Wzór Taylora

Gdy f jest (n + 1)– krotnie różniczkowalna, to

f (x) = f (a) +

f

0

(a)

1!

(x − a) +

f

00

(a)

2!

(x − a)

2

+ · · · +

f

(n)

(a)

n!

(x − a)

n

+ R

n

,

gdzie R

n

=

f

(n+1)

(z)

(n + 1)!

(x − a)

n+1

, dla pewnego z leżącego między x i a.

Oszacowanie Peano: Gdy f jest n–krotnie różniczkowalna i f

(n)

jest ciągła w punkcie

a, to R

n

ze wzoru Taylora jest o



(x − a)

n



, to znaczy lim

x→a

R

n

(x − a)

n

= 0.

Zadanie 1. Rozwinąć funkcję f (x) w punkcie a z dokładnością do o



(x − a)

n



dla:

1. f (x) = sin

2

(5x), a =

π

20

, n = 2;

2. f (x) = ln






x

1 − x






, a =

1

2

, n = 3;

3. f (x) = arcsin x, a = 0, n = 3;

4. f (x) = ln |1 +

√

1 + x

2

|, a = 0, n = 3;

5. f (x) = e

x

2

−x

, a = 0, n = 4.

1