metody numeryczne i w7

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-1

Wyznaczanie zer wielomianów

1 Metoda Maehly’ego

0

)

(

=

x

P

)

(

'

)

(

1

i

i

i

i

x

P

x

P

x

x

=

+

wyznaczamy zero z

1

Powinniśmy wyznaczyć współczynniki wielomianu

1

1

)

(

)

(

z

x

x

P

x

P

=

i prowadzić iteracje

wg

)

(

'

)

(

1

1

1

i

i

i

i

x

P

x

P

x

x

=

+

. Zamiast tego:

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

'

)

(

'

z

x

x

P

z

x

x

P

x

P

=

1

1

1

1

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

z

x

x

P

x

P

x

P

x

x

P

x

P

x

x

i

i

i

i

i

i

i

i

i

=

=

+

Po wyznaczeniu zer z

1

, z

2

, ...z

j

=

+

=

j

k

k

i

i

i

i

i

i

z

x

x

P

x

P

x

P

x

x

1

1

)

(

)

(

'

)

(

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-2

2 Metoda Lehmera-Shura
Kryterium sprawdzające istnienie zera w kole jednostkowym:

0

1

1

1

a

z

a

z

a

z

a

)

z

(

f

n

n

n

n

+

+

+

+

=

"

n

n

n

n

*

a

z

a

z

a

z

a

)

z

(

f

+

+

+

+

=

1

1

1

0

"

,

)

a

Im(

j

)

a

Re(

a

=

)

z

(

f

a

)

z

(

f

a

)]

z

(

f

[

T

:

]

[

T

*

n

=

0

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

n

n

*

n

a

a

a

a

a

a

)

(

f

a

)

(

f

a

)]

(

f

[

T

=

=

=

)]

z

(

f

[

T

[

T

)]

z

(

f

[

T

,

)],

z

(

f

[

T

[

T

)]

z

(

f

[

T

j

j

1

2

=

=

"

A) Czy

0

0

=

)

(

f

? TAK, to perwiastek=0, NIE to B)

B) Czy

0

0

<

)]

(

f

[

T

TAK, pierwiastek w kole jednostkowym, NIE to C)

C) Obliczyć

k

,

,

,

j

)],

z

(

f

[

T

j

"

2

1

=

aż do uzyskania

0

0

<

)]

(

f

[

T

k

(wtedy istnieje pierwiastek w kole jednostkowym)

lub

0

0

=

)]

(

f

[

T

k

(wtedy żaden pierwiastek nie leży wewnątrz koła

jednostkowego, jeśli

)]

z

(

f

[

T

k 1

jest stałą)

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-3

Jeżeli wielomian

)

z

(

f

ma zero wewnątrz koła

r

c

z

=

, to wielomian

)

c

rz

(

f

)

z

(

g

+

=

ma zero wewnątrz koła jednostkowego (

)

z

(

g

może

mieć współczynniki zespolone).

-2

-1

0

1

2

3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

R
..... 2R

oooooooo

7

0

8

2

3

4

,...,

k

,

e

)

/

cos(

R

/

k

j

=

π

π

.........

5

4R

........

10

4R

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-4

Dzielenie wielomianów

Czynnik liniowy:

)

z

(

R

)

b

z

b

z

b

z

b

)(

z

z

(

a

z

a

z

a

z

a

)

z

(

f

n

n

n

n

n

n

n

n

0

0

1

2

2

1

1

0

0

1

1

1

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

=

"

"

0

0

0

0

1

0

1

0

2

1

0

b

z

a

)

z

(

R

,...,

n

,

n

k

,

b

z

a

b

,

b

k

k

k

n

+

=

=

+

=

=

+

+

Czynnik kwadratowy:

)

q

,

r

(

B

z

)

q

,

r

(

A

)

b

z

b

z

b

z

b

)(

q

rz

z

(

a

z

a

z

a

z

a

)

z

(

f

n

n

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

=

0

1

3

3

2

2

2

0

1

1

1

"

"

0

1

0

1

2

1

2

1

0

3

2

0

qb

a

)

q

,

r

(

B

,

qb

rb

a

)

q

,

r

(

A

,...,

n

,

n

k

,

qb

rb

a

b

,

b

b

o

k

k

k

k

n

n

=

=

=

=

=

=

+

+

+

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-5

SCHEMAT i-tej ITERACJI METODY BAIRSTOW’A

i

i

q

q

,

r

r

=

=

Obliczyć

0

1

0

1

2

1

2

1

0

3

2

0

qb

a

)

q

,

r

(

B

,

qb

rb

a

)

q

,

r

(

A

,...,

n

,

n

k

,

qb

rb

a

b

,

b

b

o

k

k

k

k

n

n

=

=

=

=

=

=

+

+

+

Obliczyć

1

0

4

3

0

2

1

1

2

1

=

=

=

=

+

+

+

,

,...,

n

,

n

k

,

qd

rd

b

d

,

d

d

k

k

k

k

n

n

Wartości kolejnego przybliżenia:

+

=

+

+

)

q

,

r

(

B

)

q

,

r

(

A

d

r

d

d

q

d

d

q

r

q

r

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

1

0

1

0

0

1

1

1

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-6

Przykład Wilkinsona

!

x

a

x

)

x

(

)

x

)(

x

(

)

x

(

f

20

20

2

1

19

19

20

+

+

+

=

=

"

"

210

19

=

a

0

5

10

15

20

25

30

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10


210

19

=

a

***

9

19

10

210

+

=

a

**

6

19

10

210

+

=

a

**

3

19

10

210

+

=

a

**

background image

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 6

W7-7

Niech a będzie pojedynczym pierwiastkiem r-nia f(x)=0 i niech x

n

<a zbiega do

a.
Na mocy tw. o wartości średniej istnieje

]

,

[

a

x

c

n

takie, że

)

(

'

)

(

c

f

x

f

a

x

n

n

=

.

Stąd

ε

δ

:

)

(

'

)

(

'

min

)

(

,

=

a

f

c

f

x

f

a

x

a

x

n

n

n

gdzie δ jest dokładnością z jaką obliczamy f(x).
Dla pierwiastków o krotności p mamy:

p

p

a

f

p

1

)

(

)

(

!



=

δ

ε


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody numeryczne w7
metody numeryczne w7
Metody numeryczne w6
metoda siecznych, Elektrotechnika, SEM3, Metody numeryczne, egzamin metody numeryczn
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
METODA BAIRSTOWA, Politechnika, Lab. Metody numeryczne
testMNłatwy0708, WI ZUT studia, Metody numeryczne, Metody Numeryczne - Ćwiczenia
Metody numeryczne Metoda węzłowa
Metody numeryczne, wstep
metody numeryczne w4
Metody numeryczne PDF, MN macierze 01 1
Metody numeryczne w11
metody numeryczne i w9
Metody numeryczne PDF, MN raphson 11

więcej podobnych podstron