Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej
zmiennej
5.0.1 Obliczanie pochodnej funkcji
Pochodne funkcji podstawowych
1.
f ( x) = xα
f ′( x) = α xα−1
1
2.
f ( x) = log x
f ′( x) =
a
x ln a
1
2'.
f ( x) = ln x
f ′( x) = x
3.
f ( x) = ax
f ′( x) = ax ln a
3'.
f ( x) = ex
f ′( x) = ex
4.
f ( x) = sin x
f ′( x) = cos x
5.
f ( x) = cos x
f ′( x) = − sin x
1
6.
f ( x) = tg x
f ′( x) = cos2 x
1
7.
f ( x) = Ctg x
f ′( x) = − sin2 x
1
8.
f ( x) = arcsin x
f ′( x) = √1 − x2
1
9.
f ( x) = arccos x
f ′( x) = − √1 − x2
1
10.
f ( x) = arctg x
f ′( x) = 1 + x2
1
11.
f ( x) = arcCtg x
f ′( x) = − 1 + x2
Lista Nr 5. Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Reguªy ró»niczkowania
pochodna sumy (ró»nicy) dwóch funkcji
( f ( x) ± g( x)) ′ = f ′( x) ± g′( x) pochodna iloczynu dwóch funkcji
( f ( x) g( x)) ′ = f ′( x) g( x) + f ( x) g′( x) pochodna ilorazu dwóch funkcji
(
)
f ( x) ′
f ′( x) g( x) − f ( x) g′( x)
=
( g( x) ̸= 0)
g( x)
g2( x)
Wniosek
Poniewa» f( x) ≡ C = const: f′( x) = ( C) ′ = 0 , wi¦c: ( C g( x)) ′ = C g′( x) Pochodna funkcji zªo»onej
( f ( φ( x))) ′ = f ′( φ( x)) φ′( x) Obliczy¢ pochodn¡ funkcji:
√
√
1.
x
y = 3 x 2 − 5 x + 1; 2. y = 3 x + 3 2;
3. y =
;
x 2 + 1
(
)
√
4.
1
1 − x 3
1
y =
;
5. y = √
;
6. y = ( x + 1) √ − 1 ;
x 2 + x + 1
π
x
√
√
7.
2
1
y =
;
8. y = 1 − x 2;
9. y = 3
;
( x 2 − x + 1)2
1 + x 2
10.
x
x sin x
y = sin x + cos x;
11. y =
;
12. y =
;
1 − cos x
1 + tg x
√
13.
1
y = cos2 x;
14. y = sin ;
15. y = Ctg 3 1 + x 2;
x
√
√
16.
1 −
x
y = cos2
√ ;
17. y = sin2 (cos 3 x);
18. y = sin 1 + x 2;
1 +
x
√
19. y = x arcsin x;
20. y = x arctg x;
21. y = x · sin x · arctg x; 22.
arccos x
arcsin x
2 x − 1
y =
;
23. y = √
;
24. y = arccos √
;
x
1 − x 2
3
√
√
√
25.
1
1 − x
1
y = arctg2
;
26. y = arcsin
; 27. y = 4 arcsin x 2 + 2 x; x
1 + x
2
(
√
)
28.
ln x
y = arctg x −
1 + x 2 ;
29. y = ln2 x;
30. y =
;
1 + x 2 √
31. y = ln ( x 2 − 4 x); 32. y = ln sin x;
33. y = ln arctg 1 + x 2;
34.
1
ex
y =
;
35. y = ex cos x;
36. y =
;
3 x
sin x
√
37.
cos x
y =
;
38. y = e−x;
49. y = 1 + ex;
ex
√
40. y = e 1+ x;
41. y = 3sin x;
42. y = xex(cos x + sin x); 43. y = 23 x;
44. y = sh3 x;
45. y = ch (sh x);
46. y = x sh x − ch x; 47. y = th(ln x);
48. y = e ch2 x;
49. y = (sin x)cos x;
50. y = x 3 ex 2 sin 2 x; 51. y = x ln x;
52.
