Temat VI – równania różniczkowe

-

wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

Na zaj¸

eciach rozwi¸

ażemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwi¸

azane na tablicy należy przerobić

samemu w domu.

Zadanie 1.

Sprawdź, czy dane funkcje s¸a rozwi¸azaniami podanych równań różniczkowych:

(a) y = x · e

−

1

x

, x

3

y

′′

− xy

′

+ y = 0

(b) y =

sin x

x

, y

′

=

cos x−y

x

(c) x(t) =

√

4 − t

2

, x · x

′

= t

(d*) sprawdź, że całk¸a ogóln¸a równania y

′

=

2x+y
x−2y

jest rodzina krzywych danych równaniem:

ln(x

2

+ y

2

) − arctg(

y
x

) + C = 0

Zadanie 2.

Rozwi¸aż równania różniczkowe metod¸a bezpośredniego całkowania:

(a) y

′

= cos

3

x

(b) y

′′

=

−1

sin

2

x

, y

(

π

4

) =

− ln 2

2

, y

′

(

π

4

) = 2

(c) y

′

=

1

1+

√

x

, y

(1) = 0

(d) y

′′

= e

x

+

2
7

x

−

5
4

(e) y

′′′

= 2x + 4, y

′

(0) = 1, y

′′

(0) = 3, y(0) = 2

(f ) y

′′

= (

1
2

)

x

, y

(0) = 1, y(1) = 2

Zadanie 3.

Rozwi¸aż równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:

(a) y

′

=

y

+1

x

+1

(b) y

2

·

dy
dx

= x

(c)

dy
dx

= e

2x+y

(d)

xy

x

+1

=

dy
dx

(e) x ·

dy
dx

= y

2

+ 1

(f ) (1 + x

2

)

dy
dx

= −xy

(g) y

3

·

dy
dx

= x

3

(h)

dx
dy

=

y

+1

x

+1

(i) 3x · y

′

= 2y

(j) x

2

· y

′

− y = 0

(k) y

′

= e

x−y

(l) y

′

= (

y
x

)

3

(m)

xy

x

+1

=

dx
dy

(n) x ·

dx
dy

= y − 1

(o) y

2

+ 2x

2

· y

′

= 0

(p) y

′

= (x + 1)

2

y

2

(q∗) y

′

+ sin

x

+y

2

= sin

x−y

2

(r) x(y

2

− 1)dx + y(x

2

− 1)dy = 0

(s∗) e

−s

(1 +

ds

dt

) = 1

(t) y

′

+ ytg x = y

(u) e

y

dx

+ x

2

(2 + e

y

)dy = 0

Zadanie 4.

Rozwi¸aż równania różniczkowe jednorodne:

(a) y

′

=

y
x

+ tg

y
x

(b) x · y

′

= y(1 + ln y − ln x) (c) x − y · cos

y
x

+ x · y

′

· cos

y
x

= 0

(d) 2x

2

y

′

= x

2

+ y

2

(e) y

′

=

x−2y

x

(f ) xy

′

= y + x

x

√

e

y

(g) xy

′

− y = (x + y) ln

x

+y

x

(h) x

2

y

′

= xy + 4x

2

+ 4y

2

(i∗) y

′

=

y

+

√

x

2

+y

2

x

(j) y

′

=

2x+y
x−2y

Zadanie 5.

Rozwi¸aż równania postaci y

′

= f (ax + by + c):

(a) y

′

= cos

2

(x + y) (b) y

′

=

1

y

+x−1

(c) y

′

= (y − x)

2

(d) y

′

=

√

4y − x (e) y

′

= (4x + y)

−2

Zadanie 6.

Rozwi¸aż zagadnienie pocz¸atkowe Cauchy’ego. Dobierz odpowiedni¸a metod¸e wyznaczenia całki

ogólnej.

(a) y = y

′

cos

2

x

ln y, y(π) = 1

(b) xy

′

= 3y + 2x, y(1) = 0

(c) sin x cos 2ydx + cos x sin 2ydy = 0, y(0) =

π

2

(d) y − xy

′

=

x

cos(

y

x

)

, y

(1) =

π

4

Zadanie 7.

Rozwi¸aż równania liniowe metod¸a czynnika całkuj¸acego:

(a) y

′

+ y = e

−x

(b) xy

′

+ 2y = 10x

2

(c) xy

′

− y = x

2

(d) xy

′

− 2y = x

4

sin x

(e) xy

′

− 2y = x

2

(f ) y

′

+ yctg x = cos x

(g) (x

2

− 1)y

′

+ 2xy = x

(h) y

′

−

2y

x

+1

= (x + 1)

3

(i) y

′

−

2x+1

x

2

· y = e

−

1

x

(j) x

2

· y

′

+ y = e

1

x

· x

2

(k) y

′

+ y sin x = sin x

(l) x

2

y

′

− y = x

2

e

x

−1

x

(m) y

′

− 4y = (2x

2

+ 1)e

4x

(n) y

′

+

xy

1+x

2

=

1

x

√

1+x

2

(o) x(x − 1)y

′

+ y = x

2

Temat VI – równania różniczkowe

-

wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

Zadanie 8.

Rozwi¸aż 10 dowolnych przykładów z Zadania 7 metod¸a uzmienniania stałej.

