Lista Nr

7

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªka nieoznaczona

7.1

Stosuj¡c tablice caªek podstawowych obliczy¢ caªki

1.

∫

(3

− x

2

)

2

dx

;

2.

∫ √

x

− 2

3

√

x

2

+ 1

4

√

x

dx

; 3.

∫ (

1

− x

x

)

2

dx

;

4.

∫

2

x+1

− 5

x

−1

10

x

dx

; 5.

∫ √

x

4

+ x

−4

+ 2

x

2

dx

;

6.

∫ √

1

− sin 2xdx;

7.

∫

tg

2

xdx

;

8.

∫

dx

2 + 3x

2

;

9.

∫

dx

√

2

− 3x

2

;

10.

∫

dx

1 + cos x

;

11.

∫

(e

−x

+ e

−2x

)dx

;

12.

∫

dx

1 + sin x

;

13.

∫

sin

3

x cos x dx

;

14.

∫

2x

√

x

2

+ 1 dx

;

15.

∫

dx

cos

2

x

√

1 + tg x

;

16.

∫

e

sin x

cos x dx

;

17.

∫

e

2x

− 1

e

x

dx

;

18.

∫

x

3

dx

3

√

x

4

+ 1

.

7.2

Przeksztaªcaj¡c wyra»enie podcaªkowe, obliczy¢ caªki

1.

∫

xdx

√

1

− x

2

;

2.

∫

x

2

3

√

1 + x

3

dx

;

3.

∫

dx

√

x(1 + x)

;

4.

∫

xe

x

2

dx

;

5.

∫

e

x

dx

2 + e

x

;

6.

∫

dx

(1 + x)

√

x

;

7.

∫

dx

√

1 + e

2x

;

8.

∫

ln

2

x

x

dx

;

9.

∫

tg xdx

;

10.

∫

dx

(arcsin x)

2

√

1

− x

2

; 11.

∫

sin x

√

cos 2x

dx

;

12.

∫

cos x

√

cos 2x

dx

;

13.

∫

dx

sin

2

x

4

√

Ctg x

;

14.

∫

dx

sin

2

x + 2 cos

2

x

; 15.

∫

dx

sin x

;

16.

∫

dx

ch

2

x

3

√

th

2

x

;

17.

∫

2

x

· 3

x

9

x

− 4

x

dx

;

18.

∫

arctg x

1 + x

2

dx

.

2

Lista Nr

7.

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona

7.3

Obliczy¢ caªki metod¡ podstawienia

1.

∫

x

2

3

√

1

− xdx;

2.

∫

sin x cos

2

x

1 + cos

2

x

dx

; 3.

∫

x

3

(1

− 5x

2

)

10

dx

;

4.

∫

sin

2

x

cos

6

x

dx

;

5.

∫

x

2

√

2

− x

dx

;

6.

∫

ln x

x

√

1 + ln x

dx

;

7.

∫

dx

e

x

2

+ e

x

;

8.

∫

dx

√

1 + e

x

;

9.

∫

cos

5

·

√

sin xdx

;

10.

∫

dx

(1

− x

2

)

3
2

;

11.

∫

x

2

dx

√

x

2

− 2

;

12.

∫ √

a

2

+ x

2

dx

;

13.

∫

x

2

√

a

2

+ x

2

dx

; 14.

∫

arctg

√

xdx

√

x(1 + x)

;

15.

∫

dx

1 + e

x

.

7.4

Caªkuj¡c przez cz¦±ci, obliczy¢ caªki

1.

∫

ln xdx

;

2.

∫

x

3

ch 3xdx

;

3.

∫

arctg xdx

;

4.

∫

x

4

ln xdx

;

5.

∫ (

ln x

x

)

2

dx

;

6.

∫

arcsin xdx

;

7.

∫ √

x ln xdx

;

8.

∫

x arctg xdx

;

9.

∫

xe

−x

dx

;

10.

∫

x

2

arccos xdx

; 11.

∫

x

2

e

−2x

dx

;

12.

∫

arcsin x

x

2

dx

;

13.

∫

x

3

e

−x

2

dx

;

14.

∫

ln

(

x +

√

1 + x

2

)

dx

; 15.

∫

sin (ln x)dx

;

16.

∫

e

x

cos xdx

;

17.

∫

x

cos

2

x

dx

;

18.

∫

ln (sin x)

sin

2

x

dx

.

19.

∫

x sin 2x dx

20.

∫

ln x

x

3

dx

21.

∫

x

2

e

−x

dx

22.

∫

arctg

√

x dx

23.

∫

ln (x + 1) dx

24.

∫

x cos x dx

7.5

Obliczy¢ caªki funkcji wymiernych

1.

∫

2x + 3

(x

− 2)(x + 5)

dx

;

2.

∫

xdx

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

; 3.

∫

x

10

dx

x

2

+ x

− 2

;

4.

∫

xdx

(x

− 1)(x

2

+ 2x + 2)

; 5.

∫

x

2

+ 1

x

3

− 5x

2

+ 6x

dx

;

6.

∫

dx

x(x + 1)(x

2

+ x + 1)

;

7.

∫

x

4

x

4

+ 5x

2

+ 4

dx

;

8.