1
y = √
√ ;
53. y = e−x 2 ln x;
54. y = sin2 x sin x 2;
3 x +
x
√
55.
x +
1 − x 2
1
arcsin 4 x
y = ln
;
56. y = √
;
57. y =
;
x
1 + sin 2 x
1 − 4 x
58.
x
1
y = 2 ln x ;
59. y = xe 1 − cos x; 60. y = ln arctg
;
1 + x
61.
1
ex 2
y = ex sin x cos3 x; 62. y =
; 63. y =
;
cos ( x − cos x)
ex + e−x
64.
x
1
y = ln tg
− Ctg x ln (1 + sin x) − x; 65. y = x 3 arctg x 3; 66. y =
;
2
tg2 x 2
67.
1
ln sin x
y = 10 x tg x;
68. y =
;
69. y =
.
arctg e− 2 x
ln cos x
Zakªadaj¡c, »e funkcje f i g maj¡ pochodne wªa±ciwe na wspólnym przedziale, obliczy¢ pochodne podanych funkcji:
f ( x)
1. y = f( x) cos g( x); 2. y = arctg f( x) g( x); 3. y = e g( x) ;
(
)
4. y = ln f( x) g( x) + 1 ; 5. y = sin f( x) g( x); 6. y = ( f( x)) g( x); 7.
f ( x)
y = tg
;
8. y = f( x) arctg g( x); 9. y = log g( x);
g( x)
f ( x)
5.0.2 Pochodna funkcji parametrycznej
Obliczy¢ y′ funkcji parametrycznej w zadanych punktach: x
{
x = t ln t,
w punkcie
x = t( t cos t − 2 sin t) , w punkcie
ln t
t 0 = 1;
t 0 = π/ 4;
y =
;
y = t( t sin t + 2 cos t); t
{
3 t
x =
,
x = et cos t,
w punkcie
1 + t 2
t 0 = π/ 6;
w punkcie t 0 = 2 .
y = et sin t;
3 t 2
y =
;
1 + t 2
5.0.3 Interpretacja pochodnej funkcji
5.0.3-1. Zale»no±¢ drogi od czasu w ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym wyra»a si¦ wzorem s( t) = s 0 +
v 0 t + 1 at 2, przy czym s 2
0, v 0 i a s¡ to staªe. Obliczy¢ pr¦dko±¢ chwilow¡ w tym ruchu.
5.0.3-2. Ruch drgaj¡cy punktu mo»na opisa¢ wzorem x = a sin ωt, gdzie a i ω s¡ to staªe. Obliczy¢ pr¦dko±¢ chwilow¡
w tym ruchu dla t = 0, π , π , 3 π , 2 π . Sporz¡dzi¢ wykres funkcji x = x( t) i jej pochodnej.
2 ω ω 2 ω
ω
5.0.3-3 Je»eli przez cewk¦ pªynie pr¡d o nat¦»eniu i = i( t), to indukuje si¦ w niej siªa elektromotoryczna e = e( t) wprost proporcjonalna do pr¦dko±ci zmiany pr¡du:
d i
e = L
, gdzie L oznacza tzw. Wspóªczynnik samoindukcji. Niech d t
i = Im sin ω t. Obliczy¢ e( t), a nast¦pnie sporz¡dzi¢ wykresy funkcji i = i( t) oraz e = e( t).
5.0.4 Równanie stycznej
Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji f( x) w punkcie x 0, je±li: 1 .
f ( x) = x 2 − 5 x + 2 , x 0 = − 1; 2 . f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 3 , x 0 = − 2;
Lista Nr 5. Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
√
3 .
f ( x) =
x, x 0 = 4;
4 .
f ( x) = tg 2 x, x 0 = 0;
5 .
f ( x) = ln x, x 0 = 1;
6 .
f ( x) = e 1 −x 2 , x 0 = − 1 .
