-11 = 47
3. Wyznaczamy liczbę przedziałów (k)
k = 1 + 3,322 log n
n = 45 (liczba badanych)
log = logarytm przy podstawie 10 (liczy ten logarytm m.in. kalkulator w
„akcesoriach” w Windows)
k = 1 + 3,322 log 45 =
= 1 + 3,322 x 1,653 =
= 1 + 5,491 = 6,491
Zaokrąglamy wynik do najbliŜszej liczby całkowitej
: k = 6
4. Wyznaczamy szerokość przedziału (d)
d = R / k = 47/6 = 7,83
Wynik zaokrąglamy w górę:
d = 8
5. Granice przedziałów umieszcza się zwykle w połowie jednostki pomiarowej .
Tak więc w naszym przypadku dolna granica pierwszego przedziału wyniesie
10,5 (pomiar wieku został wykonany z dokładnością do 1 roku)
skumulowane
granice przedziałów
n
%
n cum % cum
10,5
18,5
8
17,78
8
17,78
18,5
26,5
9
20,00
17
37,78
26,5
34,5
4
8,89
21
46,67
34,5
42,5
16
35,56
37
82,22
42,5
50,5
6
13,33
43
95,56
50,5
58,5
2
4,44
45
100,00
suma
45
100
Na podstawie powyŜszej tabeli moŜemy narysować histogram ilustrujący liczebności
w poszczególnych przedziałach:
Łącząc ze sobą środki górnych boków histogramu otrzymujemy wielobok liczebności.
Pole
powierzchni
tej
figury
jest
równe
polu
powierzchni
kolumn
histogramu.