Zadanie 9.

Rozwi¸aż zagadnienie pocz¸atkowe Cauchy’ego:

(a) y

′

+ ytg x = cos

2

x

, y(

π

4

) = 0.5 (b) y

′

+

x

+1

x

y

= 3xe

−x

, y(1) = 0

Zadanie 10.

Rozwi¸aż równania sprowadzalne do równań pierwszego rz¸edu:

(a) y

′′

+ y

′

tg x = sin 2x (b) xy

′′

= y

′

ln

y

′

x

′

(c) xy

′′

− y

′

= x

2

(d) y

′′

x

ln x = y

′

(e) y · y

′′

= (y

′

)

2

(f ) 2y · y

′′

− (y

′

)

2

= 1

(g) (y − 1)y

′′

= 2(y

′

)

2

(h) (1 + x

2

)y

′′

+ 2xy

′

=

2

x

3

, y

(1) = 1, y

′

(1) = −

1
2

Zadanie 11.

Rozwi¸aż równania Bernoulliego:

(a) y

′

+ xy − xy

3

= 0

(b) y

′

−

xy

2(x

2

−1)

=

x

2y

(c) y

′

+ 2xy = 2x

3

y

3

(d) y

′

+ y = xy

−6

(e) xy

′

− 4y = x

2

√y (f) y

′

+ y − xy

4

= 0

Zadanie 12.

Rozwi¸aż równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:

(a) y

′′

− y

′

− 2y = 0

(b) y

′′

− 6y

′

+ 13y = 0

(c) 4y

′′

− 12y

′

+ 9y = 0

(d) y

′′

− y = 0

(e) y

′′

+ 4y

′

+ 4 = 0

(f ) y

′′

+ 2y

′

+ 5y = 0

(g) y

′′′

+ y = 0

(h) y

′′′

+ y

′′

− 6y

′

= 0

(i) y

(4)

− 8y

′

= 0

(j) y

(4)

+ 5y

′′

+ 4y = 0

(k) y

(4)

− 16y = 0

(l) y

′′′

+ 2y

′′

− y

′

− 2y = 0

(m) y

′′′

+ y

′′

= 3y

′

− 5y = 0

(n) y

(4)

+ y

′′′

− 2y

′′

= 0

(o∗) y

(4)

+ 4y

′′′

+ 8y

′′

+ 8y

′

+ 4y = 0

Zadanie 13.

Rozwi¸aż zagadnienie pocz¸atkowe Cauchy’ego:

(a) y

′′

− 3y

′

= 0, y(0) = 2, y

′

(0) = 1

(b) 3y

′′′

+ 5y

′′

+ y

′

− y = 0, y(0) = 0, y

′

(0) = 1, y

′′

(0) = −1

(c) y

′′

− 2y

′

+ 5y = 0, y(0) = 0, y

′

(0) = 1 (d) y

′′′

+ 9y

′

= 0, y(

π

3

) = 2, y

′

(

π

3

) = 3, y

′′

(

π

3

) = 9

Zadanie 14.

Rozwi¸aż równania liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach metod¸a przewidywań:

(a) y

′′

− 2y

′

− 3y = 6

(b) y

′′

+ 5y

′

+ 6y = 2x

(c) y

′′

− y = e

x

(d) y

′′

− 2y

′

+ y = e

x

(e) y

′′

+ 3y

′

+ 2y = 10 cos 2x (f ) y

′′

− y = e

x

+ sin x

(g) y

′′

+ 2y

′

+ y = x

2

e

−x

(h) y

′′

− 4y

′

+ 3y = e

2x

sin x

(i) y

′′

+ 3y

′

− 4y = e

−4x

+ xe

−x

(j) y

′′′

+ y

′′

− 2y

′

= 4x

(k) y

′′′

+ 2y

′

= e

x

(l) y

′′′

+ y

′′

+ y

′

+ y = xe

−x

(m) y

(4)

+ y

′′′

− y

′′

− y

′

= x

2

(n) y

(4)

+ 5y

′′

+ 4y = sin 3x

(o) y

′′′

+ 2y

′′

− y

′

− 2y = 2x − e

−x

(p) y

(4)

+ y

′′′

= 4 + cos 4x

Zadanie 15.

Rozwi¸aż zagadnienie pocz¸atkowe Cauchy’ego:

(a) y

′′

− 4y = 4x

2

+ 2

y

(0) = 0, y

′

(0) = 2

(b) y

′′

− 4y

′

+ 4y = e

2x

y

(0) = 2, y

′

(0) = 8

(c) y

′′′

+ 2y

′′

+ y

′

= −2e

−2x

y

(0) = 2, y

′

(0) = 1, y

′′

(0) = 1

Zadanie 16.

Rozwi¸aż równania liniowe niejednorodne metod¸a uzmienniania stałych:

(a) y

′′

− 2y

′

+ y =

e

x

x

, (b) y

′′

+ y = tg x,

(c) y

′′

+ y =

2

cos

3

x

, (d) y

′′

− 2y

′

+ y = e

x

arctg x

Sporz¸

adzaj¸

ac list¸

e zadań korzystałam z materiałów własnych oraz z materiałów dr J. Dymkowskiej i mgr. W.

Gr¸

aziewicza.