Napisa¢ równania stycznej i normalnej do linii o równaniu parametrycznym w danym punkcie t 0:
{
{
1. x = 2 et,
gdzie
x = sin t,
π
t 0 = 0;
2.
gdzie t 0 = ;
y = e−t,
y = cos 2 t,
6
{
3 at
x =
,
1 + t 2
3. x = 2 ln Ctg t + 1 ,
gdzie
π
t 0 =
;
4.
gdzie t 0 = 2;
y = tg t + Ctg t,
4
3 at 2
y =
,
1 + t 2
{
{
5. x = t( t cos t − 2 sin t) , gdzie
π
x = sin t,
t 0 =
; 6.
gdzie t 0 = 0.
y = t( t sin t + 2 cos t) , 4
y = at,
5.0.5 Ró»niczka funkcji
Obliczy¢ ró»niczk¦ funkcji:
1.
1
1
x
y =
;
2. y = arctg
( a ̸= 0);
x
a
a
√
3.
1
x − a
y =
ln
x 2 + a|;
2 a
x + a; 4. y = ln |x +
5.
x
ln x
y = arcsin
;
6. y = √ .
a
x
Zakªadaj¡c, »e funkcje u, v, w s¡ ró»niczkowalne we wspólnym przedziale, obliczy¢ ró»niczki funkcji: 1.
u
y = u v w;
2. y =
;
v 2
√
3.
u
y = ln
u 2 + v 2;
4. y = arctg .
v
Zast¦puj¡c przyrost funkcji ró»niczk¡ obliczy¢ w przybli»eniu:
√
1. 3 1 , 02;
2. sin 29 o;
3. cos 151 o;
4. arctg 1 , 05; 5. lg 11;
6. e 1 , 1
√
7. sin 3 o;
8. ln 1 , 05; 9. 3 1 , 1.
5.0.6 Pochodne rz¦dów wy»szych
Obliczy¢ pochodne rz¦du drugiego danych funkcji:
1.
1
y = xex 2 ;
2. y =
;
3. y = (1 + x 2) arctg x;
1 + x 3
√
√
4.
1
y =
a 2 − x 2;
5. y = ln ( x + 1 + x 2); 6. y =
√ ;
a +
x
√
√
7. y = e x;
8. y = 1 − x 2 arcsin x;
9. y = arcsin a sin x.
Obliczy¢ pochodne rz¦du n funkcji:
1. y = eax;
2. y = e−x;
3. y = sin ax + cos bx;
4. y = sin2 x;
5. y = x ex;
6. y = x ln x;
7.
1
x
y =
; 8. y =
; 9. y = log x.
x 2 − 3 x + 2
x 2 − 1
a
Dowie±¢, »e funkcja y jest rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego, je±li 1. y′′ − 2 y′ + 2 y = 0
gdzie y = ex sin x;
2.
x − 3
2 y′ 2 = ( y − 1) y′′
gdzie y =
;
x + 4
√
3. y 3 y′′ + 1 = 0
gdzie y = 2 x − x 2;
4. y′′′ − 13 y′ − 12 y = 0 gdzie y = e 4 x + 2 e−x;
√
√
5.
1
xy′′ +
y′ − 1 y = 0
gdzie y = e x + e− x;
2
4
6. y′′ − y′ + ye 2 x = 0
gdzie y = cos ex + sin ex.
Obliczy¢ pochodne rz¦du drugiego d 2 y funkcji okre±lonych parametrycznie: dx 2
{
{
{
1. x = at 2 ,
2. x = a cos t,
3. x = a cos t,
y = bt 3 ,
y = a sin t,
y = b sin t,
{
{
{
4. x = a( φ − sin φ) , 5. x = a cos3 t,
6. x = arcsin t,
y = a(1 − cos φ) , y = a sin3 t,
y = ln (1 − t 2) .
Obliczy¢ d 2 y, je±li:
√
1. y = 3 x 2;
2. y = xm;
3. y = ( x + 1)3( x − 1)2;
√
4. y = 4 −x 2; 5. y = ln2 x − 4, 6. y = sin2 x.
Zadania dodatkowe z podr¦czników i zbiorów zada«
Krysicki W., Wªodarski L. Analiza matematyczna w zadaniach. Cz¦±¢ I. Warszawa. PWN 1993. Zadania 6.45 6.200 (str 113-117); 6.226-6.256 (str. 122-123).
Gewert M., Skoczylas Z. Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania. Wrocªaw. GiS 2008. Zadanie 4.10
(str.143); 4.12 (str.144); 4.16 (str.145); 4.19 (str.146).