∫

dx

x

4

+ 1

;

9.

∫

xdx

x

3

− 3x + 2

;

10.

∫

xdx

x

3

− 1

;

11.

∫

x

2

+ 1

(x + 1)

2

(x

− 1)

dx

;

12.

∫

dx

3x

2

− 2x − 1

;

7.7.

Obliczy¢ caªki funkcji trygonometrycznych

3

13.

∫

(x + 1)dx

x

2

+ x + 1

;

14.

∫

xdx

x

6

− 1

;

15.

∫

dx

x(x

10

+ 2)

.

16.

∫

x

(x + 1)(2x + 1)

dx

17.

∫

2x

− 1

(x

− 3)(3x + 2)

dx

18.

∫

2x

(x + 3)(5x

− 2)

dx

19.

∫

2x

− 5

x

2

− 5x + 6

dx

20.

∫

dx

x(x

2

+ 1)

21.

∫

xdx

x

2

− 3x + 2

7.6

Obliczy¢ caªki funkcji niewymiernych

1.

∫

dx

1 +

√

x

;

2.

∫

1

−

√

x + 1

1 +

√

x + 1

dx

;

3.

∫

dx

x(1 + 2

√

x +

3

√

x)

;

4.

∫

dx

√

x (1 +

4

√

x)

2

;

5.

∫

x

3

√

2 + x

x +

3

√

2 + x

dx

;

6.

∫ √

x + 1

−

√

x

− 1

√

x + 1 +

√

x

− 1

dx

;

7.

∫

dx

x +

√

x

2

+ x + 1

;

8.

∫

dx

1 +

√

1

− 2x − x

2

;

9.

∫

x

−

√

x

2

+ 3x + 2

x +

√

x

2

+ 3x + 2

dx

;

10.

∫

dx

(x

− 1)

2

√

x

2

+ 3x + 1

; 11.

∫

dx

(x + 1)

3

√

x

2

+ 2x

;

12.

∫ √

x

2

+ 2x + 2

x

dx

;

13.

∫

x

2

√

1 + x + x

2

dx

;

14.

∫

dx

(x + 1)

√

x

2

+ x + 1

; 15.

∫

xdx

(x + 1)

√

1

− x − x

2

;

16.

∫

dx

(1

− x)

2

√

1

− x

2

;

17.

∫

1

− x + x

2

√

1 + x

− x

2

dx

;

18.

∫

xdx

(x

− 1)

2

√

1 + 2x

− x

2

;

19.

∫ √

x

3

+ x

4

dx

;

20.

∫

dx

4

√

1 + x

4

;

21.

∫

√

x

(1 +

3

√

x)

2

dx

;

22.

∫

x

5

dx

√

1

− x

2

;

23.

∫

3

√

3x

− x

3

dx

;

24.

∫

dx

3

√

1 + x

3

.

7.7

Obliczy¢ caªki funkcji trygonometrycznych

1.

∫

cos

5

xdx

;

2.

∫

sin

4

xdx

;

3.

∫

sin

5

x cos

3

xdx

;

4.

∫

sin

2

x

cos

4

x

dx

;

5.

∫

dx

cos

2

x

;

6.

∫

sin

4

x cos

5

xdx

;

7.

∫

dx

sin

4

x cos

4

x

;

8.

∫

dx

sin

3

x cos

5

x

;

9.

∫

dx

cos x

3

√

sin

2

x

;

10.

∫

dx

√

tg x

;

11.

∫

Ctg

6

xdx

;

12.

∫

dx

3

√

tg x

;

13.

∫

dx

2 sin x

− cos x + 5

; 14.

∫

dx

(2 + cos x) sin x

; 15.

∫

sin x cos x

sin x + cos x

dx

;

16.

∫

sin

2

xdx

1 + sin

2

x

;

17.

∫

dx

sin

4

x + cos

4

x

;

18.

∫

sin x cos x

1 + sin

4

x

dx

4

Lista Nr

7.

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona

7.8

Obliczy¢ caªki funkcji przest¦pnych

1.

∫

xe

x

sin xdx

;

2.

∫

x

7

e

−x

2

dx

;

3.

∫

x

2

e

√

x

dx

;

4.

∫

e

2x

1 + e

x

dx

;

5.

∫ √

e

2x

+ 4e

x

− 1dx; 6.

∫

dx

√

1 + e

x

+

√

1

− e

x

;

7.

∫

ln (

√

1

− x +

√

1 + x)dx

; 8.

∫

x arcsin (1

− x)dx;

9.

∫

sh

2

x ch

2

xdx

;

10.

∫

dx

sh x + 2 ch x

;

11.

∫

sh

3

xdx

;

12.

∫

ch

4

xdx

;

13.

∫

ch xdx

3 sh x

− 4 ch x

;

14.

∫

th xdx

;

15.

∫

x arctg x

√

1 + x

2

dx

;

16.

∫ √

1

− x

2

arcsin xdx

;

17.

∫

x

4

arctg x

1 + x

2

dx

;

18.

∫

arcsin

√

xdx

;

19.

∫

x arccos

1

x

dx

;

20.

∫

x ln

1 + x

1

− x

dx

;

21.

∫

Cth

2

xdx

.